3115

Уравнение в форме (6.3-1) практически неприменимо, но из него можно получить полезные определяющие уравнения. Это можно сделать двумя способами (см. [1], рис. 8.3-1).

1. Разложение Г в ряд Тейлора при V = t дает [1]:

где

есть производная в «вмороженной» системе координат или производ­ ная по времени по Яуманну, описывающая скорость изменения у

сточки зрения наблюдателя, смещающегося и вращающегося вместе

счастицей жидкости. Сохраняя только первые два члена ряда Тей­ лора (это означает, что рассматриваемое течение полностью устано­ вившееся), получаем определяющее уравнение жидкости второго порядка:

Вслучае установившихся сдвиговых течений (6.3-4) превращается

вуравнение Криминейла—Эриксена—Филби (КЭФ):

и второй разности нормальных напряжений, зависящие от величины

второго инварианта тензора скоростей деформаций у = (у у).

Поскольку во многих процессах переработки полимеров сдвиговые течения — установившиеся, а функции г|, фх и ф2 играют важную роль в физике полимеров, уравнение КЭФ будет ниже подробно проанализировано. Если фх и ф2 положить равными нулю, урав­ нение КЭФ превращается в уравнение обобщенной ньютоновской жидкости (ОНЖ):

Если в (6.3-6) считать вязкость постоянной, получим уравнение несжимаемой ньютоновской жидкости (6 .2 -1):

т - —\ i y

Как и в случае (6.3-1), уравнения (6.3-11) и (6.3-12) практически нельзя использовать. Но с уравнениями (6.3-11) и (6.3-12) можно поступить так же, как с (6.3-1), получив из них полезные опреде­ ляющие уравнения (см. ссылку [1], рис. 9.5-3 и табл. 9.4-1). Для этого существуют два пути.

1. Для большинства установившихся течений можно у[1] или V[i] разложить в ряд при t = /' и получить определяющее уравнение жидкости второго порядка в конвективной системе координат. Если рассматривать установившиеся сдвиговые течения, получим уравнение КЭФ, которое в свою очередь превращается в ОНЖ,

и (6.3-12) получаем уравнения типа ГМ, например так называемое

Интегрируя (6.3-13) по частям, получаем уравнение эластической жидкости Лоджа [3 ] :

— оо

где М (t — /') = dG (t — i')/df\ 7|-0] — контрвариантпый тензор деформаций в де­ формируемой системе координат.

При малых деформациях уравнение (6.3-13) превращается в урав­

нения ЛВУ (6.3-8) и (6.3-9) (V[i] = v)- При больших деформациях, вводя в (6.3-13) выражение G (t—t') конкретного вида, можно полу­ чить обобщенные модели линейной вязкоупругости в деформируемой системе координат. Если, как и раньше, использовать один максвел­ ловский элемент, можно получить следующий аналог (6.3-10):

Вместе с выражением производной (6.3-16) уравнение (6.3-15) представляет собой реологическое уравнение Уайта—Метцнера, которое часто используют в качестве модели нелинейной вязкоупру­ гости. Естественно, при малых деформациях Tti] = dr/dt и (6.3-15) превращается в уравнение максвелловской жидкости (6.3-9). Нако­ нец, ряд широко используемых определяющих уравнений получают, конкретизируя вид функций G1, G2, (или Мъ М2, ...), вместо

* Верхний индекс «г» в уравнении (6.3-16) означает операцию транспортирова­ ния тензора. — Прим. пер. '

В последующих трех разделах будут обсуждены три из упомя­ нутых реологических уравнений: ЛВУ, ОНЖ и КЭФ. Первое вскры­ вает вязкоупругую природу поведения расплавов полимеров; раз­ личные частные виды второго широко применяются для решения задач по переработке полимеров; с помощью третьего уравнения можно предсказывать разности нормальных напряжений в уста­ новившихся сдвиговых течениях, что полезно в вискозиметрии.

6.4. Линейная вязкоупругость

[ В разд. 6.3 было введено определяющее уравнение линейной вязкоупругости (6.3-8), рассмотрено его происхождение и возможное применение. Там же показано, что релаксационный модуль G (t) зависит от механической модели, которая применяется для конкре­ тизации общего уравнения ЛВУ Рассмотрим этот вопрос более детально.

