1329

В зубцах статора имеет место лишь радиальная составляющая магнитной индукции BR , поэтому намагничивание носит пульсаци-

онный характер. Однако в данном случае необходимо учитывать наличие высших пространственных гармоник, а также влияние наклёпа при механической обработке магнитопровода. Дополнительные потери, обусловленные этими факторами, принято учитывать введением коэффициента увеличения потерь, величина которого больше, чем в магнитопроводе ярма [5].

Для определения величины сопротивления, эквивалентного потерям в стали от вихревых токов, используем равенство удельных потерь в магнитопроводе и в эквивалентном сопротивлении, включаемом в намагничивающий контур асинхронной машины. Для моделирования потерь распределим это сопротивление равномерно по высоте немагнитного зазора двигателя.

Удельные потери от вихревых токов в эквивалентном сопротивлении записываются в виде

Выражая напряжённость электрического поля через векторный потенциал, получим для стационарного режима при неподвижном магнитопроводе статора

Суммарные потери от вихревых токов в эквивалентном сопротивлении с учётом (7.59) и (7.60)

где V δ – объём немагнитного зазора.

Потери в магнитопроводе ярма статора от вихревых токов, согласно (7.58), можно записать в виде

201

где K д.я – коэффициент увеличения потерь в ярме; gСт и V я.с – объ-

ёмный вес и объём стали магнитопровода. Как указывалось выше, в качестве расчётной индукции принимают её тангенциальную составляющую, которая приближённо может быть выражена через векторный потенциал:

Тогда потери в ярме статора от вихревых токов

Приравнивая выражения (7.61) и (7.64), определим электропроводность эквивалентного резистора

Электропроводность резистора, эквивалентного магнитным потерям в зубцах статора, определяется аналогично. Здесь необходимо учесть, что магнитная индукция по координате φ представляет собой

бегущую волну и имеет в зубцах одну радиальную составляющую

Учтём, кроме того, что по зубцу статора проходит весь поток зубцового деления. Тогда модуль индукции в зубце статора определяется выражением

где t Z – зубцовое деление; bZ – ширина зубца в среднем сечении.

Выполняя преобразования, подобно выполненным ранее для ярма, в окончательном виде получим

202

Суммарная электропроводность резисторов, эквивалентная потерям статора от вихревых токов,

Магнитные потери в ярме статора от гистерезиса можно записать в виде

Магнитные потери от гистерезиса в зубцах статора

Заменяя магнитные индукции в этих выражениях векторными потенциалами, получим после преобразования:

Суммарные потери в ярме и зубцах статора от гистерезиса

203

Потери в ярме и зубцах статора при моделировании асинхронного двигателя также будем учитывать, включая резистор в намагничивающий контур схемы его замещения. Будем считать также, что указанный резистор равномерно распределён по высоте немагнитного зазора, но в отличие от предыдущего случая величина сопротивления пропорциональна частоте перемагничивания. В этом случае потери эквивалентного резистора записываются в виде

Приравнивая потери эквивалентного резистора (7.75) и суммарные потери от гистерезиса (7.74), определим электропроводность, эквивалентную потерям от гистерезиса:

терь от гистерезиса соответствует обратной размерности индуктивности, приходящейся на единицу длины: (Ом с м)−1 = (Гн м)−1 . При

решении полевой задачи необходимо учитывать, что потери от гистерезиса пропорциональны первой степени частоты. Поэтому в уравнение магнитного поля необходимо указанную электропроводность подставлятьввиде γг f , какив(7.75).

В режиме идеального холостого хода считается, что ротор двигателя вращается синхронно с частотой вращения с основной гармоникой магнитного поля при скольжении, равном нулю. Влиянием магнитных полей высших пространственных гармоник пренебрегают. Поэтому ЭДС, наводимые в проводниках и контурах ротора, также равны нулю, и магнитные потери в магнитопроводе ротора отсутствуют.

Магнитные потери ротора в рабочем режиме при скольжениях, отличных от нуля, могут быть учтены с использованием тех же выра-

204

жений, что и магнитные потери статора. При этом, конечно, следует учитывать вращение ротора и вносить соответствующие коррективы. Подробнее эти вопросы будут рассмотрены в следующем разделе при рассмотрении вопросов моделирования гистерезисных двигателей.

Магнитное поле, параметры и характеристики двигателя в режиме идеального холостого хода с учётом потерь в стали определяются при решении стационарного уравнения магнитного поля

совместно с системой уравнений Кирхгофа для цепей статора. Параметры γв и γг определены выше и могут быть рассчитаны по харак-

теристикам электротехнической стали, используемой в двигателе. Для анализа электромагнитных процессов асинхронных машин

часто используют эквивалентные электрические цепи – схемы замещения. Схема замещения асинхронного двигателя в режиме идеального холостого хода представлена на рис. 7.7.

Рис. 7.7. Схема замещения асинхронного двигателя в режиме идеального холостого хода

Сопротивления R1 и X1 в схеме замещения – это активное сопротивление и индуктивное сопротивление рассеяния обмотки статора. Активное сопротивление Rв соответствует потерям магнитопровода статора от вихревых токов, а Rг f0 – потерям магнитопровода стато-

ра от гистерезиса.

