Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3530

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

6.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

82.	Дуги кривой y	x3	от x	2 до	x	2 .
		3

83.	Дуги кривой y2	4 x, отсеченной прямой x						2 .
84.	Электрический заряд e1 ,			помещенный в начале координат,
отталкивает заряд того же знака e2					из точки x			a	в точку
x	b ( a b ). Определить работу силы					F	при перемещении
заряда e2 .
85.	Определить работу, которую нужно						затратить,		чтобы

растянуть пружину на 0,05 м, если известно, что сила, растягивающая пружину на х м, равна F(x) kx , где k – коэффициент пропорциональности, зависящий от упругости пружины, и что для растяжения пружины на 0,01 м необходима сила 1 кг.

86.Определить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из котла, имеющего форму полушара радиуса R.

87.Шар лежит на дне бассейна глубиной h. Определить работу, которую необходимо затратить, чтобы извлечь шар из воды, если его радиус равен R и если удельный вес шара и воды равен 1.

88.Определить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из резервуара, имеющего форму конуса, обращенного вершиной вниз. Высота конуса h, радиус основания R.

Исследовать сходимость:

89.	e x dx.	90.			x	2		91.		dx		.
				xe		dx.
										x 2
	0		0						1		x

92.	arctg xdx.	93.	1		ln x		dx.	94.	sin xdx.

	0		1		x				0

130

95.

0 xex dx.

96.

97.

. 98.

1 ln xdx.

0 x

99. Найти площадь, заключенную между кривой y

x 2 / 2 и

ее асимптотой при

100.

Найти площадь поверхности, образованной вращением

вокруг оси Ох дуги кривой

x от х = 0 до x

101.

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси

Oy площади, заключенной между линиями ху = 2, y

1, x 0 .

102.

Найти

объем

тела,

образованного

вращением

кривой

xe x / 2

вокруг ее

асимптоты при

														Ответы к п. 3
1.	bn		1				a n	1			.	2.		6.	3. ln2.							4.			e(e – 1).
1.				n			1				.	2.		6.	3. ln2.							4.			e(e – 1).
				n			1
5. 1/3.												6. 2.			7. ln(3											8. 1.				9.		/ 4.
5. 1/3.												6. 2.			7. ln(3				10).							8. 1.				9.		/ 4.
														3
10.					arctg					.		11.			arctg			.	12. 21/8.									13.				/ 6.
10.	4				arctg				4	.		11.		64	arctg		4	.	12. 21/8.									13.				/ 6.
14.	10/3.											15. 0.			16. 5				.			17.			1.			18.			аrctg 2.
19.		e – 2.						20.					ln 2.		21. 0.				22.				e2		5	.		23.			a4	.
																							e							16
												3
												3

24.			3			.	25. 4					2ln3.			26.	2ln2 – 1.						27.					1		3		.
24.						.	25. 4					2ln3.			26.	2ln2 – 1.						27.					1				.
			9																						6			2
28.		2 – ln2.						29. 1/3.						30. 1/3.				31. ln				2e		.		32. arctge						/ 4.
28.		2 – ln2.						29. 1/3.						30. 1/3.				31. ln						.		32. arctge						/ 4.
																					e 1
																1			ln 2	.							3
33.	ln(1						2). .					34.		1/2.	35.	1			ln 2				36. ln				3	.		37. 32/3.
33.	ln(1						2). .					34.		1/2.	35.								36. ln					.		37. 32/3.
																2											2

