Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3530

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

6.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

2.	Раскрытие неопределенности			вида			.	Будем
2.	Раскрытие неопределенности			вида			.	Будем
говорить, что отношение двух функций				f (x)	при x			a есть
говорить, что отношение двух функций					при x			a есть
				g(x)
неопределённость вида		, если
неопределённость вида		, если
	lim f (x)	lim g(x)	,	или		.
	x a	x a
Для	этой неопределенности		справедливо			утверждение,

аналогичное теореме 5, а именно: если в формулировке

теоремы заменить требование

lim f (x) lim g(x)

0 на условие

x a

lim f (x)

lim g(x)

, то теорема останется справедливой.

x a

Рассмотрим примеры.

lim

ln x

lim

1/ x

lim

nxn 1

n(n 1)xn 2

lim

...

lim

ln x

1/ x

lim

x ln x

lim

x 0

x 0 x 1/ 2

x 0 ( 1/ 2) x 3 / 2

x 0

3. Другие виды неопределенностей и их раскрытие.

Неопределенности вида

можно свести к

неопределенностям

. Покажем это на примерах.

Пример 1. Найти

lim x ln x .

Решение.

Имеем

неопределенность

вида

0 .

Но

x ln x

ln x

и получена неопределенность вида

Применяя

1/ x

правило Лопиталя, имеем

lim x ln x lim

(ln x)

lim

1/ x

lim x

(1/ x)

1/ x2

Пример 2. Найти

lim (secx

tg x).

/ 2

Решение.

Имеем

неопределенность

вида

Но

secx tg x

sin x

, и при том же условии

cosx

получена неопределенность вида

Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим

lim (sec x

tg x)

lim

sin x

lim

cos x

sin x

/ 2

И,

наконец,

рассмотрим

неопределенности

вида

00 , 1 ,

Такие

неопределенности

имеют

место

при

рассмотрении функций

f (x)g( x) , если при

функция

f (x) стремится

соответственно

g(x) –

соответственно к 0, и 0. Эти неопределенности с помощью

тождества		f (x) g ( x)		e g ( x) ln f ( x) сводятся к неопределённости
вида 0 , которая уже рассмотрена.
	Пример 3. Найти				lim x x .
					x	0
	Решение.		Имеем			неопределенность		вида 00. Но
x x	e x ln x	и в показателе степени получена неопределенность
вида	0 ,	которая		нами		уже рассмотрена		(см.	пример 1).
Следовательно,
		lim x x			lim e x ln x e x		lim x ln x	e0
		lim x x			lim e x ln x e x		0	e0	1.
		x	0		x	0
						1

	Пример 4. Найти lim(1 x 2 ) ex 1						x .
					x	0

Решение.

Имеем

неопределенность

вида

1 .

Но

(1 x

2 1/(ex 1

[ln(1

x2 )] /(ex

, и

показателе

степени

)

получена

неопределенность

вида

Применяя

правило

Лопиталя, получаем

lim

ln(1

x 2 )

lim

2x /(1

x 2 )

lim

e x

x 2 )

0 e x

1 x

0 (e x

1)(1

lim

x 0 e x (1 x 2 ) (e x

1)2x

Следовательно,

lim

ln(1 x2 )

lim(1

x 2 ) ex

0 ex

e2 .

Пример 5. Найти

lim

(tg x)2 cos x .

/ 2

Решение.

Имеем неопределенность вида

0 .

Но

2lntg x

(tg x)2cosx

e2cosx lntg x

e1/ cosx ,

и в показателе степени получена неопределенность вида

Применяя правило Лопиталя, имеем

lim

2 ln tg x

lim

ln tg x

lim

1/(tg x)

sec2 x

1/(cos x)

sec x

tg x

/ 2

lim

sec x

lim

sec x

tg x

lim

cos x

tg 2 x

2 tg x sec2

/ 2

Следовательно,

(tg x)2 cosx

lim

2 cosx lntg x

lim

e x

/ 2

1.3. Формула Тейлора

Рассмотрим одну из главных формул математического анализа, имеющую многочисленные применения как в самом

анализе, так и в смежных дисциплинах.

1. Формула Тейлора.

Теорема 6 (теорема Тейлора). Пусть функция

f (x)

имеет в точке

а и

в некоторой ее окрестности производные

порядка n+1. Пусть х –

любое значение аргумента

из

указанной окрестности,

а . Тогда между точками а

и х

найдётся

точка

такая,

что справедлива следующая

формула:

f (x) f (a)

f (a)

(x a)

f (a)

(x a)2

(1.3)

f (n) (a)

f (n 1) ( )

(x a)n

(x a)n 1.

