3115

Уравнение (5.1-15) имеет форму второго закона Ньютона. Оно показывает, что скорость изменения количества движения системы равна сумме сил, действующих на нее. Таким образом, _ [V *j tl представляет собой чистую силу, действующую на жидкий элемент со стороны окружающей жидкости.

Тензор напряжений

Рассмотрим точку ^сплошной среды Р, расположенную на произ­ вольной элементарной поверхности AS, определяемой нормалью п (рис. 5.3). Пусть Af; — результирующая сила, с которой материал действует через поверхность на среду, расположенную с положитель­ ной стороны поверхности. Средняя сила на единицу площади равна Afi/A$. Ее величина имеет ненулевой предел, когда AS стягивается в точку Р (принцип Коши). Этот предел называется вектором напря­ жений или вектором сопротивления Т. Но Т зависит от ориентации площадки элемента поверхности, т. е. от направления нормального вектора п. Таким образом, может показаться, что существует беско­ нечное количество независимых способов описания напряженного состояния в точке Р. Оказывается, однако, что оно полностью опре­ деляется, если задать компоненты векторов напряжений на трех произвольных взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку Р, т. е. для полного описания напряженного состояния необходимо знать девять компонент_по три для каждого вектора.

Каждую компоненту можно описать двумя индексами: i и /. Первый

Рис. 5.3. Произвольная поверхность, используемая для определения вектора на­ пряжений.

Рис. 5.4. Девять компонент тензора напряжении в декартовой системе координат. В пределе" куб стягивается в точку Р.

индекс указывает ориентацию площадки, второй — направление действия силы.

На рис. 5.4 изображены три компоненты для трех плоскостей декартовых координат. Девять компонент векторов напряжения образуют декартов * тензор второго порядка — тензор напряже­ ний"* л' Более того, некоторые аргументы, основанные на прин­ ципах механики, экспериментальные наблюдения, а также моле­ кулярные теории приводят к заключению, что тензор напряжений л' симметричен ***:

тензора напряжений. Компоненты вида п'ц называют нормальными напряжениями, компоненты вида л-/ (i Ф /) — напряжениями сдвига.

Если рассматривать действие среды, расположенной с положи­ тельной стороны поверхности (т. е. со стороны, куда направлена нормаль к поверхности), на материал, расположенный с отрицатель­ ной стороны, то компоненты напряжений положительны, когда их направление совпадает с направлением координатных полей и они действуют на плоскости, нормальные векторы к которым положи­ тельны относительно координатных осей. Компоненты л,'/ положи­ тельны также, когда оба направления отрицательны, и отрицательны, когда какое-нибудь одно из направлений отрицательно. При таком соглашении о знаках, в основном применяемом в механике сплошных сред и ее практических приложениях, растягивающие напряжения положительны, а сжимающие_отрицательны (см. рис. 5.4, где все напряжения положительны, поскольку принято, что внешняя часть куба действует на его внутреннюю область).

К сожалению, такое соглашение о знаках противоположно тому, которое следует из анализа процессов переноса количества движе­ ния, и л 'т = —л (где символом «т» обозначена операция транспо­ нирования) **** Как отмечают Берд и др. [76], вектор лп = п л , действующий на поверхность dS ориентации п, соответствует силе n ndSt с которой отрицательная часть среды действует на положительную. По третьему закону Ньютона силы, с которыми действуют части

* Конечно, напряженное состояние в точке не зависит от выбора системы коор­ динат, следовательно, и тензор как некий оператор, описывающий напряженное состояние, от вектора координат не зависит. Однако компоненты его меняются при изменении системы координат. Употребляя слово «декартов», автор просто подчер­ кивает. что координаты тензора записаны в некоторой фиксированной декартовой системе. — П р и м . п е р .

**Тензор л' и введенный выше л различны, так как они определены в бази­ сах. имеющих разную ориентацию. Этот вопрос будет обсуждаться ниже.

