3530

непрерывных функций нескольких переменных аналогичны доказательствам соответствующих свойств функций одной переменной, поэтому они не приводятся.

Арифметические операции над непрерывными функциями.

непрерывна в точке u0 (x0 , y0 ) , v0 (x0 , y0 ) плоскости u0v , то сложная функция z f (u, v) f ( (x, y), (x, y)) будет непрерывна в точке M 0 (x0 , y0 ) .

Пример 1. В каких точках непрерывна функция

z exp(sin(x2 2y)) cos xy ?

180

Решение. Эта функция непрерывна всюду, так как она представляет собой сумму двух функций, каждая из которых является композицией непрерывных функций.

Пример 2. В какой области определена функция z tg xy ? Где она непрерывна?

Так как рассматриваемая функция является в этой области композицией непрерывных функций, то она непрерывна всюду, где определена.

3. Дополнение о разрывах непрерывности.

У функций одного аргумента читатель встречался с тремя типами разрывов: бесконечными разрывами, конечными скачками (разрывами первого рода) и точками, в которых функция не стремится к пределу (с одной, либо с обеих сторон). У функций многих переменных такая простая классификация невозможна. У таких функций нарушение непрерывности может происходить не только в уединенных

181

точках, но и вдоль линий или поверхностей (для функций трех и более переменных).

Пример 3. Установить, будет ли непрерывной в точке O (0,0) функция

Однако она непрерывной не является. Действительно, рассмотрим прямые, проходящие через точку О(0,0) вида y kx, (k 0) . В каждой точке такой прямой, за исключением точки О(0,0), функция принимает одно и то же

Таким образом, пределы функции для разных прямых (разные k ) различны и, к тому же, не совпадают со значением функции в точке О(0,0). Функция разрывна – на всех рассматриваемых

О(0,0). При неограниченном приближении точки M (x, y) к началу координат функция неограниченно возрастает (рис. 55). Таким образом, точка О(0,0) – точка бесконечного разрыва функции.

182

z

y

x

Рис. 55

Пример 5. Найти точки разрыва функции

Решение. Поскольку числитель и знаменатель – непрерывные функции, то функция может иметь разрывы лишь в точках, в которых знаменатель обращается в нуль. Решая

принадлежит прямой y x . Имеем:

183

Значит, точки прямой y x (x 0) - точки устранимого разрыва функции. Рассмотрим теперь характер разрыва в точке О(0,0). Получаем

дать определенные численные значения из области задания всем независимым переменным, кроме одной, и предоставить

одной переменной. Геометрическим образом этой функции

конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента

184

z

Аналогично определяется частная производная функции в

185

Отметим: из приведенных выше рассуждений следует, что частная производная функции u f (x1,..., xn ) по аргументу xk

представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной xk при фиксированных значениях остальных

переменных. Поэтому вычисление частных производных производится по обычным правилам вычисления производных

Для нахождения частной производной функции f (x, y)

z arctg(xy2 ) в точке (x, y) .

Решение. Считая у постоянным, находим производную по

х:

186

дифференцирования сложной функции одной переменной. Индексы показывают по какой «букве» проводится дифференцирование. Аналогично получим частную производную по у в точке (x, y) :

Аналогично тому, как определялись частные производные функции двух переменных (формулы (4.11) и (4.12)), определяются частные производные функции большего числа аргументов. Например, для функции трех переменных u f (x, y, z) , частные производные в точке M 0 (x0 , y0 , z0 ) определяются как пределы отношений соответствующих приращений, если эти пределы существуют:

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции по х, при постоянных y и z, получим:

187

Аналогично получим частную производную по у (х и z - постоянные) и по z (x и y - постоянные):

истолкование.

Рассмотрим механический смысл частной производной.

В ряде разделов механики, физики и технических дисциплин читатель встречался с функциями нескольких переменных, одной из которых являлась временная переменная t. Например, изучая движение материальной системы, имеющей n степеней свободы, в теоретической механике в

обобщенные скорости, p ( p1,..., pn ) - обобщенные импульсы, Eкин и V – кинетическая и потенциальная энергия системы. В

этом случае, как известно из теоретической механики, уравнение движения механической системы содержит частную производную по времени

188

температуры тела T0 (x, y, z) и задан тепловой режим на его границах. Тогда при t t0 температура тела в точке (x, y, z) будет являться функцией времени T T(t, x, y, z) . Вид

координатной и временной зависимости температуры тела определяется типом теплового режима на границах и дифференциальным уравнением теплопроводности, содержащим частную производную по времени

Таким образом, уравнения, описывающие механическое движение системы и распределение температуры в теле, содержат величины, характеризующие их изменение во времени. Каждая из величин в правых частях уравнений

Каждое выражение представляет собой изменение соответствующей функции, отнесенное к промежутку времени, в течение которого эти изменения произошли. То есть среднюю скорость изменения величины за время t . В пределе, при t 0 , мы получаем мгновенную скорость изменения функции Лагранжа или температуры. В этом заключается механический смысл частной производной некоторой функции

по времени.

u

По аналогии с этим, частные производные функции xk

u f (M ) по переменной xk также трактуются как скорость изменения функции u f (M ) в точке М в направлении оси

Oxk .

Перейдем к выяснению геометрического смысла частных производных функции двух переменных z f (x, y) . Как мы

189