1329

for j=2:n2-1 for i=1:n1

a(i)=1./h^2; b(i)=1.0/h^2; c(i)=2.*(1./h^2+1./dt);

end

alf(2)=0.; bet(2)=0.; for i=2:n1-1

s1=c(i)-a(i)*alf(i); alf(i+1)=b(i)/s1; s2=f1(i,j)+a(i)*bet(i); bet(i+1)=s2/s1; end

u(n1,j)=0.;

for i=n1-1:-1:1 u(i,j)=alf(i+1)*u(i+1,j)+bet(i+1);

end end

u0(1:n1,1:n2)=u(1:n1,1:n2); for i=2:n1-1

for j=2:n2-1 f2(i,j)=(u0(i+1,j)-2.*u0(i,j)+u0(i-1,j))/h^2+2.*u0(i,j)/dt+f(i,j);

end end

for i=2:n1-1 for j=1:n2

a(j)=1./h^2; b(j)=1.0/h^2; c(j)=2.*(1./h^2+1./dt);

end

alf(2)=0.; bet(2)=0.; for j=2:n2-1

s1=c(j)-a(j)*alf(j); alf(j+1)=b(j)/s1; s2=f2(i,j)+a(j)*bet(j); bet(j+1)=s2/s1; end

u(i,n2)=0.;

for j=n2-1:-1:1 u(i,j)=alf(j+1)*u(i,j+1)+bet(j+1);

end end

u0(1:n1,1:n2)=u(1:n1,1:n2); disp(u0(9,9)); n=n+1; end

disp (u)

Процедура решения легко программируется, а получаемая точность решения может быть достигнута за меньшее время при более крупном временном интервале. Установившиеся значения искомой функции, полученные при решении краевой задачи, также совпадают с результатами решения, полученными в предыдущих случаях.

101

4.3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ

Метод переменных направлений является не единственным методом решения нестационарных многомерных краевых задач. Более того, этот метод невозможно применить при числе пространственных координат более двух, так как при решении трёхмерных краевых задач не представляется возможным аппроксимация трёхмерных операторов на двух полуцелых временных слоях. В этом случае весьма эффективными методами являются методы суммарной ап-

проксимации, называемые методами расщепления по пространственным координатам или локально-одномерными [23, 24, 33].

Локально-одномерный метод подразумевает решение многомерных краевых задач в несколько этапов, на каждом из которых решается наиболее простая краевая задача.

В основе этих методов лежит свойство многомерных операторов, называемое аддитивностью, которое заключается в том, что погрешность аппроксимации многомерной схемы не превышает суммы погрешностей на каждом этапе решения краевой задачи. При этом погрешности решения на каждом этапе могут не соответствовать суммарной погрешности решения краевой задачи.

Рассмотрим идею локально-одномерного метода применительно к решению многомерного уравнения параболического типа. Пусть, например, электромагнитный процесс описан уравнением

102

Используя свойство аддитивности многомерных операторов, представим его в виде

Аналогично представим правую часть дифференциального уравнения (4.18) на каждом временном интервале в виде суммы трёх функций, удовлетворяющих условию

причём разбиение f (x,t) может быть произведено произвольно.

Для решения уравнения каждый временной интервал разбивается на p частей, соответствующих числу пространственных коор-

части временного интервала.

На каждом временном слое решается одномерное дифференциальное уравнение

103

Суммирование левых и правых частей этих уравнений даёт исходное уравнение (4.18). Производные, входящие в уравнение, аппроксимируются известным образом:

Каждое из уравнений (4.27), (4.28), (4.29) после преобразований может быть представлено в виде системы трёхчленных алгебраических уравнений, решаемых методам прогонки вдоль одной координаты. Так, для уравнения (4.27) решение системы трёхчленных уравнений производится вдоль координаты i для всех значений j = 1, 2, ..., N 2; k = 1, 2, ..., N 3 . Аналогично, уравнение (4.28) решает-

104

Для начала расчёта используются начальные значения исследуемой величины, а на каждом последующем временном интервале в качестве начальных используются значения исследуемой величины, полученные на предыдущем временном слое.

