3115

стает вдоль положительного направления оси *, причем форма профиля пленки б (.х) — неизвестная функция. Тепло передается от нагретой пластины, которая имеет постоянную температуру Т0, к поверхно­ сти раздела фаз с температурой Т = Тт (предполагается, что поли­ мер является частично-кристаллическим веществом). Как было показано в разд. 9.2, аморфные полимеры в области Тё не имеют четко выраженного перехода от хрупкого состояния к вязкому. Поэтому выбор значения Тт не является очевидным. Можно произ­ вольно выбрать температуру Тт (выше Тб), при которой полимер наверняка становится вязкой жидкостьюД В противоположность этому, как недавно предположили Сандстром и Ло [27 ], температура стеклования совместно с уравнением ВЛФ [см. уравнение (6.4-10)] может быть использована для определения ТП1 расчетным путем.

ЩтгКу будем искать аналитическое решение, определяющее ско­ рость плавления и распределение температур в образующемся слое расплава. Ясно, что эти переменные являются функциями физиче­ ских свойств твердого полимера, температуры и скорости нагретой

пластины и ширины бруса Первый, кто рассматривал эту задачу в приложении к изучению

механизма плавления полимерной пробки в червячном экструдере, был Тадмор с сотр. [28—30]. Позднее Вермеулен [31] и Сандстром [32, 37 ] исследовали этот вопрос экспериментально и теоретически,

Чтобы детально разобраться в механизме плавления при описан­ ных условиях, рассмотрим свойства твердого полимерного стержня. Для абсолютно твердого, несжимаемого тела, надвигаемого на нагре­ тую пластину без вращения, скорость плавления на поверхности раздела фаз не должна зависеть от координаты х , потому что скорость твердой фазы в любом сечении х одинакова. Следовательно, б (х), Р (.х) и поля скоростей и температур в пленке расплава должны принимать значения, которые будут удовлетворять как этому тре­ бованию, так и уравнениям движения и энергии при соответствую­ щих граничных условиях. Однако в тонких пленках сильновязких полимеров при больших скоростях сдвига более приемлемым является предположение о постоянстве давления в пленке. Это в свою оче­ редь дает основание предполагать, что при установившемся режиме скорость плавления в общем случае зависит от х, хотя эта зависи­ мость может быть очень слабо выражена.

Переменная скорость плавления означает, что твердая фаза под­ вергается или деформации, или вращению, или тому и другому вместе. Твердые полимеры, в частности в виде пробки спрессованных гранул или порошков (как это обычно наблюдается в процессах пере­ работки), можно считать деформируемыми. Расплав, образующийся в очаге плавления, проникает внутрь пустот между твердыми ча­ стицами пробки, позволяя им скользить и перестраиваться в области, прилегающей к поверхности раздела фаз. Физическая сущность деформации твердой пробки состоит в следующем. Медленно дефор-

282

профиля скоростей от х. Следовательно, уравнения движения и энергии должны решаться одновременно.

Уравнение энергии в данном случае имеет вид:

Определим граничные условия для пленки расплава:

Скорость vy (б) в любой точке х определяется скоростью плав­ ления на поверхности раздела фаз и может быть получена из урав­ нения теплового баланса:

где А,— удельная теплота плавления; ks и Ts — коэффициент теплопроводности и температура твердой фазы.

Левая часть уравнения представляет собой поток тепла, посту­ пающий за счет теплопроводности от горячей поверхности пленки

кочагу ппавления (к единичной поверхности раздела). Первый член

вправой части — произведение интенсивности плавления на еди­ ничной поверхности раздела на теплоту плавления; второй член поток тепла, отводимого от поверхности раздела. Так как происходит плавление, то дТ/ду < 0. Поэтому левая часть уравнения положи­ тельна и выражает тепло, которое, как это видно из правой части уравнения, используется для двух целей: плавления расплава при

Т= Тт и нагрева полимера до температуры плавления.

Второй чаен правой части уравнения может быть получен из ре­ шения, описывающего температурный профиль в слое твердого полимера. Рассмотрим элементарный участок, выделенный на оси х, в пленке расплава и слое твердой фазы (см. рис. 9.13]. Предполо­ жим, что твердая фаза занимает область у > 6 (где о — толщина пленки в данном месте) и движется с постоянной скоростью vxy

кповерхности раздела фаз. Задача, таким образом, сводится к ре­ шению стационарной одномерной задачи теплопроводности конвек­ цией. В твердой фазе устанавливается экспоненциальное распреде­ ление температуры подобно тому, как это имело место в задаче, описанной в разд. 9.5. Уравнение энергии в данном случае сводится

квиду:

где Ps, Cs и ks — теплофизические свойства твердой фазы полимера,

254

Как будет показано ниже, 60— не просто произвольным нор­ мирующий параметр; это величина порядка толщины пленки рас­

плава, если вязкостная диссипация или конвекция незначительны. Теперь можно переписать уравнение переноса в безразмерной

форме. Уравнение неразрывности примет вид:

где 6 = db/cfc.

