1329
.pdfФедеральное агентство пообразованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский государственный технический университет»
Е.Ф. Беляев, Н.В. Шулаков
ДИСКРЕТНО-ПОЛЕВЫЕ МОДЕЛИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИН
Части I, II
Допущено УМО по образованию
вобласти энергетики и электротехники
вкачестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности
140601 «Электромеханика» направления подготовки
140600 «Электротехника, электромеханика и электротехнологии»
Издательство Пермского государственного технического университета
2009
УДК621.313 Б43
Рецензенты:
академик АЭНРФ, доктортехнических наук, профессорВ.Я. Беспалов (Московский энергетическийинститут);
академик АЭНРФ, доктортехнических наук, профессорФ.Н. Сарапулов (Уральскийгосударственныйтехническийуниверситет)
Беляев, Е.Ф.
Б43 Дискретно-полевые модели электрических машин: учеб. пособие. Ч. I, II / Е.Ф. Беляев, Н.В. Шулаков. − Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2009. − 457 с.
ISBN 978-5-398-00255-3
Рассмотрены численные методы расчёта магнитных полей электрических машин. Представлена система уравнений, описывающих стационарные и переходные процессы неявнополюсных электрических машин. Приведены прямые иитерационные методы решения краевых задач и систем уравнений установившихся и переходных процессов электрических машин различных конструкций. Представлены результатырешенияианализполученныхрезультатов.
Рекомендовано студентам специальности «Электромеханика» при изучении курсов «Электрические машины», «Проектирование электрических машин» и «Математическое моделирование электрических машин», аспирантам той же специальности, а также инженерам, занимающимся проектированием электрических машин.
УДК 621.313
ISBN 978-5-398-00255-3 |
© ГОУВПО |
|
«Пермскийгосударственный |
|
техническийуниверситет», 2009 |
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
ВВЕДЕНИЕ............................................................................................................ |
6 |
ЧастьI. ЧИСЛЕННЫЕМЕТОДЫРАСЧЁТАМАГНИТНЫХПОЛЕЙ..... |
10 |
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ ............................ |
10 |
1.1. Математические функции........................................................................... |
10 |
1.2. Квантование функций ................................................................................. |
17 |
1.3. Уравнения математической физики .......................................................... |
24 |
1.4. Краевые задачи и граничные условия ....................................................... |
26 |
2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА И ИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ....................... |
32 |
2.1. Изотропные среды ....................................................................................... |
34 |
2.1.1. Однородная непроводящая среда .................................................... |
34 |
2.1.2. Неоднородная непроводящая среда ................................................ |
36 |
2.1.3. Однородная проводящая неподвижная среда ................................ |
38 |
2.2. Анизотропные среды .................................................................................. |
39 |
2.2.1. Анизотропная однородная непроводящая среда ............................ |
39 |
2.2.2. Анизотропная однородная проводящая магнитная среда ............. |
43 |
2.3. Нелинейные магнитные среды .................................................................. |
46 |
2.3.1. Непроводящая ферромагнитная среда ............................................ |
47 |
2.3.2. Проводящая ферромагнитная среда ................................................ |
47 |
3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.................... |
49 |
3.1. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.................. |
49 |
3.2. Решение системы алгебраических уравнений методом прогонки ......... |
58 |
3.2.1. Простая прогонка .............................................................................. |
58 |
3.2.2. Циклическая прогонка ...................................................................... |
65 |
3.2.3. Прогонка для краевых задач с граничными условиями |
|
интегрального типа ........................................................................... |
71 |
3.3. Решение нестационарных краевых задач ................................................. |
74 |
3.4. Решение нелинейных краевых задач ......................................................... |
86 |
4. РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ |
|
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА .......................................................................... |
88 |
4.1. Решение многомерных нестационарных краевых задач |
|
с использованием явных и неявных схем ................................................. |
88 |
4.1.1. Явная схема......................................................................................... |
89 |
4.1.2. Неявная схема .................................................................................... |
93 |
4.2. Метод переменных направлений ............................................................... |
96 |
4.3. Метод суммарной аппроксимации........................................................... |
102 |
3
5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ..... |
108 |
5.1. Метод разделения переменных ................................................................ |
109 |
5.2. Методы решения многомерных уравнений с переменными |
|
коэффициентами ........................................................................................ |
122 |
6. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ............. |
131 |
6.1. Вариационно-разностный метод Ритца .................................................. |
136 |
6.2. Проекционный метод Бубнова-Галёркина (метод Галёркина) ............. |
141 |