131

38.		4															39. 1.			40. 8/3.														41. 4/3.												42. 1/2.															43. 11/2.
		4		h					2 ph.
	3			h					2 ph.
	3
								3 / 6.																										2
44.	2																45. 1/2.			46.														2	.				47. 2 3															ln(2										3)..
44.	2																45. 1/2.			46.												4			.				47. 2 3															ln(2										3)..
																																4
48.	4ln(4e).																49. 1/3.								50.							4.						51.				9.										52.									9/4.
53.		8																54.											1																	55.										a(e2								1)			.
		8			(10 10										1).					5									1			ln(2						5).																		a(e2								1)
	27				(10 10										1).					5							2					ln(2						5).																							2e
	27																										2																																		2e
56.		1	ln3.									57.				ln3.		58.			1		(e2				1).							59. 14/3.
56.	2		ln3.									57.				ln3.		58.		4			(e2				1).							59. 14/3.
	2																			4
										1																								/ 2
60.	17									1	ln(4						17).			61.										2(e				/ 2				1) .						62. 6a.																	63. 8a.
60.	17							4			ln(4						17).			61.										2(e								1) .						62. 6a.																	63. 8a.
								4
64.		ph2.										65.				256		;	8	.					66.								3			.		67.								(e2						1)						; 2 .
64.		ph2.										65.				15		;	8	.					66.							10				.		67.								2												; 2 .
																15																10														2
68.	178/15											; 21/ 2 .						69.				6				;	3						.	70.					;				;					;			5				;		11						;		19			.
68.	178/15											; 21/ 2 .						69.		7						;	5						.	70.					;				;					;							;								;					.
																				7							5											30				6				2						66			30									30
71.		(e						2);						(e		2	1)	;	e;					(e2								3)		;			(e2					5)			;	(4									e).
71.		(e						2);								2		;	e;						2									;				2							;	(4									e).
																2									2													2
	2					; 2 2 ; 6										2 ; 2																							(8							)							(								16)
72.																		(		2); 2							(							4);					(8							)			;				(								16)					.
72.	2																	(		2); 2							(							4);								2							;						2											.
	2																																									2													2
		32																			2																	2
73.		32						(2				2			1). .			74.			2				;						.			75.							;			(								2).
73.								(2				2			1). .			74.							;						.			75.				8			;	4		(								2).
	3																			15					6													8				4
	2						; 10 2 ; 6										2 ;	(		16)																		8				16								16									8
76.																		(		16)								.				77.						8		;		16					;			16						;			8			.
76.	2																			2								.				77.								;							;									;						.
	2																			2																		3				15										3			5
78. 12 ;								24 .									79.		(						2)				;				ln 2.					80.								.
																				4																						2

81. 2																				82.							34							17				2	. 83.															62						.
								2					ln(1				2) .										34							17				2																62
								2					ln(1				2) .																	9
																																		9																		3

132

84.		A	ke e	1	1	.	85. A = 0,125 кгм.			86.	R 4	.	87.	4	R4.
84.		A	ke e			.	85. A = 0,125 кгм.			86.		.	87.		R4.
			1 2	a	b						4			3
88.		1	R2h.	89. 1.			90. 1/2.	91. ln2.		92. Расходится.					93.
88.	12		R2h.	89. 1.			90. 1/2.	91. ln2.		92. Расходится.					93.
	12
Расходится.				94. Расходится.				95.	1.	96.	1		при		1;

											1
											1
расходится при					1.		97.	/ 2.	98. 1.		99. 1.				100.
							101. 4	.	102. 2 .
	2		ln(1	2) .			101. 4	.	102. 2 .

3.11. Индивидуальные задания

Вычислить определенные интегралы с точностью до двух знаков после запятой.

											Задача 1.
	3					dx						2				dx
						dx										dx
1.1.										.	1.2.	1								.
1.1.	2 2x 2						3x 2			.	1.2.	1			x x3					.

1.3.	2					dx			.		1.4.	3			x dx			.

				1		cos x								sin2 x
		2										4
	2											e		1
1.5.			x log2 x dx .								1.6.				ln x			1 dx .
	1											0
1.7.	9			x		1		dx .			1.8.	1				dx					.


	4				x	1						0		4			3x
	4											0
1.9.	1			x dx				.			1.10.	1			x3dx				.
1.9.			x 4					.			1.10.		0 x 2						.
	0		x 4			1							0 x 2				1

133

e	1		ln x		dx .
1.11.
1.11.			x
1			x
1
1
1		x3		4 5x 4 dx .
1.13.		x3		4 5x 4 dx .
0

	1.15.	2
	1.15.	x cos x dx .
		x cos x dx .
		0

1.17. e ln 2 x dx .

1 x

1.19.	2
1.19.		x	3 sin x dx .
		x	3 sin x dx .
	0
	5		dx
1.21.			dx	.


	2	5	4x x 2
	2	5	4x x 2

1.23.x ln x dx .

1.25.	2	2
1.25.	sin x cos	2	x dx .
	sin x cos		x dx .
	0

1.27.sin 2 2x dx .

1 e2x dx		.
1.29.

0 e x	1

e	x2	ln x2
1.12.			dx .

1		x

1		x 2e x3 ) dx .
1.14. 3(x 2
0

1.16.xe 2x dx .

	1

	2
	e
1.18.			x ln2 x dx .
	1
	0										x
	0
1.20.					x				2 e		3 dx .
	3

	2							x dx
1.22.								x dx				.



