Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3530

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

6.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

1 A(x2

1)2

(Bx

C)(x2

1)x

(Dx E)x

или

1 (A B)x4

Cx3

(2A B D)x2

(C E)x A.

Приравнивая

коэффициенты

при

x0 , x1, x2 , x3, x4 ,

придем к системе уравнений

x4 : A

x3 : C

x2 : 2 A B

x1 : C

x0 : A 1,

решая которую, найдем A=

1, B = 1, C = 0,

D = 2,

E = 0 и

поэтому искомое разложение примет вид

x(x2

1)2

x2 1 (x2

1)2

Из изложенного следует, что задача интегрирования рациональной функции (2.3) сводится к интегрированию

многочлена W (x) a xm	a xm 1	a	m	, интеграл от
0	1		m

которого является табличным и интегрированию рациональной

функции

R(x)

что

приводит

нахождению интегралов

Q(x)

следующих четырех типов:

A ln

II.

(r 1);

1)(x )r


III.		Ax		B		dx;

		x2
		x2	2 px		q
IV.			Ax	B			dx	(r	1).

		(x2	2 px		q)r
	При		этом			многочлен			x2 2 px q	не имеет

действительных корней, так что p2 q 0.

Вычислим интеграл III типа, который часто встречается на практике. Выделим из трехчлена в знаменателе полный квадрат

2 px q (x p)2

q p2.

Это

представление

«подсказывает» подстановку

x p

t ,

откуда

t p ,

dt .

Положим

q p2

и перейдем к переменной t. В результате

интеграл преобразуется к виду

2tdt

(B A p)

x2 2 px q

t 2

Первый интеграл в правой части берется непосредственно

2tdt

t 2

C ln

2 px q

t 2

Второй интеграл вычисляется по формуле XIII таблицы основных интегралов. Что касается интеграла IV типа, то в рамках нашей программы нет надобности рассматривать такого вида интегралы.

Итак, установлено, что интегрирование любой рациональной функции сводится к интегрированию многочлена и конечного числа элементарных дробей, интегралы от которых выражаются через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Иными словами, любая

рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.

Пример 3. Вычислить

dx .

Решение.

Выделим

знаменателе

полный

квадрат:

4x 9 (x

2)2

5 .

Сделаем

подстановку x 2

t ,

откуда x

dt,

поэтому

6(t 2)

(x 2)2

t 2

4x 9

2tdt

arctg

3ln

t 2

Возвращаясь к переменной x , получаем

3ln(x2

arctg

Пример 4. Вычислить

x 2

dx .

(x 1)3 (x 2)

Решение.

Разложим

подынтегральную

дробь

на

простейшие дроби вида I и II

x 2

(x 1)3 (x 2)

(x 1)3 (x 1)2

x 1

x 2

Приводя к общему знаменателю и приравнивая

числители, получим:

A(x

2) B(x 1)(x 2)

C(x 1)2 (x 2) D(x 1)3

Приравнивая коэффициенты при x3, x2 , x, x0 (свободный

член), получим систему уравнений для определения коэффициентов:

0	C	D,
1	B	3D,
0	A	B	3C	3D,
2	2 A		2B	2C D.

Решая эту систему, найдем:

A 1, B	1	, C	2	, D	2	.
	3		9		9

Таким образом,

x2 2		dx		dx				1		dx				2 dx 2 dx

(x 1)3 (x 2)			(x 1)3					3		(x 1)	2 9 x 1 9 x 2
(x 1)3 (x 2)			(x 1)3					3		(x 1)	2 9 x 1 9 x 2
	1	1	1 1				2					2	ln		x 2	C.
	1	1	1 1				2	ln	x 1			2

	2 (x	1)2	3 x 1		9						9
	2 (x	1)2	3 x 1		9					xdx	9
Пример 5. Вычислить										xdx			.

						(x2				1)(x	1)
						(x2				1)(x	1)

Решение. Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби с неопределенными коэффициентами

(x2 1)(x

x 1

Следовательно,

x (Ax B)(x 1) C(x2

1) .

Полагая, x

1, получим: 1

2C,

;

0 , получим: 0

C ,

Приравнивая коэффициенты при x 2 , получим 0 A C ,

откуда A 12 . Таким образом,

xdx

(x2

1)(x

arctg x

x 1

2.6.

Интегрирование иррациональных и трансцендентных

функций

Предварительно

введем

обозначение

рациональной

функции

от

двух

переменных

т.

е. функции,

получающейся из двух переменных

и некоторых

постоянных, над которыми производятся только операции сложения, вычитания, умножения и деления: R(u, v) . Такова,

например, функция

R(u, v)

3u 2v

4v2

Если переменные

u и v, в свою очередь, являются функциями

переменной х: u

(x),

то функция

(x),

(x)

называется рациональной функцией от

(x)

(x). Например, функция

f (x)

1 2

является

рациональной

функцией

от

x 2 1 : f (x)

x 2

;

здесь

x ,

R(u, v)

u 2

sin2 x

cos2 x

а функция

f (x)

является

sin3 x

2 cos x

рациональной функцией от	sin x и от	cos x :
f (x) R(sin x,cos x).