***Тензор напряжений симметричен только для сред, в которых отсутствуют ;тн(|ф'зия, химические реакции и т. д. В случае рассматриваемых в книге «чистых»

В Примере 5.1 показано, что в случае простого сдвига между па­ раллельными плоскостями ньютоновской жидкости единственная ненулевая компонента тензора напряжений хцх пропорциональна ненулевой компоненте градиента скорости dvjdy. В общем случае течения, однако, возможно более чем одно ненулевое направление градиента скорости. Каждая из трех компонент скорости может изменяться в трех координатных направлениях, что дает девять возможных компонент градиента. Таким образом, можно ввести тензор градиентов скорости у© (диадное произведение V и г>), ко­ торый в декартовых координатах записывается в виде:

(5.1-24)

Движение жидкости представляет собой одновременное переме­ щение и вращение. Такие движения можно разделить, представив тензор градиентов деформаций в виде двух частей:

(5.1-25)

Здесь у и о» — тензор скоростей деформаций и вращательный тензор соответственно, определяемые как

где (V®)T — тензор, транспонированный * из V®.

Для случая движения жидкости между параллельными пла­ стинками у превращается в

(5.1-28)

Здесь у — скорость сдвига, которая представляет собой скаляр и связана со вторым инвариантом ** тензора у следующим образом:

В случае простого сдвигового течения скорость сдвига, конечно, равна единственной ненулевой компоненте тензора градиентов ско­ рости, которая может быть вычислена следующим образом:

(5.1-30)

где у — полная сдвиговая деформация.

* (V®)T имеет те же самые компоненты, что и V®, но с переставленными ин­ дексами (столбцы и строки переставлены).

Ньютоновская жидкость

Уравнения состояния связывают тензор напряжений и тензор скоростей деформаций. Для ньютоновской жидкости при произволь­ ном течении закон вязкости Ньютона представляется в виде:

где k — объемная вязкость.

Для несжимаемых жидкостей (и полимеров, которые обычно считают несжимаемыми) W = 0, и уравнение (5.1-31) принимает вид

прямоугольные координаты (х , у, г)

Уравнение (5.1-33) вместе с уравнением неразрывности, гранич­

Как правило, при переработке полимеров наблюдаются течения ползучести, в которых вязкие силы гораздо больше инерционных. Классическими примерами таких течений являются течения, рас­ сматриваемые в гидродинамической теории смазки, течения Хила—

Течения ползучести детально рассмотрены Хаппелом и Бреннером в работе [8].

Уравнение энергии

Применяя ту же методику, что и при рассмотрении переноса массы и момента количества движения, можно получить уравнение баланса энергии в терминах скоростей изменения кинетической и потенциальной энергий, умножив каждый член уравнения движения

на скорость жидкости v. Подставляя последнее уравнение в полу­ ченное выше уравнение баланса тепловой энергии, получаем:

Член Р (V-©) представляет собой обратимую скорость роста внутренней энергии на единицу объема при сжатии, а член (т V©) — необратимый прирост внутренней энергии на единицу объема вслед­ ствие диссипации энергии при вязком течении. В последнем члене вязкость зависит от температуры, поэтому необходимо совместное решение уравнений движения и теплопереноса. Температурная зависимость вязкости может быть важной, а иногда и определяющей при течении полимеров. Тепловой поток можно выразить через градиент температуры, используя обобщенную форму закона Фурье:

Если внутреннюю энергию считать постоянной, то в функции температуры и удельного объема она имеет вид U = U (Т, V). Если жидкость несжимаема (что соответствует Ср = Сг), то уравнение энергии принимает вид:

Ниже представлено уравнение энергии в форме баланса потоков тепла и количества движения в различных системах координат:

прямоугольные координаты (х , у, z)

л(£+*£+*£+7 г,£)-

“ ~ [ ж Ж <!\) + ,s i„ 0 -Jo («вsln e) + -y ~ iy 1 5 3 7 -)-

“ Г ( ^ ) в ( т 4 т е т Ж !ln«>+Tike ^ ) -

Для несжимаемой ньютоновской жидкости при постоянном теп­ ловом потоке уравнение (5.1-37) трансформируется следующим

Ниже приведено уравнение энергии в форме связи параметров переноса в различных системах координат *:

прямоугольные координаты (х, у , z)

+Ч(£-),+(*)‘+(£),]МФ+-&),+

W ( * ) , + [ - H £ + * ) i , + ( - f r ) V

+ е { ( £ ■ + к * ) ’ + ( * +