3530

математики

неравенство

x2

xy y2

xy

получим, (при

x 0 и y

0 ):

0

x

y

x y

1

1

1

1

.

x2

y 2

xy

xy

y

x

y

x

Отсюда следует, что:

0

lim

x y

lim

1

1

0 .

x2

y 2

y

x

x

xy

x

y

y

3. Бесконечно малые функции.

Функция u f (M ) называется

бесконечно

малой при

M M 0

(или в точке M 0 ), если

lim f (M )

0 .

M

M 0

число

такое, что

для

любой точки М из

области

определения

функции,

удовлетворяющей

условию

(M , M 0 )

, абсолютная величина значений функции f (M )

будет меньше

:

f (M )

.

виде f (M ) b

(M ) ,

где b – постоянная,

(M )

–

бесконечно малая функция при M

M 0 , то

lim

f (M )

b .

M

M 0

Обратно, если

lim

f (M ) b , то f (M )

b

(M ) , где

M

M 0

(M ) – бесконечно малая функция при M

M 0 .

Доказательство. Прямое утверждение.

Пусть

функция u

f (M ) может быть

представлена

в

виде f (M )

b

(M ) , где b – постоянная,

(M ) - бесконечно

малая

при

M

M 0 . Отсюда имеем: f (M )

b

(M ) , т.е.

f (M ) b

(M )

. При

M

M 0

(M )

, так

как

(M )

– бесконечно малая функция,

– любое сколь угодно малое

число. Поэтому существует такая

– окрестность точки

M 0 ,

что для всех точек М из этой окрестности

f (M )

b

.

Поэтому

lim

f (M )

b .

M

M 0

Обратное

утверждение.

Пусть

lim

f (M )

b .

Это

M

M 0

значит, что при всяком

0

существует

– окрестность

точки

M 0 , для

всех

точек

М из

которой

f (M )

b

.

(M )

Обозначим f (M )

b

(M ) . Тогда

.

Но последнее

и

означает, что

(M )

–

бесконечно малая

функция

при

M

M 0 . Таким образом:

f (M )

b

(M ) .

Бесконечно

большая

функция.

Будем

писать

lim

f (M )

,

если

функция

f (M )

определена

в

M

M 0

некоторой

окрестности

точки

M 0 ,

за исключением, быть

может, самой точки M 0 , и для всякого N

0 найдется

0

такое, что

f (M )

N , как только 0 (M , M 0 )

, для всех

точек М, принадлежащих - окрестности точки M 0 .

4. Повторные пределы*. Для функции u

f (x1,..., xn )

Рассмотрим для простоты функцию двух переменных.

Пусть

функция

z

f (x, y) задана в

некоторой

прямоугольной окрестности

точки M 0 (x0 , y0 )

x

x0

d1 ,

y

y0

d2 , за исключением, быть может,

самой точки

M 0 .

Пусть

для

каждого фиксированного

y ,

удовлетворяющего

условию

0

y y0

d2 ,

существует

предел

функции

z

f (x, y)

одной переменной x в точке x

x0 :

lim

f (x, y)

( y) .

x

x0

y

фикс.

Пусть, кроме того, существует предел b функции

( y) в точке

y

y0

lim

( y) b .

функции z f (x, y)

в

точке

M 0 ,

который обозначается

следующим образом:

lim

lim

f (x, y)

b .

y

y0

x x0

устремить

y

y0 ,

т.е.

при

фиксированном

x,

удовлетворяющим условию 0

x x0

d1 , получить предел

lim

f (x, y)

(x) ,

lim

lim f (x, y) B .

x x0

y y0

З а м е ч а н и е .

Не следует думать, что числа b и B

Пример 6. Вычислить повторные пределы при

x 0,

y

0

от функции

f (x, y)

x2

y 2

x

y

.

x

y

Решение.

1)

Вычислим

повторный

предел

lim

lim f (x, y)

. Имеем:

y 0

x

0

lim

x2

y 2

x

y

y

1

( y) ;

x

y

x

0

lim

( y)

lim ( y

1)

1

b .

y

0

y

0

2) Вычислим повторный предел lim

lim

f (x, y) .

x

0

y

0

lim f (x, y)

lim

x 2

y 2

x

y

1

x

(x) ;

x y

y 0

y

0

lim

(x)

lim (x

1)

1

B .

x

0

x

0

Таким образом,

для данной функции повторные пределы

не совпадают: b

B .

Пример 7.

Вычислить повторные пределы функции

f (x, y)

2xy

x2

y 2

в точке O(0,0) (см. пример 1).

Решение.

1)

Вычислим

повторный

предел

lim

lim f (x, y)

. Имеем:

x 0

y

0

lim

2xy

0

(x) ;

lim

(x)

0 .

y

0 x2

y 2

x

0

2)

Вычислим повторный

предел

lim

lim

f (x, y) .

y 0

x 0

Получим

lim

2xy

0

( y) ;

lim

( y)

0 .

x

0 x2

y 2

y

0

равенства двух

введенных повторных пределов.

