3115

Используя (7.11-4) или (7.11-7), получим выражение для среднего значения вре­ мени пребывания:

С помощью соотношений, приведенных на с. 211, можно получить и другие функ­ ции распределения. Ниже приведены формулы для расчета этих функций:

= ( ( > „ ( 7 п | 8 )

7.12. Обобщение функций распределения

В предыдущем разделе показано, как функции распределения деформации можно выразить в терминах, принятых для классиче­ ского определения функций распределения времен пребывания. Подобным же образом можно определить другие необходимые функ­ ции, заменив время или деформацию на другие интересующие нас переменные или комбинации переменных. Так, обобщенную функ­ цию g (х) dx можно рассматривать как долю материала внутри си­ стемы, обладающего определенным свойством, изменяющимся в диа­ пазоне от х до х + dx. А функцию / (х) dx можно рассматривать как часть объемного расхода, характеризуемого определенным показа­ телем в пределах между х и х + dx. Переменной х может быть время пребывания t, суммарная деформация у или другая, представляющая интерес переменная, например, температура Т, если требуется опре­ делить критический диапазон воздействия температуры. Переменной величиной может быть произведение времени на температуру для термочувствительных материалов (когда критическим параметром является термическая предыстория материала) или напряжение сдвига т при диспергирующем смешении.

7.13. Флуктуация состава во времени

До настоящего момента при описании непрерывного процесса смешения речь шла о композициях постоянного состава. Основная задача смещения — иметь на выходе из смесителя в любой момент

времени однородный по составу поток жидкости. Однако условия на входе в смеситель практически никогда не бывают постоянны во времени. Эффективность действия непрерывного смесителя зависит от того, как хорошо он может выравнивать начальные флуктуации концентрации во времени. Иными словами, предположим, что поток на входе в смеситель имеет концентрацию С* (среднюю по сечению), изменяющуюся во времени. Требуется определить концентрацию С0 выходящего потока как функцию времени. Если не все частицы жид­ кости имеют одинаковое время пребывания в смесителе вследствие неоднородности поступления в него, то смешение приводит к тому, что вытекающий поток характеризуется меньшей вариацией состава,

Флуктуации концентраций во времени на входе и выходе можно

выразить через отклонения от среднего знамения концентрации С, которое остается постоянным:

Ci(l) = C + 8i(0 (7.13-1) Со (/) = С + во (0 (7.13-2)

где 6f и 60 — отклонения от среднего значения концентрации на входе и выходе по-

вмомент времени t концентраций всех частиц жидкости, вошедших

всмеситель в разное время. Величина C0(t) определяется из выраже­ ния

где Ct (t — 0) — концентрация на входе в потоке частиц жидкости, которые попали

в смеситель в момент времени t — 0 и, следовательно, находились в смесителе в те­ чение времени 0.

Выражение (7.13-5) можно переписать следующим образом:

Усреднив флуктуацию концентраций по времени, получим:

(где t' — t — 0) определяется из выражения (7.5-2), где пара сравни­ ваемых точек взята в одном и том же месте, но с разрывом во вре­ мени т. Эта величина известна как нормированная автокорреляцион­ ная функция С,- за период времени т. Подставив выражение (7.13-11) в (7.13-10), получим:

оо оо

Нормированную автокорреляционную функцию R (т) можно рас­ считать из представительной выборки концентраций на входе как функцию времени. Она характеризует временной масштаб флуктуа­ ций и их периодичность. Флуктуацию РВП / (0) dQ можно рассчи­ тать теоретически, если известна картина течения, или определить экспериментально любым из обычно применяемых «трассерных» методов.

Очевидно, что величина временных флуктуаций концентрации на выходе зависит как от условий входа, так и от характера РВП, и в особенности от их взаимодействия (см. Задачу 7.15). Только исключительный случай пробкового течения не приводит к умень­ шению флуктуаций концентрации. Такие условия течения можно наблюдать при использовании различных видов перерабатывающего оборудования, например одно- и двухчервячных экструдеров. Этот вид оборудования обеспечивает очень узкое РВП, что во многих от­ ношениях является большим преимуществом. Однако в отношении выравнивания флуктуаций в составе композиций, подаваемых в пи­ татель экструдера, возможности экструзионных машин ограничены. Поэтому необходимо тщательно следить за дозированием отдельных элементов композиции, подаваемых на вход в экструдер.

