3115

Опыты проводились с неподвижными столбиками порошка «са­ ран» и гранул полистирола, и результаты подтвердили теоретиче­ ские выводы с точностью до ошибки эксперимента. Тем не менее, несмотря на соответствие между экспериментом и расчетом, необ­ ходимо помнить о радикальных упрощающих допущениях, приня­ тых при теоретическом выводе, и использовать теоретические резуль­ таты с известной осторожностью.

Пример 8.1. Усилие, необходимое для работы плунжерной литьевой машины.

Плунжерная машина для литья под давлением состоит из цилиндра диаметром 5,08 см, внутри которого совершает возвратно-поступательное движение хорошо пригнанный плунжер. Вычислим максимальную длину твердой пробки в цилиндре, принимая давление впрыска равным 69 МПа, а радиальное напряжение, которое мо­ жет выдержать корпус, 172,4 МПа. Пусть коэффициент статического трения будет 0,5, а отношение радиального напряжения к осевому К = 0,4.

L

In 6,25 = 0,5-0,4-4-g-Qg*

Искомая длина будет равна 11,63 см. Таким образом, при осевом усилии около 89 кН можно спрессовать столб материала высотой 11,63 см, причем радиальное на­ пряжение достигнет верхнего предела. Ясно, что если литьевая машина этого типа должна обеспечивать столь высокие давления впрыска, то необходимо уменьшить коэффициент трения материала о стенки цилиндра. Этого можно добиться, например, нагревая цилиндр и создавая тонкую пленку расплава на его стенке. При атом во­ лочение перейдет в вязкое ламинарное течение, сопротивление которого не зависит от величины локальных нормальных напряжений.

8.12. Установившееся движение, вызванное перемещением нормальных границ движущегося объема и осложненное торможением боковых стенок

Принудительный сдвиг, вызывающий движение сыпучего мате­ риала, наблюдается в том случае, когда по крайней мере одна &з сте­ нок, между которыми заключен материал, скользит по нему в на­ правлении, параллельном движению потока. Трение между подвиж­ ной стенкой и твердым материалом приводит к появлению действую­ щей на материал толкающей силы. Выше (на рис. 8.16) показан прямоугольный канал с пластиной, образующей верхнюю стейку канала, которая движется с постоянной скоростью вдоль оси х.

как в первом случае, но FL > F0; 3) материал движется с Постоян'- ной скоростью (меньшей, чем скорость верхней пластины) в поло­ жительном направлении вдоль оси х; 4) состояние такое Как в третьем случае, но материал движется в отрицательном няпраа. лении оси .V.

Условия равновесия сил, действующих на дифференцц^льком элементе для этих четырех случаев, приведены на рис. 8.17. go Всех случаях движение пластины порождает силу C^fwlK (F/A), ^

нии (8.11-1). Постепенное возрастание fwiCi приводит к увеличе­ нию этого отношения. Следовательно, при заданном значении FL сила, действующая на поджимающий плунжер, с ростом этого отно­ шения уменьшается до тех пор, пока не окажется равной Е0>т. е. C\fw\ = C2fw2 . В этой точке сдвигающая сила, созданная верхней пластиной, полностью уравновешивается силой развитого трения на неподвижных стенках. В этот момент можно слегка увеличить FL и таким образом ослабить трение на неподвижных стенках.

Это показано вертикальной линией на рис. 8.18, достигающей точки, в которой силы трения на неподвижной пластине равны нулю

что отмечено жирной точкой на рис. 8.18. Силу FL можно увели­ чивать и дальше, постепенно подключая силы трения, действующие на неподвижные стенки в противоположном направлении, до тех пор, пока они не разовьются полностью. В этом случае отношение сил будет равным:

Таким образом, выявлены условия, иллюстрируемые на рис. 8.18 вертикальной прямой, при которых отношение сил оказывается неопределенным.

Состояние, отмеченное жирной точкой на рис. 8.18, можно объяс­ нить следующим образом. Правый плунжер как бы заменяется неподвижной перегородкой, которая реагирует на силы, передавае­ мые твердым материалом, но из-за своей неподвижности препятствует

Рис. 8.20. Прямоугольный канал, заполненный сыпучим материалом, движущимся вдоль положительного направления оси х с постоянной скоростью м, накрытый бес­ конечной пластиной, которая в спою очередь движется в направлении оси г с по­ стоянной скоростью Vo П О Д углом 0 к продольной оси.

Рис. 8.21. Вид сверху на дифференциальный элемент, выделенный в столбике сы­ пучего материала, показанного на рис. 8.20.

риал. Отношение сил графически представлено нижней кривой на

рис. 8.19.