Каждое одномерное уравнение решается экономичным способом, с постоянным числом математических операций, затрачиваемых на одну точку. Поэтому число математических операций, затрачиваемых при решении одного уравнения методом прогонки, пропорционально N1 . Поскольку при решении первого уравнения (4.27)

требуется реализовать N 2 N 3 прогонок по осям j и k , то общее чис-

ло операций, необходимых для решения первого уравнения (4.27) оказывается пропорциональным произведению N 1N 2 N 3 . Точно та-

кое же количество операций требуется для решения уравнений (4.28) и (4.29). При использовании неявных схем величина временного интервала τ может быть выбрана произвольно. В этом случае для достижения конечного времени расчёта T потребуется выполнить T τ

временных шагов. Следовательно, число математических операций, затрачиваемых для решения краевой задачи, окажется пропорцио-

нальным произведению Tτ N 1N 2 N 3 . Число точек в исследуемой об-

ласти равно произведению N 1N 2 N 3 . Поэтому число операций, при-

ходящееся на одну точку, оказывается постоянным, т.е. локальноодномерный метод оказывается экономичным.

Рассмотрим вопрос о погрешности локально-одномерного метода. Запишем уравнения (4.24), (4.25), (4.26) в следующем виде:

а исходное уравнение

105

Тогда погрешности решения на каждом этапе отличны от нуля:

имеет первый порядок точности по времени и второй – по пространственным координатам. Временной порядок точности может быть повышен, если при решении одномерных уравнений использовать симметричные схемы.

Локально-одномерный метод является универсальным. Он применим для решения уравнений с переменными и разрывными коэффициентами, а также нелинейных задач с достаточно гладкими границами исследуемой области.

Метод суммарной аппроксимации относится к группе методов решения сложных математических задач, называемых методами расщепления. Локально-одномерные методы предполагают расщепление по пространственным координатам. Однако такое расщепление не является единственным. При исследовании сложных физических процессов часто используется расщепление по физическим

106

процессам, когда сложный процесс рассматривается в виде комбинации более простых процессов. В этом случае решение задачи сводится к последовательному решению более простых, а полученные решения предыдущей задачи используются в качестве начальных для решения последующих.

В качестве примера таких сложных процессов можно привести процесс сушки бумажной изоляции высоковольтных кабелей. Сушка изоляции производится в условиях глубокого вакуума в обогреваемых сосудах за счёт нагревания жилы кабеля сначала от источника постоянного тока, затем от генератора высокой частоты. При нагревании жилы происходит процесс теплопередачи от её поверхности в глубь толщи бумажной изоляции. Одновременно происходит испарение содержащейся в бумаге влаги и изменение её количества в радиальном направлении изоляции. Кроме того, различное содержание влаги обусловливает возникновение градиента концентрации влаги, а при испарении жидкости возникают градиенты давления водяных паров. На второй стадии сушки при включении высокочастотного генератора в толще изоляции возникают диэлектрические потери, что приводит к возникновению локальных нагревов. Все эти причины обусловливают движение жидкости в массиве изоляции, и этот процесс принято называть тепломассопереносом. Непосредственное решение системы уравнений, описывающих процесс тепломассопереноса, ввиду его сложности не представляется возможным. Поэтому его рассматривают как последовательности отдельно существующих во времени процессов и начальные условия каждого из них принимаются в виде решения предыдущего этапа.

Разработанные методы расщепления используют для исследования тепловых процессов, расчёта и проектирования ядерных реакторов, исследования процессов химического производства, атмосферных явлений и т.д. [32, 33].

107

5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Многомерные уравнения эллиптического типа описывают стационарные процессы и могут рассматриваться как частные случаи параболических уравнений при стремлении времени решения последних

кбесконечности. Поэтому на практике для решения эллиптических уравнений полностью применимы методы, разработанные для решения уравнений параболического типа. Однако такие методы требуют значительных затрат машинного времени. Для решения краевых задач, описываемых эллиптическими уравнениями, чаще используются методы, специально разработанные для решения таких задач.