Задачи

7.1. Механизмы смешения. Рассмотрите процесс каландрования в производстве поливинилхлоридного покрытия для полов. Технологическая линия состоит из резиносмесителя, осуществляющего сухое смешение ПВХ, смесителя закрытого типа,

питающего одночервячный экструдер, снабженный неподвижным смесителем, питаю­ щим первый Зазор каландра.

7.6. Степень разделения для полосатой текстуры. Используя выражение (7.5-4), покажите, что степень разделения в направлении, перпендикулярном полосам тек­ стуры (см. рис. 7.10), описывается выражением (7.5-8).

Р е к о м е н д а ц и я : значения вероятностей в выражении (7.5-4) можно оце­ нить «наложением диполя» (мысленно). Вероятность того, что один конец диполя по­

Вероятность того, что другой конец диполя попадет на участок 1, равна единице. Поэтому приведенное выражение определяет вероятность того, что эти диполи обоими

личение площади поверхности раздела при однородном течении определяется выра­ жением (7.9-24). Покажите, что для случая простого сдвигового течения выражение (7.9-24) преобразуется в выражение (7.9-15).

Р е к о м е н д а ц и я : учтите, что углы между главными осями сфероида деформации и направлением л: (направление сдвига) X и X + л/2 связаны с величи­ ной общей деформации у соотношением

Y = 2ctg2x,

а удлинения вдоль главных осей тензора деформации равны:

элементы площади поверхности раздела будут отличаться по размерам: появится некоторое распределение элементов площади поверхности раздела вследствие раз­ вития деформации сдвига.

1. Покажите, что дисперсия распределения равна:

раздела элементов для любой однородной деформации равно:

( х ) 1 “ - г 1М 15(1г г + » г’ + ^ )

где Л0 — начальная поверхность, а ^ — главные удлинения.

Покажите, что это выражение совместно с (7.9 20) приводит для простого сдвига

квыражению, записанному в п. 1.

♦A, S. Ladge, частное сообщение, 1976.

/\9. Функций распределения деформации при пуазеилевом течений.

1. Выведите выражение ФРД F (у) для полностью развившегося изотермического

2.Рассчитайте среднее значение деформации.

3.Какая доля потока на выходе из трубы будет иметь деформацию меньше 100,

если длина трубы 1 м, а радиус трубы 0,01 м? (Ответ: 0,3137)

7.10.Функция распределения деформации при течении между параллельными

пластинами.

1. Выведите выражения ФРД F (у) для течения между параллельными пласти­ нами (см. Пример 7.6) при наличии градиента давления. Профиль скоростей опреде­

ляется выражением

Ко

' ' - [ 6 + 3 5 « - " - B J

где | = у/Н, a qv и qd— соответственно объемные расходы под давлением и при вы­ нужденном течении, отнесенные к единичной ширине цели. Их отношение А равно:

3.Постройте график зависимости ФРД от qplqd в интервале---- 1-

оqd о

7.11.Соотношение между средними значениями деформации и скорости сдвига.

Вразд. 7.10 показано, что в случае непрерывного однозначного профиля скоростей

при сдвиговом течении типа vx (у) справедливо следующее соотношение:

7.12.Чистка круглого канала. Через круглый канал пропускают полимер крас­ ного цвета. В момент времени t начинают вводить полимер белого цвета для очистки канала от красного полимера. Рассчитайте объемную долю красного полимера, остав­ шегося в канале в момент времени, когда первые следы белого полимера появятся на выходе из канала, при условии, что речь идет о ньютоновских жидкостях одина­ ковой вязкости и плотности. (Ответ: 0,5).

7.13.Распределение времени пребывания в двух системах, расположенных по­

1. Докажите, что в обеих комбинациях распределение времени пребывания оди­ наково, если в трубе происходит пробковое течение.

2. Сделайте то же самое для ламинарного течения в трубе.