6.3. Метод конечных элементов...................................................................... |
144 |
Часть II. НЕЯВНОПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ ..... |
167 |
7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АСИНХРОННЫХ |
|
МАШИН В РЕЖИМЕ ИДЕАЛЬНОГО ХОЛОСТОГО ХОДА .................... |
167 |
7.1. Математические модели и их характеристики ....................................... |
167 |
7.2. Математическая модель асинхронной машины |
|
в одномерном приближении .................................................................... |
173 |
7.3. Учёт насыщения магнитопровода асинхронного двигателя ................. |
191 |
7.4. Учёт насыщения зубцов магнитопровода ............................................... |
197 |
7.5. Учёт потерь в стали.................................................................................... |
199 |
7.6. Двумерная математическая модель асинхронной машины |
|
в режиме холостого хода........................................................................... |
206 |
8. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОЧЕГО РЕЖИМА |
|
КОРОТКОЗАМКНУТОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ.................... |
212 |
8.1. Стационарный режим короткозамкнутого асинхронного |
|
двигателя на основе одномерной модели................................................ |
212 |
8.2. Плотность стороннего тока при питании обмотки статора |
|
от источника системы линейных напряжений........................................ |
222 |
8.3. Тормозные режимы короткозамкнутых асинхронных |
|
электродвигателей................................................................................ |
241 |
8.4. Моделирование пусковых режимов асинхронных |
|
короткозамкнутых электродвигателей .................................................... |
244 |
8.5. Асинхронный короткозамкнутый двигатель с глубоким пазом |
|
ротора.................................................................................................... |
250 |
8.6. Регулирование частоты вращения асинхронных короткозамкнутых |
|
электродвигателей..................................................................................... |
261 |
8.7. Нестационарный режим короткозамкнутого асинхронного |
|
двигателя ................................................................................................... |
265 |
8.8. Двумерная модель рабочего режима короткозамкнутого |
|
асинхронного двигателя............................................................................ |
275 |
4
9. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АСИНХРОННЫХ |
|
МАШИН С ФАЗНЫМ РОТОРОМ.................................................................. |
285 |
9.1. Стационарный режим асинхронного двигателя с фазным ротором..... |
285 |
9.2. Асинхронная машина с заторможенным ротором.................................. |
292 |
9.2.1. Фазорегулятор .................................................................................. |
292 |
9.2.2. Индукционный регулятор................................................................ |
297 |
9.3. Моделирование рабочего режима асинхронного двигателя |
|
с фазным ротором....................................................................................... |
301 |
9.4. Моделирование динамических режимов асинхронных двигателей |
|
с фазным ротором....................................................................................... |
314 |
10. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОДНОФАЗНЫХ |
|
АСИНХРОННЫХ ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЕЙ ............................................... |
323 |
10.1. Однофазный асинхронный двигатель.................................................... |
323 |
10.2. Конденсаторный асинхронный двигатель............................................. |
331 |
10.3. Многоскоростные конденсаторные двигатели .................................... |
338 |
10.4. Универсальный асинхронный двигатель............................................... |
349 |
10.5. Конденсаторный двигатель с массивным ферромагнитным |
|
ротором............................................................................................ |
368 |
11. МАШИНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА........................................................ |
380 |
11.1. Стационарные режимы работы машин постоянного тока................... |
380 |
11.2. Динамические режимы работы машин постоянного тока |
|
с распределёнными обмотками статора.................................................. |
390 |
11.2.1. Процесс самовозбуждения генератора постоянного тока |
|
с параллельным возбуждением..................................................... |
390 |
11.2.2. Переходный процесс при включении нагрузки в якорную |
|
цепь генератора постоянного тока................................................ |
394 |
11.2.3. Пусковые режимы двигателя постоянного тока......................... |
398 |
12. СИНХРОННЫЙ НЕЯВНОПОЛЮСНЫЙ ГЕНЕРАТОР........................ |
401 |
12.1. Режим холостого хода синхронного неявнополюсного генератора... |
401 |
12.2. Нагрузочный режим генератора при симметричной нагрузке............ |
411 |
12.3. Несимметричная нагрузка неявнополюсного синхронного |
|
генератора................................................................................................. |
427 |
12.4. Моделирование гистерезисных двигателей .......................................... |
445 |
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................................................................. |
450 |
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ................................................................................. |
453 |
ВВЕДЕНИЕ
Одним из современных методов исследования электромагнитных процессов электрических машин (ЭМ) является математическое моделирование. Этот метод позволяет предсказать характер протекания электромагнитных процессов на стадии проектирования ЭМ без выполнения опытных образцов.