1)!

Формула (1.3) называется формулой Тейлора, а выражение

(x)

f (n

1) (

)

a)n

остаточным членом в форме

1)!

Лагранжа. Его можно переписать в другом виде. Так как точка

(а, х), то найдётся такое число					из интервала 0 <		< 1, что
= а+ (х	а), и остаточный член принимает вид
Rn 1	(x)	f (n 1) (a		(x a))	(x a)n 1,	0	1.
			(n	1)!

Или,	если функция			f (n 1) (x) ограничена в окрестности
точки а, то R		1	(x) o((x a)n )		при x	a. В этом случае
	n

говорят, что остаточный член записан в форме Пеано.

2.Формула Маклорена. Формулой Маклорена

называют формулу Тейлора (1.3) при a 0 :

f (x) f (0)

(0)

f (0)

f (n) (0)

(x).

n 1

Остаточный член имеет вид:

в форме Лагранжа R

(x)

f (n

1) ( x)

n 1

1)!

в форме Пеано

(x)

o(xn ).

n 1

3. Разложение некоторых элементарных функций по

формуле Маклорена.

1) f (x)

ex .

Так как

f (x)

(x)

f (n 1) (x)

e x ,

f (0)

(0)

f (n 1) (0)

то формула Маклорена имеет вид

x 2

x n

e x

o (x n ).

(1.4)

2) f (x)

sin x.

Так как

f (n) (x)

sin

f (n) (0)

sin

при

четном,

(

1)(n 1) / 2

при

нечетном,

то формула

Маклорена имеет вид

sin x x

(

1)n 1

x2n 1

o(x2n ). (1.5)

(2n

1)!

3) f (x) cosx.

Так как

f (n) (x)

cos

f (n) (0)

cos

при

нечетном,

(

1)n / 2

при

четном,

то формула Маклорена имеет вид

cos x

x 2

x 4

(

x 2n

o(x

2n 1

(1.6)

2! 4!

(2n)!

В формуле (1.5) остаточный член записан в виде o(x2n ), а

не в виде

o(x 2n 1 ),

так как следующий за последним член

равен нулю (то же самое относится к формуле (1.6)).

f (x)

, где

вещественное число. Так как

f (n) (x)

(

1) (

1)(1

n ,

f (n) (0)

( 1) (

n 1),

то формула Маклорена имеет вид

(

1) (

Rn 1 (x),

где остаточный член в форме Лагранжа равен

Rn 1 (x)

(

1) (

(n 1) x n 1 , 0

1)!

частном

случае,

когда

натуральное

число,

f (n 1) (x)

следовательно,

(x)

мы

получаем

n 1

известную

из

элементарной

математики

формулу

бинома

Ньютона

x)n

n(n

xn .

(1.7)

Приведенные выше разложения показывают, что с помощью формулы Маклорена функции можно с определенной степенью точности заменять многочленами, являющимися наиболее простыми элементарными функциями. Над многочленами удобно выполнять арифметические действия, нетрудно вычислить значение многочлена в любой точке и т.д.

Формулы Тейлора и Маклорена позволяют приближённо заменять многочленами и более сложные функции. Кроме того, эти формулы имеют широкий круг приложений.

4. Использование формулы Маклорена для вычисления пределов. Формула Тейлора является эффективным средством для вычисления пределов функций, с которыми часто приходится иметь дело при исследовании функций.

Пример 1. Найти lim

sin x

Решение.

По формуле (1.5) при

2 имеем

o(x 4 )

lim

o(x 4 )

x 0

Пример 2. Найти lim

e x2 / 2

cos x

x3 sin x

Решение.

По формулам (1.4), (1.5) и (1.6) имеем

lim

x2 / 2

cosx

lim

x2 / 2

x4 /8

o(x4 ) 1

x2 / 2

x4 / 24

x3 sin x

x3(x

o(x))

x 0

lim

x 4 / 8 x 4 / 24 o(x 4 )

lim

1/ 8 1/ 24

(x) 1 1

x 4

o(x 4 )

(x)

8 24 12

x 0

(здесь символом

(x) обозначена величина

o(x4 )

являющаяся

бесконечно малой при x

0).

