1329

В этом выражении x1 , y1; x2 , y2; x3 , y3 – координаты вершин элементарного треугольника, а A1, A2, A3 – значения векторного потенциала в этих точках.

Если составляющая векторного потенциала описывается уравнением (6.66), то составляющие магнитной индукции в данном треугольнике будут записываться как

Для прямоугольного треугольника, изображённого на рис. 6.5, с координатами ( x1 , y1; x2 , y 2; x3 , y3 ) будем иметь:

т.е. уравнения записываются в том же виде, что и при конечноразностной аппроксимации.

Линейный интеграл может быть записан в виде суммы двух интегралов:

161

Интегрирование производится по сторонам треугольника, уравнения которых представляются в виде уравнений прямых линий. Для стороны x1 y1 − x2 y2 , например,

Рассмотрим изложенный выше подход для решения краевой задачи (6.105), считаяисследуемуюобластьтриангулированной(см. рис. 6.3).

162

Определим коэффициенты K 1 и K 2 для всех треугольников этой области, используявыражения(6.112). Например, длятреугольника№1:

Обозначая значения искомой функции в узлах соответствующими индексами, выразим коэффициенты уравнения (6.111) через значения функции в узлах и их координаты. Полученные данные для всех треугольников сведены в табл. 6.2.

Выполним интегрирование по поверхности треугольников, окружающих узлы исследуемой области. Учитывая, что сумма интегралов вдоль смежных сторон треугольников равна нулю, сумма интегралов будет равна сумме интегралов вдоль наружных сторон многоугольника, окружающих рассматриваемый узел. Например, для узла № 4 (см. рис. 6.4)

163

В указанном выражении для упрощения записи опущены однотипные выражения под знаками интегралов.

Согласнокраевымусловиямналевойграницеисследуемойобласти

164

Выполняя интегрирование по поверхности треугольников, окружающих узлы № 4–12, принимая во внимание заданные граничные условия, в окончательном виде получим систему алгебраических уравнений, записываемую в матричном виде:

Полученная система алгебраических уравнений эквивалентна системе (6.106), если учесть, что значения искомой функции в узлах № 1, 2, 3, 13, 14, 15 (см. рис. 6.4) известны (краевые условия). Следовательно, система уравнений может быть упрощена: число неизвестных и уравнений может быть уменьшено до 9, а заданные краевые условия (Дирихле) учтены в правой части полученных уравнений.

Решение алгебраической системы уравнений (6.133):

u1 = 62,5 ; u2 = 62,5 ; u3 = 62,5 ; u4 = 75 ; u5 = 75 ; u6 = 75 ; u7 = 87,5 ; u8 = 87,5 ; u9 = 87,5,

с учётом заданных условий Дирихле на нижней и верхней границе области соответствует решению, приведенному в работе [35].

Программа решения системы алгебраических уравнений:

n=9;

a=zeros(n); for i=1:n a(i,i)=5; end

165

Часть II НЕЯВНОПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ

7.МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АСИНХРОННЫХ МАШИН В РЕЖИМЕ ИДЕАЛЬНОГО ХОЛОСТОГО ХОДА

7.1.МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Для анализа электромагнитных процессов электрических машин могут быть использованы одно-, дву- и трёхмерные модели, каждая из которых обладает своими достоинствами и недостатками.

Одномерные модели позволяют рассчитывать стационарные и нестационарные магнитные поля в воздушном зазоре электрической машины с минимумом математических операций и дают широкие возможности для анализа различных схемных решений обмоток электрических машин, режимов их работы, расчёта параметров и рабочих характеристик. Одномерные модели позволяют с достаточной точностью производить расчёты переходных процессов и анализировать полученные результаты. На основе одномерных моделей построена классическая теория электрических машин, широко используемая как в прошлые годы, так и в настоящее время. Важным достоинством одномерных моделей является близость полученных результатов выводам классической теории электрических машин и, вследствие этого, простота анализа полученных результатов.

Недостатком одномерных моделей является необходимость введения определённых упрощающих допущений, которые снижают точность работы модели. Кроме того, они не дают возможности учёта пространственного распределения магнитного поля машины, в результате чего приходится вводить в математические модели дополнительную информацию, получаемую другими методами. Так, напри-

167

мер, при использовании одномерных моделей не представляется возможным определить магнитные поля пазового, лобового и дифференциальных рассеяний, в результате чего эти величины должны быть введены в уравнения Кирхгофа для обмоток статора и ротора. Тем не менее одномерные модели очень удобны для исследования электрических машин, что и обусловилоих широкое применение.