Все методы решения эллиптических уравнений можно разделить на аналитические и численные. Аналитические методы позволяют получить математически строгое решение. Однако круг решения задач с использованием этих методов весьма ограничен, и в настоящее время основными методами решения краевых задач с эллиптическими уравнениями являются численные методы. Эти методы также предполагают замену аналитических функций числовыми полями, над которыми производятся математические операции. В результате аппроксимации бесконечно малых величин операторов конечными приходят

ксистеме алгебраических уравнений, которые решаются известными методами. Все методы решения систем алгебраических уравнений, аппроксимирующих эллиптические уравнения, можно разделить на две большие группы: прямые и итерационные.

Прямые методы позволяют решать системы алгебраических уравнений с использованием конечного числа математических операций. При этом погрешность решения системы определяется погрешностью округления ЭВМ иможет бытьуменьшена специальными методами.

Итерационные методы можно рассматривать как специальным образом организованный переходный процесс. Используя начальное

108

приближение и систему алгебраических уравнений, процесс решения системы строят таким образом, чтобы на каждой последующей итерации погрешность решения уменьшалась. Полученное решение всегда является приближённым, а время решения определяется заданной точностью.

5.1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Метод разделения переменных известен давно и применялся для решения уравнений Лапласа и Пуассона. Однако широкое распространение метод получил в последнее время в связи с разработкой быстрого преобразования Фурье (БДПФ) [23, 27, 32, 33].

Идея быстрого преобразования Фурье заключается в следующем. Пусть на интервале [0, L] имеет место разложение функции f (x) в дискретный ряд Фурье:

f (0) = f (L) = 0 .

Если применять непосредственное вычисление f (x) с использованием приведённой формулы, то число математических операций, необходимых для расчёта, окажется пропорциональным N 2 . Дейст-

вительно, вначале необходимо вычислить значения sin kπi , вычис-

N

лить произведения φk sin kπi , а затем просуммировать полученные

N

произведения. Быстрое преобразование Фурье использует симметрич-

ность синусоидальных функций: sin 0 = sin 180°; sin 15° = sin 165°; sin 30° = sin 150°; sin 45° = sin 135° и т.д. Вместо того, чтобы непо-

средственно выполнять умножение в выражении (5.1), рационально вначале вынести в нём общие множители, в результате чего число членов суммы сократится приблизительно в 2 раза. В получившемся

109

ряду снова отыскиваются одинаковые множители, выносят их, сокращая в дальнейшем число членов разложения. И лишь сократив до минимума число членов разложения, производят вычисление оставшихся произведений.

Наибольший выигрыш в уменьшении числа математических операций будет в том случае, если число членов разложения является степенью числа e = 2,71828... Однако ЭВМ оперируют с числами, представленными в двоичной системе счисления. Для реализации

БДПФ число членов разложения принимают кратным степени 2n . В общем случае решение дифференциальных уравнений методом разделения переменных с использованием БДПФ требует затрат математических операций, где N – число интервалов раз-

биения пространственной координаты. Эффективность метода возрастает с увеличением числа N. Так, при N = 32 число операций пропорционально 1024, если коэффициенты разложения непосредственно вычислять по выражению (5.1), и 32 log232 = 160 при использовании БДПФ. Число математических операций уменьшается в 1024/160 = 6,4 раза. Если число N увеличить до 128, то соответствующие значения составляют 1282 = 16384 и 28 log2128 = 896, и число операций уменьшается в 16384/896 = 18,28 раза. Учитывая слабую зависимость логарифмической функции от аргумента, можно утверждать, что БДПФ по скорости реализации лишь незначительно уступает наиболее быстрому методу прогонки [27].

Метод разделения переменных предполагает разложение искомой функции и правой части дифференциального уравнения по собственным функциям дискретного оператора Лапласа, удовлетво-

Значения λ , удовлетворяющие этому уравнению, называются

собственными значениями.

110