3530

А.П. Бырдин Н.В. Заварзин А.А. Сидоренко Л.П. Цуканова

ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

Часть 2

Учебное пособие

Воронеж 2012

ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”

А.П. Бырдин Н.В. Заварзин А.А. Сидоренко Л.П. Цуканова

ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ

Часть 2

Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2012

1

А.П. Бырдин, Н.В. Заварзин, А.А. Сидоренко, Л.П. Цуканова.

большим количеством примеров. Имеются задачи для самостоятельного решения и типовых расчетов.

«Проектирование авиационных и ракетных двигателей», дисциплине ”Математика”.

Предназначено для студентов очной формы обучения. Учебное пособие подготовлено в электронном виде в

текстовом редакторе Word 2003 и содержится в файле РД-Математика-Часть2.pdf.

Ил. 63. Библиогр.: 8 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф. В.Д. Репников

Рецензенты: кафедра математического моделирования Воронежского государственного университета (зав. кафедрой д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Костин); канд. техн. наук, доц. А.В. Паринов

Бырдин А.П., Заварзин Н.В., Сидоренко А.А., Цуканова Л.П., 2012

Оформление. ФГБОУ ВПО “Воронежский государственный технический университет”, 2012

2

1. ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

1.1. Основные теоремы дифференциального исчисления Теорема 1 (теорема Ферма). Пусть функция

определена на интервале (a,b) и в некоторой точке x0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке x0 существует производная, то она равна нулю,

т. е. f (x0 ) 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке x0 дифференцируемая функция f (x) имеет

наибольшее или наименьшее значение, то в точке x0 ; f (x0 ) касательная к графику функции f (x) параллельна оси Ox

(рис. 1).

x 1 – наибольшее значение, однако как в той, так и в другой точке производная в нуль не обращается, а равна единице

(рис. 2).

Теорема 2 (теорема Ролля). Пусть на [a,b] определена функция f (x) , причем: 1 ) f (x) непрерывна на [a,b] ; 2 )

4

Геометрически теорема Ролля означает, что у графика непрерывной на отрезке [a,b] и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах равные

Рис. 3

Следует отметить, что все три условия теоремы Ролля существенны. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести примеры функций, для которых выполнялись бы два условия теоремы, а третье не выполнялось и производные которых не обращались бы в нуль ни в одной точке. Так, например,

5

удовлетворяет условию 1 . Функция f (x) x , x [ 1,1]

(рис. 5) удовлетворяет условиям 1и 3 , но не удовлетворяет условию 2 . Для этих функций также не существует точки, в которой их производная обращалась бы в нуль.

Рис. 4 Рис. 5

Отметим, что в математике существенность тех или иных условий доказываемых теорем проверяется построением соответствующих примеров, когда невыполнение того или иного условия теоремы приводит к тому, что утверждение теоремы становится неверным.

Теорема 3 (теорема Лагранжа). Пусть на

f (c) угловой коэффициент касательной к графику в точке

6

(c; f (c)). Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка

параллельна секущей M1M 2. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.

называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

З а м е ч а н и е 2. Так как точка с лежит между a и b, то

запись формулы Лагранжа часто бывает удобнее, чем запись в виде (1.1).

7

Как будет показано в дальнейшем, теорема Лагранжа лежит в основе доказательства многих формул и теорем

З а м е ч а н и е. Формула (2) называется формулой Коши

или обобщенной формулой конечных приращений.

1.2. Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

не существует. Следующая теорема устанавливает правило для раскрытия неопределенности вида 00 .

Теорема 5 (теорема Лопиталя). Пусть функции f (x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой

8

и g(x) , то правило Лопиталя можно применить повторно. При этом получаем

9