Очевидно, что для любой заданной силы F0 (которая должна быть больше нуля, исключая случай, когда трение отсутствует) можно получить силу FL большую, чем F0, если коэффициент Сг[ш1 будет иметь достаточно большое значение. Отношение сил, по-видимому, не зависит ни от скорости пластины, ни от скорости материала. Это условие выполняется лишь при наличии установившихся ско­ ростей. Такой результат является следствием предположения о том, что силы трения зависят только от нормальных напряжений и не зависят от скорости; это предположение, как было показано в гл. 4, вполне обоснованно. С другой стороны, скорость материала, умно­ женная на площадь поперечного сечения канала, определяет расход. Поэтому приведенные выше рассуждения приводят к выводу о том, что для подобного установившегося течения расход является вели­ чиной неопределенной. Как же можно использовать концепцию течения при принудительном сдвиге для того, чтобы получить гео­ метрические соотношения, позволяющие рассчитать расход?

Оказывается, для этого нужно связать величины сдвигающих сил трения со скоростью материала. Это можно сделать, если заме­ нить верхнюю пластину на бесконечную плоскость, которая дви­ жется не вдоль оси канала, а под некоторым углом 0 к ней, как это показано на рис. 8.20. Сила трения, возникающая из-за движения плоскости над материалом, сохраняется постоянной, но направление этой силы будет определяться векторной разностью между скоростью плоскости и скоростью материала (рис. 8.21). Следовательно, со­ ставляющая этой силы, которая входит в уравнение равновесия и совпадает по направлению с компонентой скорости, направленной вдоль оси канала, оказывается зависящей как от скорости движения плоскости, так и от скорости (или расхода) материала.

Из диаграммы скоростей (см. рис. 8.21) можно получить следую­ щее выражение для угла Ф между направлением силы, действую -

щей со стороны движущейся плоскости на материал, и направле­

нием движения подвижной плоскости (угол транспортировки ма­ териала):

Для неподвижного материала Ф становится равным нулю, т. е. при увеличении скорости этот угол увеличивается.

Составим уравнение равновесия, принимая во внимание только те силы, которые действуют вдоль оси канала, и пренебрегая компо­ нентами, действующими в перпендикулярном направлении:

При начальных условиях x = 0, F = F0 интегрирование дает:

Следовательно, отношение сил или (после деления на площадь поперечного сечения канала) отношение осевых напряжений, кото­ рые в дальнейшем будем называть «давлениями», связано с величи­ ной расхода через угол Ф, определенный по уравнению (8.13-1). Это означает, что для данного давления на входе фиксированное давление на выходе определяет расход и, наоборот, заданный расход определяет давление на выходе, которое может создавать данное устройство. Снижение расхода вызывает повышение давления.

Описанный выше механизм транспортировки материала пред­ ставляет собой, в сущности, механизм движения порошкообразного материала в одночервячных экструдерах, хотя действительная модель в этом случае оказывается более сложной из-за искривле­ ния канала.

Если исключить из рассмотрения силы, действующие поперек канала, то получим уравнение (8.13-3). Рассмотрим теперь влияние сил на механизм транспортировки сыпучего материала.

При установившемся движении со стороны подвижной пластины на материал действует сила в направлении 0 + Ф. Эту силу можно разложить на две компоненты: одна (она была использована при составлении уравнения равновесия) направлена вдоль оси канала, другая (которая до сих пор не учитывалась) — перпендикулярно оси канала. Существование поперечной составляющей увеличивает нормальные напряжения у стенки А (см. рис. 8.20), а это в свою очередь влияет на распределение напряжений в материале.

Допуская ради упрощения, что соблюдается принцип Сен-Ве- нана, получим, что внешняя сила, действующая на подвижную пластину, полностью уравновешивается дополнительной силой, действующей со стороны стенки А , но внутри материала (достаточно «далеко» от места, где действуют эти силы) действие внешней силы не будет проявляться. Другими словами, пренебрежем изменениями

где W n H — ширина и высота канала соответственно.

Теперь можно записать уравнение равновесия сил,^действую­ щих вдоль оси канала, с учетом влияния дополнительной нормаль­ ной силы у стенки А на силу трения вдоль стенки:

Уравнение (8.13-7) сводится к уравнению (8.13-3), если не учи­ тывать второй член в правой части. Ясно, что сила, действующая поперек канала, создает дополнительное трение на поверхности стенки А (см. рис. 8.20), которое в свою очередь снижает создавае­ мое при заданном расходе давление (для данного угла Ф) или сни­ жает производительность при заданном перепаде давлений.