7.14. Отклонение распределения времени пребывания в сосуде с непрерывным

Рис. 7.21. Системы с различной по­ еледовател ьиостыо расположеп ия емкостей:

8. W Feller, An Introduction to Probability Theory and Its. Applications, Vol. 1,

don September 1969.

11.L T Fan and R . H. Wang, «On Mixing Indices», Powder Technol., 11, 27—32 (1975)

12.P V. Danckwerts, «Theory of Mixtures and Mixing,» Research (London), 6, 355—

20.P M. C• Lacey, «Developments in the Theory of Particle Mixing», J. Appl. Chem., 4, 254-268 (1954).

21.W. Weudanez, Chem. Eng. Technol., 32, 343 (1960).

22.H. E. Rose, Trans. Inst. Chem. Eng., 40, 272 (1962).

23.В. Д. Mop, Теория смешения и диспергирования, в кн,: Переработка термо*

пластичных материалов, под ред. Э, Бернхардта, пер. с англ., Гоехимиздат, М., 1962, гл. 3.

24.W. С. Brasie, private communication.

25.L. Erwin, «Mixing of Viscous Liquids», Polym, Eng. Sci. in press, See. also: L.

Erwin, «New Fundamental Considerations on Mixing in Laminar Flow», Society of Plastics Engineers 36th Annual Technical Conference, Washingon, D. C., 1978, p. 488.

26.Z. Tadmor and Q, Lldot%«Theoretical Analysis of Residence Time Distribution Functions and Strain Distribution Functions in Plasticating Screw Extruders», Polym. Eng. Sci., 18, 460-461 П976).

27.P, V, Danckwerts, «Continuous Flow Systems — Distribution of Residence Ti­ mes», Chem. Eng, Sci., 2, 1 (1953).

Ч а с т ь III

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СТАДИИ ТЕХНОЛОГИИ

ПЕРЕРАБОТКИ ПОЛИМЕРОВ

Глава 8

МЕХАНИКА ДВИЖЕНИЯ СЫПУЧИХ МАТЕРИАЛОВ

8.1.Значение сыпучих материалов

впроцессах переработки

Большинство полимеров поступает на переработку в виде сыпу­ чих материалов. Это наиболее удобная форма для транспортировки, получения цветных смесей, хранения, загрузки и, что особенно важно для переработки в машинах существующих типов. Применяются гранулы различной формы, такие, как кубические, сферические эл­ липсообразные, чечевицеобразные, а также порошки с частицами сферической или произвольной формы. Гранулы получают при про­ хождении полимера через гранулирующее устройство сразу после реактора. Выбор системы гранулирования определяется природой

полимера, требуемой производительностью и характеристикой про­ цесса переработки 11].

Общепринятыми Методами грануляции являются: горячая резка

на воздухе или под водой, холодная резка стержней или ленты. Размер гранул обычно варьируется от 3 до 6 мм. Гранулы часто со­ держат все необходимые для процесса переработки добавки. Эта форма является наиболее предпочтительной для питания таких ма­ шин, как экструдеры, литьевые машины и машины для формования методом раздува. Другие методы производства могут потребовать применения иных Ридов материалов. Например, порошок требуется для ротационных плавильных машин. Порошки получают сразу после полимеризации в реакторе с помощью форсунок или приготавливают в дробилках. Для этих Целей используются молотковая, барабанная, жидкостная дробилки и другое специальное оборудование [2]. Вто­ ричное сырье измельчают в дробилках разных типов с целью получе­ ния гранул различных размеров и формы. Полученный гранулят часто подмешивают к материалу, не бывшему в употреблении, и пере­ рабатывают в таком виде.

Полимер загружают в оборудование для переработки через за­ грузочное устройство; он перемещается в закрытых каналах перера­ батывающего оборудования, проталкивается, увлекается силой тре­ ния, сжимается и плавится. Все эти интенсивные процессы, проте­ кание которых обусловлено специфическими свойствами сыпучих материалов, влияющими на ход процесса переработки и его резуль­ таты, объединяет понятие «механизм движения сыпучих материалов»,