1.4. Исследование поведения функций и построение графиков

1. Признак монотонности функции.
Теорема 7. Если функция		f (x)	дифференцируема на
интервале (a,b) и f (x) 0 ( f (x) 0 ) на (a,b) ,				то функция
f (x)	не убывает (не возрастает) на		(a,b) . Если	f (x) 0 (
f (x)	0 ) на (a,b) , то функция	f (x)	возрастает (убывает)

на (a,b) .

2. Отыскание точек локального экстремума функции.

Определение. Точка x0 называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x) , если для всех x из некоторой - окрестности точки x0 выполняется неравенство f (x) f (x0 ) ( f (x) f (x0 ) ) при x x0 (рис. 7).

Рис. 7

Локальный максимум (max) и локальный минимум (min) объединяются общим названием локальный экстремум.

Из определения следует, что понятие экстремума носит

локальный	характер	в том смысле, что	неравенство
f (x) f (x0 )	( f (x) f (x0 ) ) может и не выполняться для всех
значений х	в области определения функции, а должно
выполняться	лишь	в некоторой окрестности	точки x0 .

Очевидно, функция может иметь несколько локальных максимумов и несколько локальных минимумов, причем может так случиться, что иной локальный максимум окажется меньше какого-то локального минимума.

Теорема 8 (необходимое условие локального экстремума).

Если функция f (x) имеет в точке x0	локальный экстремум и
дифференцируема в этой точке, то f	(x0 ) 0.

Рис. 8	Рис. 9
Теорема 8 имеет следующий геометрический смысл. Если
x1, x2 и x3	точки локального экстремума и в

соответствующих точках графика существуют касательные, то эти касательные параллельны оси Ох (рис. 8).

Иногда такие точки называют стационарными; мы будем называть их точками возможного экстремума. Если точка x0

точка возможного экстремума, т.е. f (x0 ) 0, то она может и не быть точкой локального максимума или минимума.

Например, если	f (x)	x3 , то	f (x) 3x2	0 при х = 0, но,
тем не менее, в точке x		0 нет локального экстремума (рис. 9).
Установим	достаточное		условие	существования

локального экстремума. Этому посвящается следующая теорема.

Теорема 9 (достаточное условие локального экстремума).

Пусть

функция f (x)

дифференцируема

некоторой

окрестности точки x0 . Тогда, если

f (x)

( f

(x) 0 )

для

всех

из (x0

, x0 ),

(x)

0 ( f

(x)

0 )

для всех

из

(x0 ,

то в точке

функция

f (x)

имеет локальный

максимум (минимум); если же

f (x)

во всей

-окрестности

точки x0

имеет один и

тот

же

знак,

то в

точке

локального экстремума нет.

Другими словами,

если

f (x) при переходе через точку

меняет знак с « »

на

»,

то

точка

локального

максимума; если f (x)

меняет знак с

« »

на «

», то

точка локального минимума;

если же

(x) знака не меняет, то

вточке x0 экстремума не существует.

За м е ч а н и е. Теорема 9 остается справедливой, если функция f (x) в самой точке x0 не дифференцируема, а только

непрерывна. Так, например, функция f (x)				x	в точке x	0
непрерывна, но не дифференцируема.
В качестве примера рассмотрим вопрос об отыскании
точек локального экстремума		функции			f (x) x3	3x .
Находим производную
f (x) 3x2	3 3(x2		1) .
Решая уравнение 3(x2	1)	0 ,	получаем две точки
возможного экстремума: x1	1	и	x2	1 .	Дальнейшее

исследование удобно вести, нарисовав вспомогательный


чертеж		(рис. 10). Отметим на нем точки x1		1 и x2		1	и,
определив знак f (x) в окрестности этих точек, получаем:
f (x)	в точке x1		1 имеет локальный максимум, а		в	точке
x2	1	локальный минимум. Далее находим: ymax			f (	1)	2 ,

ymin f (1) 2.

<<< < Предыдущая 12 / 242 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20226.35 Mб03520.pdf
#
15.11.20226.36 Mб03522.pdf
#
15.11.20226.42 Mб03525.pdf
#
15.11.20226.42 Mб63526.pdf
#
15.11.20226.43 Mб03527.pdf
#
15.11.20226.43 Mб23530.pdf
#
15.11.20226.45 Mб13531.pdf
#
15.11.20226.45 Mб03532.pdf
#
15.11.20226.5 Mб03533.pdf
#
15.11.20226.52 Mб23535.pdf
#
15.11.20226.55 Mб33536.pdf