1329

сопротивление рассеяния вторичной среды асинхронной машины.

В этом случае напряжённость электрического поля статора записывается в виде

и схема замещения роторной цепи асинхронной машины сведена к схеме замещения роторной цепи асинхронной машины с полым немагнитным ротором [37]. Фрагмент этой схемы представлен на рис. 8.2.

Этой схеме замещения вполне соответствуют реальные процессы асинхронной машины, в которой магнитное поле представляет единое целое, а не разделено на отдельные составляющие для цепей статора и ротора.

Если уравнение (8.39) привести в соответствие с рассматриваемой схемой замещения, то оно должно быть записано в виде

Активное сопротивление ротора, как следует из этого выражения, уменьшается в σ2 раз, а плотность тока ротора увеличивается в σ раз по сравнению с Т-образной схемой замещения. Механическая мощность

221

машины, а следовательно, и электромагнитный момент остаются при этом без изменения:

Замена Т-образной схемы замещения асинхронной машины схемой замещения машины с полым немагнитным ротором позволяет в ряде случаев намного упростить анализ её электромагнитных процессов. Особенно рационально использовать эту схему при анализе электромагнитных нестационарных процессов, что будет рассмотрено в последующих разделах.

8.2. ПЛОТНОСТЬСТОРОННЕГОТОКАПРИПИТАНИИОБМОТКИ СТАТОРАОТИСТОЧНИКАСИСТЕМЫЛИНЕЙНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Для решения уравнения электромагнитного поля необходимо задать его источники, в качестве которых выступают плотности токов статора. При принятых допущениях считается, что токи проводников статорной обмотки вынесены в зазор машины и сосредоточены в точках, соответствующих координатам этих проводников. Плотность сосредоточенного в точке тока записывается как

Поскольку значение дельта-функции не определено, то при решении задачи конечно-разностными методами токовую нагрузку распределяют на величину интервала разбиения пространственной координаты:

222

Следовательно, зная схему обмотки, определяющую пространственное положение её проводников, число проводников обмотки

имгновенное значение фазных токов, можно определить правую часть дифференциального уравнения (8.12).

Однако величины фазных токов асинхронной машины заранее неизвестны, так как они являются функцией питающего напряжения

ипараметров машины. Поэтому для определения фазных токов используется система уравнений Кирхгофа, записываемая для обмоток статора в установившемся режиме:

В этих уравнениях Ψ A ,Ψ B ,ΨC – комплексы потокосцеплений фаз; ZA , ZB , ZC – комплексы полных сопротивлений фаз; IA , IB , IC , ком-

плексы фазных токов двигателя.

При известной системе фазных напряжений величины фазных токов находятся из этих уравнений, если найдены потокосцепления фаз, которые определяются суммированием потокосцеплений катушечных групп, входящих в рассматриваемую фазу:

где p – число пар полюсов машины.

В свою очередь потокосцепление катушечной группы записывается в виде

где q – число катушек, входящих в катушечную группу.

223

Поскольку катушки, входящие в катушечную группу, распределены в пространстве, при суммировании потокосцеплений катушек учитывается их распределение.

Потокосцепление катушки определяется суммой потоков отдельных катушек. Однако, если считать, что все витки, образующие катушку, занимают одинаковое пространственное положение и, следовательно, пронизываются одним и тем же потоком, потокосцепление катушек можно записать как

Используя теорему Стокса, последнему выражению можно придать следующий вид:

где L – контур, охватывающий площадь S .

Если пренебречь значениями векторного потенциала лобовых частей, что соответствует условиям одномерной задачи, циркуляция векторного потенциала может быть записана в виде

где Aн и Aк – значения векторного потенциала в точках, координаты

которых соответствуют координатам сторон витка; lδ – длина активной части проводника, лежащего в пазу магнитопровода.

Таким образом, при известной величине фазных напряжений и потокосцеплений фаз из уравнений Кирхгофа могут быть найдены значения фазных токов, которые, в свою очередь, дают возможность определения величины потокосцеплений фаз при решении уравнения электромагнитного поля по известным значениям фазных токов. Сис-

224

тема уравнений (8.12), (8.46)–(8.49), (8.50)–(8.52), (8.55) является замкнутой и позволяет рассчитать величины фазных токов и векторного потенциала в исследуемой области при известных напряжениях сети и параметрах двигателя.

Величины фазных напряжений в выражениях (8.47)–(8.49) известны, если обмотки статора соединены по схеме «треугольник» или «звезда» с нейтральным проводом. На практике статорные обмотки соединяются чаще всего по схеме «звезда». В этом случае при асимметрии обмоток машины система фазных напряжений становится несимметричной, а величины фазных напряжений – неизвестными. Поэтому для решения задачи необходимо фазные напряжения выразить через линейные, используя известные соотношения. Для установившегося режима

U AB = U A −U B ; U BC =U B −U C ; U CA =U C −U A . (8. 56)

Для определения фазных напряжений из представленных здесь соотношений можно использовать лишь два, так как третье соотношение является их следствием. Поэтому в качестве третьего соотношения необходимо записать уравнение токов, соответствующее принятой схеме соединения обмоток.

