3530

предельных значений

lim f (x) или

lim f (x) равно

x

x0

x x0

d

x x0

2

f (x) f (x) 2

x x0

при

х 0 и f (x)

при х

0 .

Определение 2.

Прямая

y A

называется

горизонтальной асимптотой графика функции y

f (x) при

x

( x

), если lim

f (x)

A .

x

( x

)

Рис. 18

Рис. 19

и,

следовательно,

d

0

при

x

,

так

как,

lim

f (x)

A

0 .

x

Например, график рассмотренной выше функции

y

1

x

имеет горизонтальную асимптоту

y

0 при

x

и при

x

, так как

1

0

при

x

и при x

.

x

Определение 3.

Прямая

y

kx

b ( k

0 )

называется

наклонной

асимптотой

графика

функции

y

f (x)

при

x

( x

), если функцию f (x)

можно представить в

виде

f (x) kx b

(x),

(1.8)

где

(x)

0 при x

( x

).

Рассмотрим геометрический смысл наклонной асимптоты.

Для

определенности

разберем

случай,

когда

x

.

(Случай x

рассматривается аналогично).

Пусть M (x; y)

– точка графика функции

y

f (x)

и

пусть прямая

~

kx

b

является наклонной

асимптотой

y

графика функции при

x

. Текущую ординату точки на

асимптоте

обозначим

~

точку на

асимптоте

– через

через y ,

~

MN

y

~

f (x)

(kx

b)

(x)

0

N(x; y) (рис.20).Тогда

y

Таким образом, расстояние от точки M (x; y)

графика

функции до асимптоты стремится к нулю при х

+ , т.е.

получим lim

f (x)

lim

k

b

(x)

k.

x

x

x

x

x

Итак,

k

lim

f (x)

.

(1.9)

x

x

Далее,

из

соотношения

(1.8)

получаем:

lim f (x) kx

lim

b

(x)

b.

x

x

Таким образом,

b

lim f (x)

kx .

(1.10)

x

Доказано,

что

если

прямая

~

kx b

наклонная

y

Обратно, если оба предела (1.9) и (1.10) существуют, причём

k 0 ,

то прямая

~

kx

b

является наклонной

асимптотой

y

графика функции

y

f (x)

при х + .

В самом

деле,

полагая

(x)

f (x)

kx

b

и используя

равенство (1.10), получаем, что

lim

(x)

0 . Следовательно,

x

справедливо

равенство

(1.8):

f (x)

kx

b

(x) , где

lim

(x) 0 ,

т.е.

прямая

~

kx

b является

наклонной

y

x

асимптотой графика функции при x

.

Пример

6.

Найти

асимптоты

графика

функции

y

x2

2x

3

.

x

Решение. 1) Находим вертикальные асимптоты. Точка

x 0 -

точка

разрыва

2-го

рода данной функции, причем

y

при x

0

, y

при x

0

. Следовательно,

ось ординат ( x

0 )

вертикальная асимптота.

2) Находим горизонтальные асимптоты

lim

x 2

2x

3

lim

x

2

3

(

) ,

x

x

x

x

( x

)

x

следовательно, горизонтальных асимптот нет.

3) Находим наклонные асимптоты

k

lim

f (x)

lim

1

2

3

1

,

x

x

x2

x

x

( x

)

x

b

lim

f (x)

kx

lim

x2

2x

3

x

x

x

x

( x

)

x

lim

2x

3

lim

2

3

2 .

x

x

x

x

( x

)

x

Следовательно,

прямая

y x 2 является наклонной

асимптотой графика данной функции как при

x

, так и

при x

.

График функции схематически изображен на рис. 21.

Пример 7. Доказать,

что гипербола

x2

y2

1

имеет

a2

b2

своими наклонными асимптотами прямые

y

b

x .

a

b

Решение. Так как

y

x

2

a2

, то

a

график функции y

x2

1

.

x

1

1. Областью определения функции является множество

всех действительных

чисел,

кроме x 1, при котором

обращается в нуль знаменатель.

2. Так как уравнение x 2

1 0 не имеет действительных

Ox, но пересекает ось Oy в точке (0;

1) .

3. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем

поведение функции

вблизи точки

разрыва

x 1. Так как

y

при x

1

, y

при

x

1 ,

то прямая

x 1

является

вертикальной

асимптотой

графика

функции.

Если

x

( x

),

то

y

( y

),

следовательно,

f (x)

x 2

1

1 1/ x 2

k

lim

lim

lim

1,

x 2

x

x

x

x

x

1 1/ x

( x

)

x

( x

)

b

lim f (x) kx

lim

x2

1

x

x

1

x

x

(x

)

x

lim

1

x

lim

1

1/ x

1

x

1

1

1/ x

x

x

x

( x

)

вытекает, что

при

x

и при x

график функции

имеет наклонную асимптоту

y

x

1.

4. Для нахождения точек экстремума вычислим первую

производную:

f

(x)

2x(x 1) (x2

1)

2x2

2x x2

1 x2

2x 1

.

(x 1)

2

(x 1)2

(x 1)2

Решая

уравнение

x 2

2x

1

0 ,

получаем

две точки

возможного экстремума:

x1

1

2

и x2 1

2 .

5.

Для

нахождения критических

точек

вычислим

вторую производную:

f (x)

(2x

2)(x

1)2

2(x

1)(x2

2x

1)

4

.

(x 1)4

(x 1)3

Так как

f

(x)

в

нуль

не

обращается,

то

критических

1) максимум при x 1 2 , причём

f (1 2) 2 2 2

графика функции

1)

f (x) x3

6x2 x;

2) f (x) x4

2x3

12x2

5x 2;

3)

f (x)

(x 1)4 ;

4) f (x)

2x2

;

3

x

2

5) f (x)

2x2

ln x;

6) f (x)

xarctgx.

15.

При каком значении а кривая y

x3

ax2

1 имеет

точку перегиба при х = 1?

16.

При каком значении а кривая

y

x4

ax3

3

x2

1

2

будет иметь выпуклость вниз на всей числовой прямой?

17. Найти асимптоты графиков функций:

1)

f (x)

5x

;

2) f (x)

x

x;

x

1

2x

1

3)

f (x)

x2

5

2x;

4) f (x)

xe1 x ;

x2

1

5)

f (x)

x

2arctgx.