Под действием ЭДС E1 по активному сопротивлению Rв протекает ток I0в, частота которого равна частоте сети. Мощность потерь в этом

205

сопротивлении оказывается пропорциональной квадрату частоты сети, и соответствует потерям в магнитопроводе статора от вихревых токов. Аналогично под действием той же ЭДС по сопротивлению Rг f0 про-

текает ток, величина которого не зависит от частоты сети. Поэтому мощность потерь в нём оказывается пропорциональной частоте сети исоответствует потерям магнитопровода статора отгистерезиса.

7.6. ДВУМЕРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ В РЕЖИМЕ ХОЛОСТОГО ХОДА

При упрощающих допущениях, принятых в этой главе, легко реализовать решение краевой задачи (7.10), (7.25) в двумерной постановке:

Указанное уравнение с краевыми условиями периодического типа по координате ϕ и нулевыми условиями первого рода по радиаль-

ной координате решается методом разделения переменных, рассмотренным в части I (подразд. 5.1).

Будем рассматривать искомую функцию A(R,φ) и правую часть J ст(R,φ) уравнения (7.10) как функции сеточного аргумента A(i, j) и J ст(i, j) . Поскольку обе функции являются периодическими по координате φ, их можно разложить по собственным функциям дискретного оператора Лапласа µk( j) :

206

Записывая рассматриваемое уравнение в конечно-разностном виде, подставляя в него разложения (7.78) и (7.79) и выполняя преобразования, получим систему одномерных уравнений для каждой из k гармоник указанного разложения:

где hϕ = 2π/N2 – интервал разбиения пространства координат φ.

Решая каждое из уравнений (7.81) методом циклической прогонки (см. часть I, подразд. 3.2.2), определяем коэффициенты разложения векторного потенциала U k (i) , после чего восстанавливаем

искомую функцию A(i, j) , используя выражение (7.78).

207

Программа решениядвумерной краевой задачи в пакете MATLAB:

n1=50; n2=60; n3=110; n4=160; nf=12; w=20; r0=30.e-3; hr=0.1e-3; hf=2.*pi/nf; mu0=4.*pi*1.e-7; me=0.+1.0i; ia=1.0; ib=-0.5-0.866i; ic= -0.5+0.866i; mu(1:n1)=500.; mu(n1+1:n2)=1.; mu(n2+1:n3)=500.; mu(n3+1:n4)=1.; fi(1:nf,1:n4)=0.0;

for i=1:n4+1 r(i)=r0+hr*(i-1);

end

f(1:2)=ia; f(3:4)=-ic; f(5:6)=ib; f(7:8)=-ia; f(9:10)=ic; f(11:12)=-ib; for i=n1+1:n2

for j=1:nf ft(i,j)=mu0*w*f(j)/(r(i)*hf*hr);

end end

for k=1:nf

for i=n1+1:n2 for j=1:nf

r1=2.*me*pi*j*k/nf; r2=exp(r1); r3=ft(i,j)*r2; fi(k,i)=fi(k,i)+r3;

end end end

for k=1:nf

r1=k*pi/nf; r2=sin(r1); lam(k)=4.*r2*r2/(hf*hf); end

a(1)=1./mu(1); b(1)=(r(1)+r(2))*(1./mu(1)+1./mu(2))/r(1); for i=2:n4-1

a(i)=(r(i)+r(i-1))*(1./mu(i)+1./mu(i-1))/r(i); b(i)=(r(i)+r(i+1))*(1./mu(i)+1./mu(i+1))/r(i); end

for k=1:nf

alf(1)=0.; bet(1)=0.; for i=1:n4-1

c(i)=a(i)+b(i)+4.*hr*hr*lam(k)/(r(i)*r(i)*mu(i)); d1=c(i)-a(i)*alf(i); alf(i+1)=b(i)/d1; d2=4.*hr*hr*fi(k,i)+a(i)*bet(i); bet(i+1)=d2/d1;

end y1(k,n4)=0.0;

for i=n4-1:-1:1 y1(k,i)=alf(i+1)*y1(k,i+1)+bet(i+1);

208

end end

y(1:n4,1:nf)=0.; for i=1:n4

for j=1:nf for k=1:nf

r1=-2.*me*pi*j*k/nf; r2=exp(r1); r3=y1(k,i)*r2; y(i,j)=y(i,j)+r3/nf; end

end end

for i=1:n4

br(i,1)=(y(i,2)-y(i,nf))/(2.*hf*r(i)); br(i,nf)=(y(i,1)-y(i,nf-1))/(2.*hf*r(i)); for j=2:nf-1

br(i,j)=(y(i,j+1)-y(i,j-1))/(2.*hf*r(i)); end

end

for i=2:n4-1 for j=1:nf

bf(i,j)=-(y(i+1,j)-y(i-1,j))/(2.*hr); end

end

for i=2:n4-1 for j=1:nf

brf(i,j)=real(bf(i,j)); bmf(i,j)=abs(brf(i,j)); sgn(i,j)=brf(i,j)./bmf(i,j); bff(i,j)=abs(bf(i,j)).*sgn(i,j);

end end

disp(abs(bf(2:n4-1,6))); surf(abs(bf)); colorbar; xlabel('Axis Fi'); ylabel('Axis R'); zlabel('Axis Bf')

На рис. 7.8–7.11 представлены распределения радиальной и тангенциальной составляющих магнитной индукции в рассматриваемой области, полученные в ходе решения двумерной задачи.

Сравнение результатов расчётов, полученных на одномерной и двумерной модели при одинаковых величинах магнитной проницаемости магнитопроводов и близких значениях плотности сторонних токов (107 A / м2 – в первом случае и 1,076 107 A / м2 – во втором),

209