	1					4			x2
	2
1.24.				arctg 2x									3 dx .
	3

	2

	2						cos x
							cos x
1.26.										dx .
1.26.	0 1							cos x		dx .

	2			sin x cos3 x dx .
1.28.				sin x cos3 x dx .

	6
		ln 2							dx
1.30.									dx				.

	0						e x		e		x

134

В задачах 2, 3 вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость.

Задача 2.

2.1.			x dx			.

	16x 4				1
0	16x 4				1
2.3.			x3dx				.

		16x 4				1
0		16x 4				1
0				x dx
2.5.				x dx				.


				(x2		4)3
				(x2		4)3

2.7.		x dx	.


	4 (16 x2 )5
0	4 (16 x2 )5

2.9.					dx			.

			(x	2 4x		5)
1			(x	2 4x		5)
1
2.11.			arctg 2x			dx.
2.11.		(1			4x 2 )	dx.
0		(1			4x 2 )
0
2.13.			x dx				.

	4x 2
0	4x 2			4x 5
2.15.	3 x			2	dx.

		x 2		4
0		x 2		4
2.17.			4dx			.

				ln2 x)
1 x(1				ln2 x)

2.2.		16x dx						.
2.2.								.
1 16x 4						1
2.4.				x dx					.


			16x 4			1
1			16x 4			1
2.6.				x2 dx						.


0 3 (x3						8)4
2.8.					x dx							.


			x 2			4x			1
4			x 2			4x			1
2.10.					x dx						.

	1 x 2 4x								5
	1 x 2 4x								5
2.12.						16dx										.

				(4x2					4x				5)
	1			(4x2					4x				5)
2
2.14.				(x			2) dx								.


	0 3 (x2							4x				1)4
	0 3 (x2							4x				1)4

2.16.		2					arctg 2x							dx.
2.16.														dx.
0						1			4x 2
0
2.18.		x sin x dx.
0

135

		1			7dx
2.19.					7dx			.

				(x2
				(x2	4x) ln 5
						dx				.
2.21.

					x2 )				x

2		(4					arctg
2		(4					arctg
							2
2.23.		e 3x x dx.
0
2.25.					dx		.

			2x 2		2x	1
0			2x 2		2x	1
2.27.					dx		.

	2 x(ln x 1)2
e	2 x(ln x 1)2
e
2.29.					dx		.


1 9x2					9x	2

2.20.					dx					.


	1 (1		9x2 ) arctg2 3x

	3
2.22.				dx				.

	1 (x2			2x) ln 3
	1 (x2			2x) ln 3
2.24.	0		x 2					x	dx.
2.24.		x3		1	1			x 2	dx.
2.26.			dx			.

	1 x2 (x			1)
	1 x2 (x			1)
2.28.						dx					.

	1 (6x2				5x			1) ln	3
	1 (6x2				5x			1) ln	4
									4
2.30.				dx			.

	3 x 2			3x	2
	3 x 2			3x	2

Задача 3.

	1				dx						3				dx
3.1.					dx			.		3.2.					dx			.

	3
	3		2				4x				1 x		2		6x		9
	0										1 x				6x		9
		1	3		1						3		dx
		3 e									3
3.3.						x				3.4.						.

							dx.

											1 3 (3				x)5
	0		x		2						1 3 (3				x)5
	0		x
		1 ln(3x					1)		dx.	3.6.	1				dx				.
3.5.				3x			1		dx.	3.6.				2					.
3.5.	1											1 20x		2	9x		1
	1											1 20x			9x		1

	3										4

136

	1						ln 2 dx
							ln 2 dx									.
3.7.
	1	(1				x) ln							2	(1 x)
													2


	2
3.9.	1			x dx						.

	0	1				x 4
	0	1				x 4
3.11.	1			2x dx							.


	0			1				x 4
	0			1				x 4
	1				dx
					dx							.
3.13.
		5
	3			3				4x



	4
				1			2		arcsinx
	1			1					arcsinx
3.15.	1		2e												dx.
3.15.

	0					1 x2
	0					1 x2

sin x dx 3.17. 7cos2 x .

2x dx

3.19. .

1ln 2 (x2 31)

3.21.2 3sin3 x dx .

0		cos x
0
1	x	4 dx	.
3.23.

	3 1	x5
0	3 1	x5


	3 3	ln(2	3x)
3.8.				dx.
3.8.		2	3x	dx.
0		2	3x
0

6cos3x

3.10. dx.

