3530

90

91

92

3.ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

3.1.Определение определенного интеграла

будем называть точками разбиения. В каждом из полученных

частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек

a

93

Рис. 24

В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на отрезке a, b . Числа a и b называются соответственно

нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) -

подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

Сделаем ряд пояснений, так как имеет место не совсем обычный предельный переход. В самом деле, интегральная сумма зависит от точек разбиения xi и промежуточных точек

i . Число тех и других точек стремится к бесконечности

при 0. Поэтому само понятие предела интегральной суммы требует уточнения. Сначала дадим соответствующее определение на «языке последовательностей». Пусть отрезок a, b последовательно разбивается на части сначала одним

94

наибольшего частичного отрезка k-го разбиения стремится к нулю, когда k стремится к бесконечности.

Вкаждом разбиении выберем произвольно

можно дать определение определенного интеграла на «языке

Доказательство эквивалентности обоих определений можно провести аналогично доказательству эквивалентности двух определений предела функции. Определение «на языке последовательностей» дает возможность перенести основные понятия теории пределов и на этот вид предела.

Из определения определенного интеграла следует, что величина интеграла (3.2) зависит только от вида функций f (x)

и от чисел a и b. Следовательно, если заданы f (x) и пределы

интегрирования, то интеграл (3.2) определяется однозначно и представляет собой некоторое число. Отсюда, в частности, следует, что определенный интеграл не зависит от выбора обозначения для аргумента подынтегральной функции, т. е. от

95

a, b , то она ограничена на этом отрезке.

З а м е ч а н и е. Обратная теорема неверна. Примером этому служит функция Дирихле, которая ограничена, но не интегрируема.

3.2. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций

Теорема 1. Если функция f (x) непрерывна на отрезке a, b , то она интегрируема на нем.

Как следует из теоремы, условие непрерывности функции является достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций шире. Так, например, существует определенный интеграл от функций, имеющих конечное число точек разрыва.

Теорема 2. Если функция f (x) ограничена на отрезке f (x) и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.

С л е д с т в и е. Кусочно-непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.

3.3. Основные свойства определенного интеграла

b

a

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда

96

пределы интегрирования совпадают или нижний предел больше верхнего. По определению полагаем

a

рассматривая эту формулу как естественное распространение понятия определенного интеграла на отрезок нулевой длины.

Также по определению полагаем

распространение понятия определенного интеграла на случай,

занумерованы в порядке следования от b к а и в интегральной

40. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.

97

3.4.Оценки интегралов. Формула среднего значения

1.Оценки интегралов. Всюду в этом параграфе

b

m(b a) f (x) dx M (b a).

a

существует такая точка с, что

b

f (x) dx f (c)(b a).

a

98

Последнее равенство называется формулой среднего значения, а величина f (c) – средним значением функции

f (x) на отрезке a, b .

З а м е ч а н и е. Теорема о среднем имеет геометрический

3.5. Интеграл с переменным верхним пределом

До сих пор мы рассматривали определенный интеграл с постоянными пределами интегрирования a и b. Если изменять, например, верхний предел так, чтобы не выйти за пределы отрезка a, b , то величина интеграла будет

изменяться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела.

Рассмотрим интеграл

x

f (t) dt a x b

a

с постоянным нижним пределом а и переменным верхним пределом х. Величина этого интеграла является функцией верхнего предела х. Обозначим эту функцию через Ф(x) , т.е. положим

a

и назовем ее интегралом с переменным верхним пределом.

Геометрически функция Ф(x) представляет собой площадь заштрихованной на рис. 25 криволинейной трапеции, если f (x) 0 . Значение интеграла с переменным верхним пределом раскрывает следующая теорема.

99