Рассмотрим теперь интегралы от некоторых простейших иррациональных и трансцендентных функций и покажем, что в ряде случаев они сводятся к интегралам от рациональных функций (или, как говорят, рационализируются) и могут быть вычислены методами, рассмотренными в п. 2.5.

1. Интеграл вида

x, m

dx,

где

b, c, d,

некоторые числа

;

–

натуральное число, R –

рациональная функция от х и от m

Покажем, что

такой

интеграл

рационализируется

подстановкой

d .

В самом деле,

t m

dt m

mt m 1(ad

bc)

dt,

(ct m

cx d

ct m

a)2

так что

dt m

mt m 1(ad

bc)

R x, m

ax b

, t

R (t) dt,

cx d

ct m

(ct m a)2

где R1(t) рациональная функция аргумента t.


Пример 1. Вычислить	1	x	dx	.
Пример 1. Вычислить				.
	1	x 1 x

Решение. Сделав подстановку t			1			x	,	получим
Решение. Сделав подстановку t					1	x	,	получим
					1	x

t 2

, 1

t 2

4tdt

t 2

1)2

1 x

2 1

Далее, имеем

t 2dt

t 2

dt 2 dt 2

1 x dx

1 1

t 2

t 2 1

x 1

t 2

2 arctgt

2 arctg

Пример 2. Вычислить

Решение.

Имеем

, x t 6

6t 5dt

dx 6t 5dt

t 2

t 3

t 3dt

6 (t 2

t 3

t 2

t 1)dt

t ln

t 1

t 2

t 3

6 ln 6

1 C.

Интеграл вида

ax2

c dx, где a,

c –

некоторые числа;

R – рациональная функция от

х и

от

ax2 bx

Если трехчлен

ax2

имеет действительные корни

x1, x2 (x1 x2 ) и a 0 , то

a(x

x2 )

bx c

a(x x )(x x

)

x x

Следовательно,

a x

R x,

bx c

R x,

x x

R x,

т. е. получаем интеграл, рассмотренный в п. 1.

Если

, то

ax2 bx c

т.е. под

знаком

a ,

интеграла находится рациональная функция от х.

Поэтому интересен случай,

когда трехчлен ax2

не имеет действительных корней и

0 . Покажем,

что

данном случае интеграл рационализируется подстановкой

Эйлера t

ax2

Возводя обе части равенства

t x

a в

t 2

квадрат, получаем

2 atx, так что

t 2

at 2

ax2

at 2 bt

dt.

b)2

Таким образом,

ax2

c dx

R (t) dt,

где

R1(t) рациональная функция от t.

Если же в трехчлене ax2 bx c a 0, а c 0, то для

рационализации интеграла можно применить другую подстановку Эйлера

ax2 bx c xt c.

Пример 3. Вычислить

Решение.

Поскольку

трехчлен

имеет

комплексные корни, сделаем подстановку

Возводя

обе

части

равенства

квадрат,

получаем

x2 x

1 t 2

2tx

или x 1

t 2

2tx;

отсюда

t 2

dt.

2t)2

Тогда

t 2

dt.

Далее имеем

t(1 2t)2

x 1

2t 2

t(1 2t)2

1 2t

(1 2t)2

Умножая обе части равенства на t(1

2t)2 , получаем

2t 2

A(1

2t)2

Bt(1

2t) Dt,

или

2t 2

2t 2 (4A 2B)t 2

(4A D B)t A.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях

относительно A, B, и

получаем систему уравнений

4 A

2B 2,

первой степени

4 A

откуда

A = 2,

B =

D =

Следовательно,

2t 2

t(1 2t)2

1 2t

(1 2t)2

и окончательно

x 1

3 d 1 2t

2 ln

1 2t

2 1 2t

1 2x 2

2 ln

x 1 x

x 1

2 1

Пример 4. Вычислить

(1 x) 1

Решение.

Здесь

трехчлене 1 x

0 ,

поэтому

воспользуемся

подстановкой

Возводя

обе

части

равенства

квадрат,

получаем

t 2 x2 2tx

1 или 1

t 2x

2t; отсюда

2(1

t 2 )

t 2

dt,

t 2

(t 2

t 2 1

1)2

Таким образом,

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 247 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20226.35 Mб03520.pdf
#
15.11.20226.36 Mб03522.pdf
#
15.11.20226.42 Mб03525.pdf
#
15.11.20226.42 Mб63526.pdf
#
15.11.20226.43 Mб03527.pdf
#
15.11.20226.43 Mб23530.pdf
#
15.11.20226.45 Mб13531.pdf
#
15.11.20226.45 Mб03532.pdf
#
15.11.20226.5 Mб03533.pdf
#
15.11.20226.52 Mб23535.pdf
#
15.11.20226.55 Mб33536.pdf