0 6 1 sin 3x 5

0dx

3.12. .

3 1 3x1

	3

3.14.		2 etgx			dx.
3.14.	0		cos2x		dx.
	2			dx
3.16.				dx		.


	1 5 4x x 2 4
	1 5 4x x 2 4

0dx

3.18. .

3			4x	3

4
1

3				dx
3.20.				dx		.

	0 9x 2			9x 2
	0 9x 2			9x 2
3
3		3 9x dx
3.22.					.

		3 9		x 2
0		3 9		x 2

2x 2 dx

3.24. .

064 x6

137

	1			dx						5		x	2		dx
				dx		.				5			2
3.25.									3.26.								.
		9
			1		2x

	1									1		31(x3 1)


	2
	2
	3									4		10x dx

3.27.	2				dx				3.28.									.


								.
										0 4		(16			x2 )3

	1			3x	x	2	2
	1			3x	x		2
	1									1

3.29.	4			dx						2		dx
				dx		.			3.30.			dx				.

														1)2
	0	3 1			4x						0 (2x			1)2

Задача 4.

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

4.1.	y	(x				2)3 , y					4x		8.	4.2.	y	x2 , y				3				x.
4.3.									x3.									2)3 , x
4.3.	y			x,		y			x3.					4.4.	x	( y		2)3 , x						4 y	8.
					y 2 , x					y 2
4.5.	x	4			y 2 , x					y 2			2 y.	4.6.	x	4			y 2 , x					0.
4.7.	x 4 ( y 1)2 ,													4.8.	y 4 x 2 ,
4.7.				2										4.8.	y x 2
	x y			2		4 y 3.									y x 2			2x.

				e x
4.9.	y			e x				1, y 0,						4.10.	y x (1						x ) ,
4.9.	x	0, x					1.							4.10.	y	0, x			1.
	x	0, x					1.								y	0, x			1.
																			2				2
									2						y	x (x			2	1)			2	,
4.11. y			x	9				x	,	y 0,				4.12.	y	x (x				1)				,
4.11. y			x	9				x	,	y 0,				4.12.	y	0, x				1.
		(0			x		3).								y	0, x				1.
4.13. y				1				,	y		x2	.		4.14.	y 2		x		1,			y 2		9	x.
4.13. y		1			x2			,	y	2		.		4.14.	y 2		x		1,			y 2		9	x.
		1			x2					2

138

4.15. y 2

x3 , x

4.16.

arccos y,

0, y

4.17. y

y 2

x arctg x, x

3, y 0.

4.18.

9x, y 3x.

y 2x x2

3 ,

y 2

4x, x2

4.19.

4.20

4 y.

y x 2

4x 3 .

4.21. y 2

x3 , x 2.

4.22.

x2 , y

x2 .

4.23. y 2

x3 ), x

4.24.

(x 1)2 , y 2

x 1.

4.25. y

x3 ,

1, x

4.26.

6, x

4.27. y

, y

4.28.

4 y,

3 .

4.29. y

x 1, y

cos x,

4.30. y

2x , y 2x

x2 ,

0, x

Задача 5.

Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги данной линии.

5.1.	x	2 cos3 t, y							2sin3 t.
5.2.	x	2(cost					t sint), y				2(sint	t cost)	0	t	.

5.3.										x x2	4 0	x 1 2 .
5.3.	y	arccos				x				x x2	4 0	x 1 2 .
5.4.	x	et (cost					sin t), y				et (cost	sin t)	0	t	3 2 .

	3 x 2 3			y 2
5.5.	3 x 2 3			y 2				3 9.
5.6.	2	2			2

	x 3		y 3		4 3.
	x 3		y 3		4 3.
5.7.	y 2		(x	1)3 ,				отсеченной прямой x					4.

139

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1314 / 2414 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20226.35 Mб03520.pdf
#
15.11.20226.36 Mб03522.pdf
#
15.11.20226.42 Mб03525.pdf
#
15.11.20226.42 Mб63526.pdf
#
15.11.20226.43 Mб03527.pdf
#
15.11.20226.43 Mб23530.pdf
#
15.11.20226.45 Mб13531.pdf
#
15.11.20226.45 Mб03532.pdf
#
15.11.20226.5 Mб03533.pdf
#
15.11.20226.52 Mб23535.pdf
#
15.11.20226.55 Mб33536.pdf