При соединении обмоток по схеме «звезда» без нейтрального провода в качестве такого уравнения принимается уравнение токов

подставляя выражения фазных напряжений (8.47)–(8.49) в соотношения (8.56) и выполняя промежуточные преобразования, получим следующую систему:

225

Таким образом, решение системы уравнений (8.59) и (8.60) совместно с уравнением магнитного поля (8.12) и уравнениями (8.50)–(8.52), (8.55) позволяет определить значения векторного потенциала в исследуемой области и значения фазных токов по известным величинам линейныхнапряжений.

Для решения уравнения магнитного поля (8.12) должны быть известны фазные токи машины, которые определяются через значения потокосцеплений (8.50)–(8.55), т.е. решения рассматриваемого уравнения. Использование в этом случае итерационного метода весьма затруднительно, поскольку требует значительного числа итераций. Более рациональным методом решения системы уравнений является метод суперпозиции, который применим, однако, для линейных систем. Будем при этом считать, что потокосцепления каждой фазы являются следствием протекания токов во всех обмотках статора, т.е. представлять их в виде суммы трёх потокосцеплений, определяемых током каждой фазы в отдельности:

В этих выражениях составляющие потокосцеплений, обозначенные одним штрихом, обусловлены протеканием тока лишь в одной фазе обмотки статора – фазе A; обозначенные двумя штрихами – лишь в фазе B статора. Точно так же составляющие с тремя штрихами – лишь в фазе С. Поскольку при решении линейных задач величины потокосцеплений пропорциональны соответствующим токам, составляющие потокосцеплений могут быть выражены через соответствующие токи:

Ψ A = L11I A + L12 I B + L13I C ;

226

где коэффициенты определяются отношениями составляющих потокосцеплений к соответствующим токам:

и(8.60), заменяя один из фазных токов двумя другими и группируя подобные, получим систему двухуравненийсдвумянеизвестными:

где коэффициенты выражаются через коэффициенты системы (8.62) и параметры фазных обмоток:

Таким образом, рабочий процесс асинхронного двигателя в стационарном режиме при заданной системе питающих линейных напряжений описывается следующими уравнениями: (8.12), (8.46)–(8.52),

(8.54), (8.55), (8.57), (8.64)–(8.69).

Решение этой системы позволяет рассчитать значения векторного потенциала асинхронного двигателя в стационарном режиме. Значения радиальной составляющей магнитной индукции в зазоре двигателя иплотности тока вторичной среды рассчитываются по соотношениям (7.5) и (8.11). Электромагнитный момент асинхронного двигателя определяется спомощью найденных величин

227

где удельное электромагнитное усилие, действующее на вторичную среду, записывается в виде

, (8.71)

где JP – аксиальная составляющая плотности тока вторичной среды; BR – радиальная составляющая магнитной индукции. Выходная и потребляемая активные мощности, коэффициент полезного действия и cos φ рассчитываются сиспользованием известныхвыражений.

Пример 8.1. Расчёт характеристик короткозамкнутого асинхронного двигателя. Произвести расчёт магнитного поля и рабочих характеристик трёхфазного асинхронного двигателя со следующими параметрами:

–число полюсов 2р = 2;

–число пазов статора Z S = 24 ;

–число пазов ротора Z R = 20;

–диаметр расточки статора D = 95 мм;

–наружный диаметр статора Dн = 168 мм;

–длина магнитопровода статора LS = 100 мм;

–воздушный зазор δ = 0,45 мм;

–высота зубца статора hZS = 14,1 мм;

–высота зубца ротора hZR = 16,5 мм;

–магнитная проницаемость ярма статора µ S = 500µ 0 ;

–магнитная проницаемость ярма ротора µ R = 350µ 0 ;

–сечение стержня ротора SR = 86,49 мм2;

–ширина шлица статора bшS = 3,5 мм;

–ширина шлица ротора bшR = 1,0 мм;

–число витков фазной обмотки WA = 152; WB = 152; WC = 152;

–линейное напряжение сети Uл = 380 В;

–сопротивления обмоток статора RA = RB = RC = 1,478 Ом;

–приведённое сопротивление ротораR′2 = 0,97 Ом;

228

–индуктивныесопротивленияобмотокстатораХА= ХВ= ХС= 1,5 Ом;

–приведённое индуктивное сопротивление обмотки ротора в номинальном режиме Х′2 = 2,667 Ом;

–диаметр вала dв = 28 мм;

–обмотка статора:

а) однослойная концентрическая; б) двухслойная укороченная.

Решение примера выполняем в следующей последовательности. Зубцовый шаг статора

Коэффициент воздушного зазора статора

Зубцовый шаг ротора

Коэффициент воздушного зазора ротора

Коэффициент воздушного зазора

Kδ = Kδ1 Kδ 2 =1, 26 1, 0547 =1,329.

Приведённый воздушный зазор

δ′ = Kδ δ =1,329 0,45 10−3 = 0,598 10−3 м.

Число пазов на полюс и фазу статора q = 4 . Обмоточный коэффициент обмотки статора

229

Тогда коэффициент, учитывающий магнитное сопротивление ярма статора иротора,

Сопротивление стержня ротора c учётом короткозамыкающих колец выразим из каталога данных двигателя:

Отсюда следует, что

230