Приведем подробные уравнения (9.8-21). Подставляя их и иу из уравнения (9.8-17) в уравнение неразрывности, получаем:

Перепишем уравнение в частных производных, использовав новые перемен­

ные т] и £. Следует учесть, что их (5» И); иу (5. Ч); 5 = Л W* Л = ^? (*» У)* %Переменная л зависит от д; из-за того, что б .= б (дг). Следовательно, можно

записать:

Аналогично получаем:

Уравнение движения в безразмерной форме имеет вид:

Уравнение энергии с учетом\ выражения для б0 принимает вид:

где

В этих уравнениях Вг — модифицированное число Бринкмана,

которое является мерой интенсивности диссипативного разогрева; м — величина, пропорциональная отношению тепловой энергии, нео ходимой для плавления полимера, к тепловой энергии, необхо­ димой для нагрева расплава до температуры Т0. Если последняя

еличина мала, то М будет велико и конвективными членамив урав*

286

Наконец возвращаясь к уравнению неразрывности и интегрируя его по 11, подставим из (9.8-28) дих1дх\ = - 1 , и с учетом того, что d u jd l = 0, получим:

Объединяя уравнения (9.8-32) и (9.8-33) и интегрируя результат, получаем выражение, описывающее продольный профиль пленки

расплава б (£):

Получен важный результат, заключающийся в том, что при пренебрежимо малой конвекции толщина пленки расплава пропор­ циональна квадратному корню из расстояния от начала координат. Скорость плавления (на единицу ширины) теперь определяется как

1

О

Подставляя (9.8-34) в (9.8-35) при £ = 1 и выражая б0 из уравне­ ния (9.8-20), получим:

(9М 6)

Теперь становится ясным физический смысл различных членов этого выражения. Квадратные скобки содержат сумму членов, определяющих теплопроводность и вязкостную диссипацию. Числи­ тель —это количество тепла, необходимое для нагрева твердой фазы от Ts0 до плавления при Тт. Скорость плавления также увеличи­ вается пропорционально квадратному корню из произведения ско­ рости движения поверхности и ширины стержня. Кроме того, увели­ чение скорости пластины повышает вязкостную диссипацию. В этом выражении не учитывается конвекция в пленке расплава. Тадмор с сотр. [29, 30] приближенно учли конвекцию, включив в К* тепло, необходимое для нагрева расплава от Тт до средней температуры расплава:

Если мысленно удалить вновь расплавленный материал от поверх ности раздела фаз и вновь ввести его в зазор при £ = 0, дав ему возможность двигаться в пленке расплава от этой точки, то тол­ щина пленки будет оставаться постоянной и в результате величина

W L в уравнении (9.8-36) уменьшится в /2 ~ раз.

Степенная жидкость с вязкостью, зависящей от температуры

Уменьшение вязкости расплава при увеличении скорости сдвига и температурная зависимость вязкости сильно влияют на скорость плавления. Их влияние на скорость плавления можно оценить,

288

рассматривая случай, в котором конвекцией можно пренебречь

принэтьСдопущ^ие "ч-^изменение4"° МЭЛа’ ВСЛед™ е ^ о -ожпо деляется линейным температурнымВЯпрофилем-1ЛеНКе расплава опре'

зависимость вязкости от температуры и скорости сдвига. Уравнение энергии (9.8-24) в этом случае принимает вид-

Приближенное решение уравнения (9.8-47) может быть получено, если подставить среднюю величину б в член (б0/б)'' , который учи­ тывает слабую зависимость вязкостной диссипации от б. Результи­ рующее выражение для продольного распределения толщины пленки

Подставляя выражения для б0 и Вг из (9.8-20) и (9.8-26) соответ­ ственно, уравнение (9.8-48) можно записать так:

Таким образом, физический смысл U2 и 11г стал очевидным. Первая величина отражает снижение (U2 < 1) скорости удаления пленки расплава при сдвиговом течении как результат уменьшения вязкости вследствие повышения температуры и роста напряжения сдвига, вто время как UJ2 является мерой интенсивности диссипатив­ ного разогрева (на единице ширины) в пленке расплава. Относитель­ ная доля тепла, подводимого за счет теплопроводности и диссипации для плавления, определяется сравнением двух членов, заключенных в квадратных скобках в уравнении (9.8-53).

Если учесть конвекцию таким же приближенным способом, как описано в предыдущем случае для расплава со свойствами ньютонов­ ской жидкости, то А,* в уравнении (9.8-53) заменяется на А,**, которое находится из уравнения (9.8-37), а величина WL (х), определяемая

из уравнения (9.8-53), уменьшается в |/2~ раз. Средняя температура пленки расплава

J w.v d\]

Рис. 9.14. Скорость плав­ ления блока ПЭВП раз­ мером 5,08X5,08 см на нагретом вращающемся барабане (по оси абсцисс — линейная скорость на по­ верхности барабана, по оси ординат — скорость плавления, или объем пе­ ремещаемой твердой фа­ зы). Температура бара­ бана:

а - 154 °С; б - 168 °С.

окончательно получается после подстановки (9.8-38) и (9.8-49) в уравнение (9.8-54):

Это выражение приближенное, так как с целью упрощения и с пользовался линейный температурный профиль, а не профиль, опре­ деляемый из уравнения (9.8-43). Уравнения, описанные выше, были применены для математического описания процесса плавления в чер­ вячном экструдере [29, 30], как показано в гл. 12.

Пример 9.5. Плавление с удалением расплава при вынужденном течении Скорость плавления блока твердого полимера ПЭВП размером 5,08 х 5,08 см

на нагретом вращающемся барабане была измерена Сандстромом и Юнгом [32].

результаты расчета с экспериментальными данными. Повторите этот расчет для

(см. табл. 5.7) равна 218 кДж/кг; удельная теплоемкость твердого полимера (см.

Решение

1. На первом этапе оцениваем относительное значение теплопроводности и вяз­ костной диссипации на основании числа Бринкмана из уравнения (9.8-26), которое для ньютоновской жидкости принимает вид:

km (То —Тт)