3530

140

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) объем тела, полученного вращением фигуры Ф вокруг указанной оси координат.

6.7.Ф : y 2 4x, x2 4 y, OX .

6.8.Ф : x 2cost, y 5sint, OY.

6.9.Ф : y x2 , 8x y 2 , OY .

6.10. Ф : y e x , x 0, y 0, x 1, OX .

6.11.Ф : y 2 43x , x 3, OX .

6.12.Ф : y 2x x2 , y 0, OX .

141

6.29.Ф : y 2 x, x2 y, OX .

6.30.Ф : y 2 (x 1)3 , x 2, OX .

142

4. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Введение

Между функциями одной и функциями нескольких переменных имеются существенные различия. Одномерное пространство изменения аргумента функции одной переменной «склеивает» некоторые характеристики функций. Переход от двух переменных к большему их числу, как правило, не представляет затруднений, если не принимать во внимание потерю наглядности графика таких функций.

Зависимость между несколькими переменными величинами, при которой значение одной из них полностью определяется значениями остальных переменных, возникает во многих вопросах естествознания.

Например, наиболее простое термическое уравнение состояния реального газа – уравнение Ван-дер-Ваальса, связывает три переменных p, V, T:

a

p V 2 (V b) RT ,

где p, V, T – давление, объем газа и его абсолютная температура; R – универсальная газовая постоянная; a и b – постоянные, не зависящие от p, T, но разные для разных газов. Таким образом, это соотношение определяет температуру реального газа в зависимости от значений переменных p и V.

При рассмотрении физических характеристик тела (например, его плотности или температуры T) приходится

учитывать изменение этих характеристик при переходе от одной точки тела к другой. Каждую же точку тела можно задать тремя декартовыми координатами x, y, z. Это означает, что рассматриваемая величина (плотность или температура T) определяется значениями трех переменных x, y и z. Если проводится описание физического процесса, то значения физических величин определяются значениями уже четырех

143

переменных: трех координат точки x, y, z и времени t. Так, при изучении звуковых колебаний газа, его плотность и давление p определяются значениями четырех переменных x, y, z и t.

При изучении экономического поведения индивида учитываются определённого вида зависимости между доходами и его потребностями. Если доля дохода потребителя, которую необходимо потратить для его жизнеобеспечения, равна M, то эта величина зависит от количеств определенных продуктов x1,..., xn и диктуемой рынком стоимостью единиц

этой продукции p1,..., pn .

Для изучения такого рода зависимостей в этой главе вводится понятие функции нескольких переменных и развивается аппарат для исследования таких функций. В дальнейшем мы ограничимся изучением в основном функций двух и трех аргументов, причём областью значений будут являться числовые множества.

4.1.Предварительные сведения: n – мерное координатное

иn – мерное евклидово пространства

1. Координатное и евклидово пространства.

При изложении теории функций многих переменных используют геометрические понятия, обобщающие наши представления о плоскости и о трехмерном геометрическом пространстве.

Координатным n – мерным пространством называется множество всевозможных упорядоченных совокупностей ( x1, x2 ,..., xn ) вещественных чисел x1,..., xn . Будем обозначать n

- мерное координатное пространство символом R n . Каждую упорядоченную совокупность ( x1, x2 ,..., xn ) будем называть

координатами точки.

144

Запись M( x1, x2 ,..., xn ) означает, что точка М имеет координаты x1,..., xn .

Если сопоставить каждой точке координатного

превращается в линейное пространство.

Для построения теории функций многих переменных недостаточно введения n – мерного координатного пространства. Необходимо ввести расстояние между точками координатного пространства.

Определение. Координатное пространство R n называется n – мерным евклидовым пространством, если

Обозначается n – мерное евклидово пространство символом

E n .

З а м е ч а н и е. В курсе линейной алгебры, изучаемом в первом семестре, давалось общее определение евклидова пространства как такого линейного пространства, для которого предписано правило, ставящее в соответствие любым двум элементам (векторам) x и y этого пространства действительное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом x y или ( x, y ).

145

то будут выполнены указанные выше четыре условия и

пространство R n превратится в евклидово пространство с точки зрения общего определения евклидова пространства, сформулированного в линейной алгебре.

2. Множества точек n – мерного евклидова пространства.

Как и в случае функции одной независимой переменной, введению функции n переменных должно предшествовать перечисление и описание важнейших типов множеств точек n –

мерного евклидова пространства E n .

1. Открытый n – мерный шар. Множество {M}

. Таким образом, открытый шар – это множество всех точек, для каждой из которых расстояние от фиксированной точки – центра шара, меньше заданного положительного числа R0 .

146

2. Замкнутый n – мерный шар. Множество {M}

называется замкнутым n – мерным шаром радиуса R с центром

вM 0 (x10 ,..., xn0 ) .

3.n – мерная сфера. Множество {M} всевозможных

точек M (x1,..., xn ) пространства E n , координаты которых удовлетворяют равенству

называется n – мерной сферой радиуса R0 с центром в точке

M0 (x10 ,..., xn0 ) .

4.Открытый n – мерный шар радиуса 0 с центром в

точке M 0 (x10 ,..., xn0 ) называется - окрестностью точки M 0 .

5. Открытый n – мерный координатный параллелепипед.

Множество {M} всех точек M (x1,..., xn ) , координаты которых удовлетворяют неравенствам

M 0 (x10 ,..., xn0 ) или прямоугольной окрестностью точки M 0 .

Аналогично вводится понятие замкнутого n – мерного

окрестность точки M 0 содержит некоторую прямоугольную окрестность этой точки; любая прямоугольная окрестность точки M 0 содержит некоторую - окрестность точки M 0

(рис. 40, 41).

147

пространства E n называется ограниченным, если найдется n – мерный шар, содержащий все точки этого множества.

14.Связное множество. Множество {M} точек

пространства E n называется связным, если любые две точки этого множества можно соединить непрерывной кривой, все точки которой принадлежат этому множеству.

15. Область в E n - это всякое открытое и связное

множество в пространстве E n .

16. Замкнутая область – это множество в пространстве

E n , полученное присоединением к области {M} всех ее граничных точек.

4.2. Понятие функции многих переменных

1. Механическая модель функциональной зависимости.

Слово “функция” происходит от латинского – functio, означающего отправление, деятельность; “фунгор” – означает “я выполняю”. В математике это слово обозначает предписание к выполнению действий, оговоренных операций. В помощь нашему воображению мы можем привлечь наглядные геометрические изображения – графики функций, но только для функций одной или двух переменных. Можно также воспользоваться наглядной моделью – функциональным (операторным) ящиком, придуманным ирландским математиком и крупнейшим специалистом по механике и теории относительности Дж. Л. Сингом (1897 - 1995).

Представим себе ящик (рис. 42), внутри которого заключен механизм, конструкция которого для нас совершенно несущественна. Это устройство связывает длины выступающих из ящика стержней х и у с длиной выступающей части стержня u .

149