1329

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

A− µ(H ) γ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

16.43 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 465 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

∂

1 ∂ Ay

∂ A

−

= −J

ст z

(2.43)

µ y ∂

µxz ∂

∂

µ y

∂ x

µxz∂

Для решения системы (2.41)–(2.43)

преобразуем выражение в скоб-

ках привтором члене уравнения (2.41) следующим образом:

∂ Ay

1 ∂ Az

∂ Ay

µxz

∂

Az ∂ Az

∂ Ax

∂

−

µxz

∂ y

µy ∂ z

µxz ∂ y

µy

z ∂

∂

x∂

∂

µxz

∂ Az

∂ Ax

−1

−

+ div A .

(2.44)

∂ z

∂

Пользуясь произвольностью выбора div

, используем следую-

щую калибровку:

µxz

∂ Az

div A = −

−

(2.45)

µ y

∂ z

Подставим эту формулу в (2.44) ипреобразуем полученное выражение:

1 ∂ Ay

1 ∂ Az

−

∂ Ax

(2.46)

µxz ∂ y

µy

∂ z

µxz

∂

тогда уравнение (2.41) запишем в виде

1 ∂ 2Ax

1∂

2Ax

= −J

ст x

(2.47)

µxz ∂ x2

µxz ∂ y 2

µy

∂

z 2

Точно так же преобразуем выражение в скобках при втором члене уравнения (2.43):

∂ Ax

1 ∂ Ay

∂

µy ∂ x

µxz ∂

µxz

∂

µxz

∂ Ax

∂ Az

−1

−

µy

∂

x ∂

z ∂

∂

∂ Ax

∂ Az

−1

−

+ div A .

(2.48)

∂ z

∂ x

Подставляя в (2.48) принятую калибровку и преобразовывая полученное при этом выражение, будем иметь

∂ Ax

∂ Ay

∂ Ax

∂ Az

−

(2.49)

µy ∂ x

µxz

∂ y

µy

µy∂

µxz ∂ x

В этом случае уравнение (2.43) примет вид

1 ∂ 2Az	+	1 ∂ 2Az	+	1∂ 2Az

µy ∂ x2		µxz ∂ y2		µy	∂ z 2

			∂	1
= −J		−
= −J		−		µ
	ст z	∂ z		µ	y

	1		∂ Ax
−	1		∂ Ax	. (2.50)
−				. (2.50)
	µxz		x
	µxz	∂	x

Для решения уравнения (2.42) преобразуем выражение в скобках при втором члене этого уравнения:

∂ Ax

∂ Az

∂ A

∂

+∂

−

µxz ∂ x

µxz ∂ z

µxz ∂

x ∂ z ∂

y ∂

(2.51)

∂ Ay

−

+ div A .

µxz

∂ y

Подставляяв(2.51) div A , согласнопринятойкалибровке, получим

1 ∂ Ax

∂ Az

∂

∂ Ay

= −

−

µxz ∂ x

µxz

∂ z

µ y

µxz∂

µxz ∂ z

Уравнение (2.42) примет вид

∂ 2Ay

1 ∂ 2Ay

1 ∂

2Ay

∂

= −J

ст y

−

µxz ∂ x

µxz ∂ y

µxz ∂

∂

µy

µxz

∂

(2.52)

(2.53)

Таким образом, решение системы (2.47), (2.50), (2.53) производится в следующей последовательности:

– с помощью известных значений составляющей плотности тока Jст x и заданных граничных условий, решается уравнение (2.47) и опре-

деляются значениясоставляющей векторного потенциала Ax;

– по найденным значениям составляющей Ax и заданной плотности тока Jст z рассчитывается правая часть уравнения (2.50), которое

решается с учётом заданных граничных условий;

– решается уравнение (2.53) с использованием соответствующей составляющей плотности стороннего тока и найденных значений составляющей векторного потенциала Az.

2.2.2. Однородная проводящая магнитная среда

Магнитная проницаемость, электропроводность среды, плотность стороннего тока записываются в виде: µ , γ, Jст = f (x, y, z) ,

где магнитная проницаемость и электропроводность среды являются тензорами второго рода:

µ =	µxz	0	0	γ =	γxz	0	0
µ =	0	µy	0	γ =	0	γy	0	(2.54)
	0	0	µxz		0	0	γxz

Уравнение магнитного поля

rot µ-1rot		= Jст +		,	(2.55)
	A		J

где J – плотность тока проводимости, определяемая как


		∂ A
J = γ	−		+ grad φ .	(2.56)

		∂ t

Подставляя выражение плотности тока проводимости в уравнение (2.55), выполняя математические операции по правилам векторного анализа и проектируя векторное уравнение на координатные оси, получим систему скалярных уравнений для трёх составляющих векторного потенциала:

∂

∂ 1 ∂ Ay

∂ A

− γ

−

+ γ

ϕ = −

ст x

; (2.57)

µxz ∂ y

µy ∂ z

∂ t ∂

µxz∂ y

µ∂y

∂ 2Ay

1 ∂

2Ay

− γ

∂ Ay

−

∂

∂ Ax

1∂

+ γ

; (2.58)

∂

µ ∂

µ∂

∂ x2

∂ t ∂

ст y

∂

∂ A

∂ 1

∂ A

1 ∂ Ay

− γ

−

+ γ

ст z

. (2.59)

µ y ∂ x

µxz ∂

∂ t ∂

µ∂y

µ∂xz

Для решения записанной системы (2.57)−(2.59) преобразуем второй член левой части уравнения (2.57) подобно тому, как это делалось выше. В результате преобразования получим

∂ Ay

∂ Az

∂

µxz

∂ Az

+ γxzϕ

− 1

−

(2.60)

µxz

∂ y

µy ∂ z

µxz ∂

µy

z ∂

∂

∂ Ax

µxz

∂ Az ∂

−

+µxz γxzϕ

−1

−

+ div A + µxz γxzϕ .