Теорема

4. Пусть функция z f (x, y)

определена в

некоторой

прямоугольной

окрестности

x x0

d1 ,

y y0

d2

точки M 0 (x0 , y0 )

и имеет в этой точке предел,

удовлетворяющего

условию

0

x

x0

d1 ,

существует

предел

(x)

lim

f (x, y)

и

для любого фиксированного

y ,

y y0

0

y

y0

d2 , существует предел

( y)

lim

f (x, y) .

Тогда

повторные

пределы

x x0

и

lim

lim

f (x, y)

x

x0

y

y0

lim

lim

f (x, y)

существуют и оба равны b .

y

y0

x x0

Доказательство.

Так как функция

f (x, y)

имеет в точке

M 0 (x0 , y0 )

предел, равный b, то для любого

0 можно

0 ,

x

x0

y

y0

указать

такое

что

при

и

выполняется

неравенство

f (x, y)

b

.

То

есть

в

прямоугольной окрестности

x

x0

,

y

y0

точки M 0

x x0

и

y y0

, так же отличаются от числа b не

более чем на .

Следовательно,

пределы этих функций в точках x0 и y0

4.5.

Непрерывность функции нескольких переменных

1.

Непрерывность функции в точке и на множестве.

Интуитивно непрерывность функции z

f (x, y) в точке

M 0 (x0 , y0 ) можно представить себе так:

во

всех точках

M (x, y) , близких к точке M 0 , значения функции

f (x, y) мало

Определение 1.

Функция

z

f (x, y) , определенная в

области

D

R 2 ,

называется

непрерывной

в

точке

M 0 (x0 , y0 )

этой области,

если для всякого

0 возможно

найти такое

( )

0 (вообще говоря зависящее от

и

стремящееся к нулю вместе с

), что для всех точек области

D , расстояние которых от точки M 0

не превышает

, т.е.

для которых

(M , M

0

)

или

(x

x

)2

( y y

0

)2

2 ,

(4.3)

0

выполняется равенство

f (x, y) f (x0 , y0 )

.

(4.4)

З а м е ч а н и е . Если

точка

M 0 (x0 , y0 ) -

внутренняя

точка области

D , то точки

M (x, y)

при достаточно малом

заполняют весь круг

(M , M 0 )

(рис. 53а). Если же точка

M 0 - граничная (рис.

53б), то точки M (x, y)

заполняют лишь

ту часть круга, которая принадлежит области D .

y

а)

б)

M0

M0

D

D

точке M 0

существует и равен значению функции f (x0 , y0 ) в

этой точке

lim f (x, y)

f (x0 , y0 )

или

lim

f (M ) f (M 0 ) .

(4.5)

x

x0

M

M0

y

y0

Поскольку

M 0

lim M ,

то

условие

непрерывности

(4.5)

M M0

можно символически записать в виде

lim f (M )

f (

lim

M ) .

(4.6)

M

M0

M

M0

в

точке

f (M 0 )

и радиусом r2 (оба пространства

X

и

Y

предполагаются

наделенными расстоянием между

точками,

т. е. евклидовыми пространствами (п. 4.1)).

Определение

3. Функция

f : X Y ,

где

X

R n ,

Y

R m , называется непрерывной в точке M 0

из X , если для

каждого шара

Ш ( f (M 0 ), ,Y ) в Y существует такой шар

Ш (M 0 ,

, X ) в

X , образ которого при отображении

f

содержится в указанном шаре в пространстве Y . То есть,

если f (Ш (M 0 ,

))

Ш ( f (M 0 ),

) .

На рисунке 54, иллюстрирующем определение

непрерывности,

множества X и Y изображены

в

виде

плоскостей, т. е. оба они являются подмножествами

R 2 .

В

центрами в точках M 0 и f (M 0 )

соответственно. Стрелки

показывают, что точки из

Ш (M 0 , )

переводятся

отображением f в точки Ш ( f (M 0 ),

) .

Y

f(M0)

M0

X

Рис. 54

функции.

Назовем полным

приращением

функции

u

f (M ) в

точке M 0 ,

соответствующим приращению аргумента M 0M ,

разность

u

f (M ) f (M

0

)

f (x ,..., x

n

) f (x0 ,..., x0 ) ,

(4.7)

1

1

n

u f (x0

x ,..., x0

x

n

)

f (x0 ,..., x

0 ) .

(4.8)

1

1

n

1

n

Для функции двух переменных полное приращение

функции в точке

M 0 (x0 , y0 ) , соответствующее приращению

независимых переменных x,

y , записывается в форме

z f (x0

x, y0

y) f (x0 , y0 ) .

(4.9)

Поэтому формулу (4.5) в определении 2 непрерывной

функции

можно

записать

так:

lim lim f (x0

x, y0

y)

f (x0 , y0 )

0 .

x

x0

y

y0