Математическое моделирование включает в себя выполнение следующихэтапов:
–математическое описание электромагнитных процессов, протекающих в ЭМ;
–выбор рациональных методов решения полученной системы дифференциальных уравнений;
–решение системы уравнений, описывающей электромагнитные процессы ЭМ с учётом допущений и вариацией параметров модели;
–анализ полученных результатов и выдача необходимых рекомендаций.
В своём развитии методы математического моделирования претерпели два этапа. На первом этапе система дифференциальных уравнений основывалась на анализе электрических цепей ЭМ, экви-
валентных цепям исследуемой машины [1−11]. В основу математических моделей ЭМ было положено априорное положение об известном характере распределения магнитного поля в воздушном зазоре, определяемом распределением токовой нагрузки статора. В простейшем случае токовая нагрузка может рассматриваться в виде единственной пространственной гармоники, при более строгом подходе − спектром пространственных гармоник [9]. Если магнитное поле машины рассматривать как плоскопараллельное, а её ротор – симметричным, то решение дифференциального уравнения, описывающее это поле, тоже будет представлять набор пространственных гармоник соответствующих частот. Для стационарного режима при гармоническом изменении исследуемых величин пространственные дифференциальные операторы могут быть заменены алгебраиче-
6
скими выражениями. Амплитуда и фаза каждой из гармоник исследуемой величины в этом случае рассчитываются через соответствующие параметры токовой нагрузки и параметры ЭМ при помощи простейших алгебраических выражений. Необходимость решения дифференциальных уравнений в этом случае отпадает, так как потокосцепления машины легко выражаются через её фазные токи.
Для нестационарных режимов дифференциальные уравнения для каждой из пространственных гармоник магнитного поля записываются в виде обыкновенных дифференциальных уравнений с временной независимой переменной. Таким образом, зная гармонический состав токовой нагрузки статора, можно всегда определить соответствующие потокосцепления, рассчитать индуктивности обмоток и, воспользовавшись системой уравнений Кирхгофа, рассчитать динамический режим работы ЭМ. На этом этапе были получены весьма важные результаты, позволяющие судить как о свойствах самих ЭМ, так и систем, включающих ЭМ в свой состав.
Недостатком математических моделей, построенных на основе электрических цепей, является необходимость иметь известными параметры схем замещения, которые определяются либо в процессе эксперимента, либо путём дополнительных расчётов, либо приближённо на основании практического опыта. Другим недостатком этих моделей является невозможность нахождения в процессе моделирования дифференциальных параметров, таких как магнитная индукция в элементах магнитопровода ЭМ, плотности распределения электромагнитных потерь, определяющих нагрев отдельных частей машины и т.д. При моделировании в данном случае используются и рассчитываются интегральные величины: магнитные потоки, токи, ЭДС, мощности и т.п.
Более совершенными являются современные методы математического моделирования, основанные на решении уравнений электромагнитного поля ЭМ [22, 30, 32, 33]. При таком подходе область существования этих полей рассматривается как сплошная среда, обладающая определёнными магнитными и электрическими свойствами. Если в каждой точке исследуемой области задано значение физической величины, то говорят, что задано поле этой физической величи-
7
ны. Следовательно, исследование магнитных и электрических полей связано с определением значений этих величин в каждой точке исследуемой области.
