3115

лентность механических свойств полимеров; 3) она может* быть применена для интерпретации результатов опытов по релаксации напряжений, ползучести и динамических испытаний. Последний метод, в котором образец полимера деформируют по синусоидальному закону у (t) = у,, sin со/, является особенно полезным средством разделения реакции среды на упругую и вязкую. Отношение вязких напряжений к упругим представляет собой меру диссипации энергии за единицу времени. В Примере 6.2 рассмотрено поведение линейной вязкоупругой среды при динамических воздействиях, а также об­ суждается полезность этого метода.

Пример 6.2. Малоамплитудные колебания линейного вязкоупругого тела Вычислим реакцию линейного вязкоупругого тела на приложенные синусо­

идально сдвиговые деформации. Используем определяющее уравнение (6.3-8):

где

dy

- j j r = Уо®cos О)/'

Пусть спектр времен релаксации непрерывен, т. е.

— oo

Как видно из полученного результата, напряжение отстает во времени от при­ ложенной деформации и состоит из двух слагаемых: чисто вязкого и чисто упругого (рис. 6.8).

Полезно ввести следующие величины, связанные с динамическими испыта­ ниями *:

* Величины со и X входят в формулы только в виде произведения — это просто другая форма принципа температурно-временной эквивалентности.

Рис. 6 .8 . Схема зависимости напряжения от вре­ мени при синусоидальной деформации:

1 — упругое твердое тело; 2 —чисто вязкая жидкость; 3 — вязкоупругая жидкость; 4 — приложенная де- формация.

динамический модуль упругости (совпадает по фазе с приложенной деформацией)

-foo

0 , ( ш ) = | Я (In X ) (02^2 d(lnX)

динамический модуль потерь (находится в противофазе с приложенной деформа­ цией)

V + * n f “ С-Ц

тангенс угла потерь или диссипативный фактор (отношение диссипированной за один цикл механической энергии к запасенной)

tg 6 = G"/G'

По изменению G', G" и tg 6 могут быть обнаружены движения различных элементов структуры при различных частотах и темпе­ ратурах.

6.5. Обобщенная ньютоновская жидкость (ОНЖ)

ОНЖ представляет собой объединенную группу уравнений, по­ строенных эмпирически, полуэмпирически или вытекающих из моле­ кулярных теорий, предназначенных описывать неньютоновское (зависящее от сдвига) поведение жидкости. Этими определяющими уравнениями охватываются различные способы описания зависи­ мости вязкости от скорости сдвига. Имеется только одно общее тре­ бование. Поскольку вязкость—скаляр, она должна быть функцией

пренебречь. Неньютоновская вязкость, таким образом, будет зави­

из рис. 6.9, показатель степени п непостоянен и стремится к еди­ нице при у -> 0 (ньютоновская область). По поводу степенного за­ кона и кривых течения, показанных на рис. 6 .9 , можно сделать сле­ дующие замечания.

1. Верхний предел ньютоновской области зависит от M w и температуры расплава. Приближенно он равен у = 10~ 2 с"1. Важные исключения составляют полиамид и полиэтилентерефталат (ПЭТФ), которые остаются ньютоновскими жидкостями при высоких скоро­ стях сдвига.

2. Этот верхний предел снижается с ростом M w и расширением

молекулярно-массового распределения при фиксированной M w, а также с уменьшением температуры расплава. В грубом прибли­ жении считают, что граница ньютоновского поведения соответствует равенству единице числа Деборы.

3. При расчете течений под давлением при 0 < у < утах по­ мощью модели степенной жидкости при очень низких скоростях сдвига возникают ошибки, если полагать, что п ф 1 [31 ] (см. За­ дачу 6 .6 ).

4.Переход от ньютоновского течения к неньютоновскому (опи­ сываемому моделью степенной жидкости) растянут у полидисперсных полимеров и носит скачкообразный характер у монодисперсных.

5.Угол наклона кривой зависимости вязкости от скорости сдвига

вобласти, где выполняется степенной закон, постоянен лишь приб­ лиженно, он уменьшается с ростом скорости сдвига. Таким образом, уравнение степенной жидкости при фиксированном значении п точно выполняется только в ограниченной области скоростей сдвига.

Модель степенной жидкости, несмотря на ее ограниченность, является одним из наиболее широко применяемых эмпирических соотношений динамики полимерных жидкостей. Она дает неожи­ данно хорошие результаты даже при расчетах невискозиметрических течений и не полностью установившихся потоков!

Модель Эллиса — 1

В этом уравнении вязкость зависит от величины напряжений сдвига [331:

где г)0 — вязкость при нулевой скорости сдвига (предел г\ при у —.►0);TJ/2 — зна*

при простом сдвиговом течении это — просто напряжение сдвига (т = |т 21|).

Это определяющее уравнение менее удобно в употреблении, чем модель степенной жидкости, но более совершенно, поскольку пред­ сказывает существование ньютоновской зависимости вязкости от ско­ рости сдвига в области очень низких скоростей.

Модель Керри

Это соотношение также весьма удачно описывает неньютоновскую зависимость вязкости от скорости сдвига ггпросто в употреблении [34]:

Как и выше, определяющим уравнением является уравнение ОНЖ (6.3-6) с г) (у), задаваемой соотношением (6.5-8); г| 0 — вязкость при нулевой скорости сдвига, а т]^ — вязкость при бесконечной скорости сдвига. Последнюю, как правило, можно считать равной вязкости растворителя для растворов полимеров и равной нулю для расплавов.

Бингамовская жидкость

Это эмпирическое уравнение полуколичественно описывает реоло­ гическое поведение латексов типа полимерных эмульсий, исполь­ зуемых в нестекающих красках, а также паст и суспензий [36], представляющих собой реологические системы, широко распростра­ ненные в пищевой промышленности (например, кетчуп).

Бингамовская жидкость представляет собой упругое твердое тело ниже характеристического предела текучести ху и жидкость, когда напряжения выше этого предела:

Т) *= ОО при Т ^ Т у\ *1 (Y) == Но + -£■ пРи т > т„ (6.5-9)

В Приложении для ряда промышленных полимеров приведены константы моделей степенной жидкости (Эллиса и Керри), опреде*

Пример 6.3. Течение степенной жидкости по трубам Рассмотрим установившееся изотермическое ламинарное, полностью развив­

шееся течение несжимаемой степенной жидкости в горизонтальной трубе под дей­ ствием гидростатического давления, приложенного к одному из концов трубы. Тре­ буется определить: 1) профиль скоростей; 2) объемный расход.

Р е ш е н и е 1. Поскольку течение осуществляется в трубе, используем ци­ линдрическую систему координат. Течение изотермическое, и жидкость несжимаема; поэтому уравнения движения, неразрывности и определяющее уравнение полностью определяют течение. Из соображений симметрии будем считать, что в направлении 0

Поскольку течение установившееся, производная dy!dt = 0. Для определения

компонент тензора v-Vy воспользуемся записью компонент (я -Vy) в трех коорди­ натных системах:

прямоугольные координаты (х} у , г)

где

дд d