Задачи

Покажите, что вектор напряжений тп, действующий в плоскости, определяемой

единичным нормальным вектором п, расположенным под углом 0 к оси х, на которой находится точка Р, равен:

8.2. Нормальная и касательная составляющие вектора тп. Покажите, что нор­

мальная и касательная компоненты вектора напряжения хпопределяются по уоавне- ниям (8.4-1) и (8.4-2).

8.3. Отношение главных напряжений для неслипающихся порошков. Напря­ женное состояние в точке Р, расположенной в плоскости постоянных нагрузок определяется с помощью круга Мора (см. рис. 8.2). В условиях начинающегося раз­ рушения линия предельного нагружения касательна к кругу Мора. Поэтому для точки Р касательные напряжения, действующие в плоскости, положение которой

Покажите, что для RXW -► О уравнение (38.8-1) сводится к уравнению (8.13-3)

гом пои транспортировке материала в прямоугольном канале, задается уравнением (8 13-7) Канал имеет размеры W = 6,35 см и Н = 1,27 см. Давление в точке, распо­ ложенной выше по движению, равно 68947,6 Па, а в точке, расположенной ниже по движению — 384038,1 Па; расстояние между точками 25,4 см. Коэффициенты тре­ ния на подвижной стенке 0,5, а на неподвижных стенках 0,2. Верхняя стенка дви­ жется под углом 15° к продольной оси канала со скоростью 25,4 см/с. Насыпная плот­

7.A. W Jenike, «Gravity Flow of Bulk Solids», Bulletin No. 108 of the Utah Engineering Experimental Station, University of Utah, Salt Lake City, 1961.

8.B. Yauin and J. Ellad, «Properties and Behavion of Polymeric Particulate Sy­

9.H. A. Janssen, «Tests on Grain Pressure Silos», Z. Vereinschr. Dtsch. Ing-, 39, (35), 1045—1049 (1895).

10.W. L. McCabe and J . C. Smith, Unit Operations of Chemical Engineering, McCraw-Hill, New York, 1956, Chapter 5.

11.D. M. Walker, «An Approximate Theory for Pressures and Arching in Hoppers», Chem. Eng. Sci., 21, 975—997 (1966).

12.J. K. Walters and P. M. Nedderman, «А Note on the Stress Distribution of

17.R. L. Brown and P. G. Hawksley, The Internal Flow of Granular Masses», Fuel., 26, 171 (1947).

18.J. Lee, S. C. Co-win, and ,/. S. Templeton, «An Axperimental Study of the kinematics of FlowThrough Hoppers», Trans. Soc. Rheol., 18, 247—^6^(1974).

19.R. Butterfield, R. M. Harkness, and K. Z. Andrews, «А Stereophotog^mmetric

25.R. S. Spencer, G. D. Gilmore, atil R. M. \\ illey, «Behaviorof Granulated Polymer Under Pressure, «!. Appl. Phys., 21, 527—531 (1950).

транспортировка и деформация размягченных или расплавленных полимеров. Следовательно, подготовка полимера к формованию обычно включает стадию разогрева или плавления. В любом случае можно классифицировать этот процесс как «элементарную стадию плавления»^ В этой главе обсуждается механизм плавления, демон­ стрируются некоторые общие математические методы, используемые для его описания, и показывается, как механизм плавления и физи­ ческие свойства полимеров определяют геометрический фронт плав­ ления.

После того как обработка расплава полимера заканчивается получением изделия заданной формы, возникает проблема отверж­ дения, противоположная проблеме плавления. Методы решения уравнений теплопроводности, описанные в этой главе, примени­ тельно к плавлению, справедливы и для отверждения. Специальные вопросы отверждения рассматриваются в главах, посвященных формованию. Стадия плавления прежде всего касается переработки термопластов (за исключением холодного формования термопластов). Однако некоторые выводы, сделанные в этой главе, относятся и к переработке термореактивных полимеров, отверждающихся при нагревании вследствие образования поперечных связей. В этом слу­ чае нагрев осуществляется как за счет теплопроводности, так и за счет тепла, выделяющегося вследствие химической реакции от­ верждения.

9.1. Классификация методов плавления

Анализ членов уравнения (5.1-35) выявляет различные возмож­ ные способы повышения температуры твердого тела: за счет тепло­ проводности, сжатием, в результате диссипативных потерь (слагае­ т е —т : Vtf) или от распределенного источника тепла (в виде хи­ мической или электрической энергии). Диссипативный член —(т Wv) отражает необратимость превращения механической энер^- гии в тепло и в данном случае обусловлен необратимой деформацией твердого тела (в жидкости этот источник — диссипация энергии

вязкого течения).