Эти методы не требуют знания параметров ЭМ, более того, они могут быть рассчитаны в процессе моделирования по результатам расчётов магнитных и электрических полей. Для моделирования электромагнитных процессов необходимо иметь пространственное распределение магнитных и электрических свойств элементов ЭМ. По результатам расчёта магнитных и электрических полей могут быть определены дифференциальные параметры машины, пространственное интегрирование которых позволяет легко рассчитать интегральные величины, определяющие свойства ЭМ.
Недостатком этого способа математического моделирования является его трудоёмкость, обусловленная сложностью решения систем уравнений в частных производных. Правда, бурное развитие вычислительной техники и методов вычислений значительно ослабляет этот недостаток.
Современные методы математического моделирования открывают широкие возможности не только для исследования существующих ЭМ, но и весьма перспективны для проектирования новых конструкций ЭМ и их оптимизации путём варьирования геометрических размеров и физических свойств используемых материалов. Тем не менее представляется целесообразным сочетать оба способа моделирования ЭМ, используя схемы замещения для участков, незначительно влияющих на свойства и характеристики машин, и детально исследуя электромагнитные поля, определяющие основные характеристики и показатели ЭМ.
Разработка математических моделей ЭМ оказалась бы невозможной без фундаментальной научной базы, представленной трудами иностранных учёных: Р. Рюденберга, К. Адкинсона, Г. Вудсона, В. Гиббса, Э. Кларка, К. Ковача, Г. Крона, В. Лайона, Р. Парка, Р. Рихтера, Г. Стэнли, Д. Уайта и многих других.
Большой вклад в разработку математической теории и построение математических моделей внесли отечественные учёные: Г.Н. Петров, М.П. Костенко, Л.М. Пиотровский, А.А. Горев, А.И. Воль-
8
дек, Е.Я. Казовский, А.И. Важнов, М.М. Соколов, И.А. Глебов, И.П. Копылов, А.В. Иванов-Смоленский, Я.Б. Данилевич, Г.А. Сипайлов, А.А. Янко-Триницкий, В.Я. Беспалов, К.С. Демирчян, Е.В. Кононенко, Е.М. Синельников, Н.С. Сиунов, Р.В. Фильц, В.В. Хрущёв, И.М. Серый, Ф.Н. Сарапулов, А.Т. Пластун и многие другие.
Математическая теория специальных ЭМ создана отечественными и иностранными учёными, среди них: А.И. Вольдек, Г.И. Штурман, Б.И. Петленко, Ф.Н. Сарапулов, М.Г. Резин, А.П. Ращепкин, Е.М. Огарков, Х.А. Тийсмус, Е.Р. Лайтвайт, С.А. Насар, К. Оберретль, И.С. Сабоннадье, С. Ямамура и другие.
Создали теоретические положения и разработали математические модели на основе теории электромагнитного поля в своих трудах И.П. Копылов, А.В. Иванов-Смоленский, В.Я. Беспалов, Г.А. Сипайлов, К.А. Хорьков, Я.Б. Данилевич, В.В. Домбровский, К.С. Демирчян, О.В. Тозони, Ф.Н. Сарапулов, А.А. Пульников,
а также иностранные учёные Е. Andutsen, H.A. Anwari, J.P. Bastos, R. Goyet, S. Car, W. Kunze, A. Binner и многие другие.
Часть I
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
1.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Наряду с хорошо известными и широко применяемыми на практике аналитическими функциями при математическом моделировании эффективно использование некоторых специальных математических функций. Для описания магнитных полей и электромагнитных процессов ЭМ чаще всего будут использованы следующие математические функции [12].
Периодические временные и пространственные функции – это функции, значения которых повторяются через определённый временной промежуток Т или пространственный интервал L, называемые периодом:
F (t) = F (t + T ) ; F (x) = F (x + L) . |
(1.1) |
Периодические временные функции получили широкое распространение для исследования электрических цепей переменного тока. Периодические пространственные функции используются для математического описания пространственных распределений магнитных полей в круговых машинах.
Финитные функции – это функции, значения которых отличны от нуля лишь на определённых интервалах:
F (x) ≠ 0 на интервале [a,b] , |
(1.2) |
Финитные функции широко применяются для описания магнитных полей, затухающих в пространстве. В качестве примера использования финитной функции можно привести математическое описа-
10