Двумерные модели также получили достаточно широкое распространение, так как, в отличие от одномерных, позволяют учесть значительно больше факторов, влияющих на характер магнитного поля электрической машины. Эти модели обеспечивают более высокую точность расчётов, позволяют получить картину магнитного поля, близкую к реальной, а также упростить математическое описание электромагнитных процессов. Вместе с тем они требуют значительных временных затрат на свою реализацию, но позволяют учитывать пазовое и дифференциальное рассеяние электрических машин, влияние магнитных сопротивлений магнитопроводов, исследовать характер распределения магнитного поля в воздушном зазоре электрических машин для различных схем обмоток статоров и роторов. При использовании этих моделей можно отказаться от большинства упрощающих допущений, свойственных одномерным моделям, т.е. учесть большинство факторов, влияющих на магнитные поля и рабочие характеристики электрических машин.

Трёхмерные модели позволяют наиболее точно описать пространственное распределение магнитных полей электрических машин и характер протекания их электромагнитных процессов. Они дают возможность анализа электромагнитных процессов электрических машин с учётом всех видов рассеяния. Более того, термин «рассеяние» в этом случае теряет смысл, поскольку потоки рассеяния представляют собой потоки магнитного поля в определённой части рассматриваемого пространства. Подразделение магнитного поля на основное и поле рассеяния в данном случае не упрощает анализа и его можно игнорировать. Однако эти модели требуют для их реализации значительных временных затрат, многократно превышающих аналогичный показатель одно- и двумерных моделей. Сложность реализации этих моделей обусловлена не только увеличением числа компонент магнитного поля, но и невозможностью их разделе-

168

ния в дифференциальных уравнениях математической модели [33]. Это приводит к тому, что вместо решения трёх дифференциальных уравнений для каждой компоненты, приходится решать систему трёх уравнений с тремя компонентами магнитного поля, что связано со значительными трудностями. В частных случаях, вводя определённые допущения, удаётся разделить компоненты в уравнениях математической модели, сведя систему к трём уравнениям для каждой компоненты, и упростить их решения, однако при этом точность получаемых результатов существенно снижается.

При построении математических моделей электрических машин в большинстве случаев желательно принять во внимание их геометрическую и электрическую симметрию. Это обстоятельство позволяет снизить размерность массивов исследуемых величин, а в ряде случаев и размерность системы уравнений. Для реализации многомерных математических моделей важное значение имеют методы решения дифференциальных уравнений. При их выборе следует обратить внимание на возможность упрощения решения вследствие симметрии электрических машин.

Однако значительная часть рассматриваемых в работе электрических машин в той или иной мере обладает электромагнитной асимметрией, которая характеризуется асимметричностью распределения магнитного поля в воздушном зазоре машины на протяжении полюсного деления.

Причинами электромагнитной асимметрии могут являться: конструктивные особенности машин, асимметрия питающих напряжений, специфика эксплуатационных режимов, позволяющих получить необходимые характеристики электропривода.

Электрическая асимметрия определяется асимметрией параметров статорных и роторных цепей электрической машины и может возникать вследствие:

–различия параметров обмоток машины (число проводников, их сечение, электрические свойства проводниковых материалов и т.п.);

–включения в обмотки статора и ротора дополнительных элементов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, полупроводниковых приборов) с различными параметрами;

169

–различия величин пространственных углов между осями обмоток;

–различия величин полюсных делений;

–неоднородности структуры материала магнитопроводов статора и ротора и т.д.

Причинами магнитной асимметрии электрических машин являются:

–неравномерность воздушного зазора между статором и ротором;

–различие сечений участков магнитопроводов машин;

–неоднородность структуры ферромагнитных материалов;

–различие магнитных свойств участков магнитопровода и т.д. Различная величина воздушного зазора на участках полюсного де-

ления электрической машины может явиться следствием как конструктивных особенностей, так и неточности изготовления магнитопровода и самой машины (эллиптичностьи эксцентриситет ротора).

Пространственная асимметрия ярма статора, так же как и анизотропия магнитных свойств, чаще всего используется как средство создания пускового момента однофазных электрических машин, а неоднородность структуры материала является характерной особенностью машин сразомкнутым магнитопроводом (линейных и дугостаторных).

Эксплуатационная асимметрия электрических машин связана с режимами их работы, асимметрией питающих напряжений при аварийных режимах энергетических систем, аварийных режимах самих машин и питании их обмоток от преобразователей частоты различных типов.

Многообразие форм и причин асимметрии электрических машин делает это понятие неоднозначным. Действительно, при питании симметричной по конструкции электрической машины системой несимметричных напряжений возникает несимметричный режим её работы. С другой стороны, симметричный режим работы заведомо несимметричной машины можно получить, задавая систему питающих напряжений с определённым соотношением её параметров [4].

Помимо асимметрии электрических машин на её характеристики заметный отпечаток наносит гармонический состав магнитного поля. Известно, что при существующих конструкциях обмоток элек-

170