Вполне логично предположить, что линейное вязкоупругое пове­ дение можно описать (по крайней мере, качественно), если пред­ ставить, что среда имеет двойственную природу и обладает свой­ ствами ньютоновской вязкой жидкости и твердого упругого тела Гука. Эта идея может быть выражена с помощью простой механи­ ческой модели, изображенной на рис. 6.5. Если, например, в макс­ велловском элементе происходит релаксация напряжений (у = О при t < 0 , у = у0 при t > 0 ), то их зависимость от времени имеет вид (см. Задачу 6 .1 ):

где время релаксации X представляет собой отношение «вязкости» и «модуля» элементов модели Максвелла. Уравнение (6.4-1) можно использовать для определения зависящего от времени (релакси-

она не зависит от уровня напряжений. Это происходит потому, что максвелловский элемент представляет собой линейную систему.

Аналогично, если испытывается на ползучесть (т = 0 при t <С 0, т = т0 при t > 0) элемент Фойхта, зависящая от времени деформация имеет вид (см. Задачу 6.3):

Можно ввести не зависящую от экспе­

Рис. 6.5. Модели Максвелла ( а ) и Фойхта (б).

Релаксация напряжений и ползучесть линейных несшитых поли­ меров только качественно описываются с помощью моделей Фойхта и Максвелла даже при малых напряжениях и деформациях, когда эти материалы линейно вязкоупруги. Рис. 6 . 6 иллюстрирует сход­ ство и разницу между экспериментом и теорией. Основное отличие состоит в том, что предсказываемая теорией реакция материала на приложенные извне воздействия описывается простой экспонен­ циальной зависимостью от времени G (t) и J (t), в то время как из рис. 6 . 6 видно, что экспериментально наблюдаемые значения G (/) и J (t) удовлетворительно аппроксимируются лишь суммой экспо­ нент типа встречающихся в уравнениях (6.4-2) и (6.4-4). Таким

образом

В двух приведенных уравнениях предполагается, что спектры времен релаксации и ретардации дискретны. Физически концепция дискретной спектральной реакции на внешние воздействия доста­ точно разумна. Она означает, что система деформированных гибких полимерных цепей возвращается в конформационное состояние,

вкотором она имеет максимальную энтропию по большому набору

(N)типов молекулярных движений, часть из которых происходит быстро (малые Я), а часть — медленно. Наибольшее время релак­ сации, по-видимому, представляет собой характерное время пере­ стройки цепи в целом или системы цепей. Но в механике сплошных сред дискретные молекулярные системы аппроксимируются непре­ рывными моделями, поэтому, исходя из предыдущих соображений, дискретные спектры можно преобразовать в непрерывные следую­ щим образом:

ОО-1-00

Рис. 6.6. Экспериментально наблюдаемые у гибкоцепных несшитых полимеров (кривые 1 ) и предсказываемые моделью (кривые 2 ) :

а - релаксация напряжений (модель Максвелла); б - ползучесть (модель Фойхта).

148

изменение вязкости.

Вернемся снова ^уравнению линейной вязкоупругости (6 .3 -8 ) и поставим следующий вопрос: каковы напряжения в случае вискозиметрического течения с Uj = уя2, v2 = 0 и vs — 0? Для простоты рассмотрим один максвелловский элемент, т. е. G (t — t') =

При таком течении, как следует из формул, приведенных на с. 106, тензор скоростей деформаций имеет вид *:

которые асимптотически стремятся к значению —\i\. Поведение вязкоупругих сред при установившихся режимах течения ньюто­ новское, поскольку — т12/у = |т.

Расплавы полимеров ведут себя как ньютоновские жидкости только при очень малых скоростях сдвига. Более того, как указы­ валось в разд. 6.3, уравнения ЛВУ ограничиваются очень малыми деформациями. При более высоких скоростях деформаций и при больших деформациях применяются нелинейные определяющие уравнения вязкоупругости типа рассмотренных в разд. 6.3 уравне­ ний ЗФД, Уайта—Метцнера, ГМ, БКЗ, Лоджа или Богью. Только с помощью более сложных уравнений удается полуколичественно описать реологическое поведение расплавов полимеров, остальные согласуются с экспериментом лишь качественно. Тем не менее теория линейной вязкоупругости полезна по следующим соображениям: 1 ) она дает возможность понять, почему полимеры проявляют вязкоупругое поведение, а также качественно показывает тенденции зависимости их механических свойств от времени; 2 ) она объясняет наблюдаемую экспериментально температурно-временную эквива­

* Нижний предел интеграла не —оо, а нуль, так как течение начинается при

/= 0 .