∂ x

µy

µxz

∂ z ∂

Пользуясь произвольностью выбора div A , примем следующую калибровку:

	µxz		∂ Az
div A = −	µxz	−1	∂ Az	− µxz γxz ϕ .	(2.61)
div A = −		−1		− µxz γxz ϕ .	(2.61)
	µy		∂ z
	µy		∂ z

Подставляя уравнение калибровки (2.61) в (2.60) и преобразовывая полученное выражение, имеем

1 ∂ Ay

1 ∂ Az

−

∂ Ax

(2.62)

µxz ∂ y

µ y

∂ z

µxz

∂

уравнение (2.57) записываем в виде

1 ∂ 2Ax

1∂ 2Ax

− γ

∂ Ax

= −J

ст x

(2.63)

µxz ∂ x2

µxz ∂ y2

µy

∂ z 2

xz ∂ t

Точно так же преобразуем выражение в скобках при втором члене уравнения (2.59):

1 ∂

∂

+ γxz

φ =

µy

∂ x

µxz

∂

µxz

∂ Ax

−1

∂ y

∂ x

µxz

∂ Ax

∂ Az

−1

−

∂ z

∂ x

+∂	Ax		∂ Az	−∂	Az
		+				+ µxz γxz φ	= (2.64)
					z
∂	x ∂ z ∂

+ div A + µxz γxz φ .

Подставляя в (2.64) принятую калибровку и преобразовывая полученное при этом выражение, имеем

1 ∂ Ax

∂ Ay

∂

∂ Az

+ γxz

φ =

−

(2.65)

µy ∂ x

µxz

∂ y

µy

µy∂

µxz ∂ x

Уравнение (2.59) в этом случае примет вид

1 ∂ 2Az

1 ∂

2Az

∂

2Az

− γxz

∂ Az

µ y ∂ x2

µxz

∂ y 2

µ y

∂

z 2

∂

(2.66)

∂

= −Jст z

−

∂

Для решения уравнения (2.58) выразим φ из уравнения калиб-

ровки (2.61):

				µxz		∂ Az
		div A +		µxz	−1	∂ Az
		div A +			−1
						∂ z
φ	= −			µy		∂ z
							(2.67)
			µxz γxz				(2.67)
			µxz γxz

и подставим в выражение при втором члене этого уравнения. После преобразования получим

∂ Ax

∂ Az

+ γy =

µxz

∂ x

µxz ∂

γy

∂ Ax

γy

∂

γy

µxz

∂ Az

−

γxz

∂ x

∂

γxz

µ y

∂

µxz

γxz

и запишем уравнение (2.58) в виде

1 ∂ 2 Ay

γy

∂ 2 Ay

1 ∂

2 Ay

∂

−1

−

γy

µxz ∂

µxz

µxz ∂

γxz

∂

γy

∂

1 γy

∂ Az

−Jст y

−

∂ y

∂

µy γxz ∂

µxz

γxz

(2.68)

(2.69)

Таким образом, получается совместно решаемая система трёх уравнений параболического типа. Для её решения необходимо иметь начальные значения трёх составляющих векторного потенциала и условия на границах исследуемой области. Последовательность решения системы уравнений точно такая же, что и для непроводящей среды.

2.3. НЕЛИНЕЙНЫЕ МАГНИТНЫЕ СРЕДЫ

Магнитопроводы электрических машин выполняются из ферромагнитных материалов, магнитная проницаемость которых является функцией магнитной индукции или напряжённости магнитного поля.

Кроме того, кривая намагничивания ферромагнитного материала вследствие гистерезиса является неоднозначной. Эти факторы в значительной мере затрудняют решение уравнений магнитного поля. Для магнитомягких материалов, обладающих узкой петлёй гистерезиса, неоднозначностью кривой намагничивания можно пренебречь, что несколько упрощает решение задачи. Тем не менее расчёт магнитных полей в ферромагнитных средах всегда связан с решением нелинейных дифференциальных уравнений, реализуемыхитерационными методами.

2.3.1. Непроводящая ферромагнитная среда

Сторонний ток отсутствует: Jст = 0 , µ = f (H ). Уравнение магнитного поля имеет вид

rot H = 0 ; H = grad φм .

Тогда условие непрерывности магнитного поля (2.3) записывается в виде

div µ(H )grad φ

= 0

(2.70)

или

∂

∂ φ

∂

µ ( H )

= 0 . (2.71)

∂

∂ x ∂ y

∂

y ∂

∂

2.3.2. Проводящая ферромагнитная среда

Плотность стороннего тока является функцией пространствен-

ных координат: µ = f ( H ) ; γ = const; Jст						= f (x, y, z).
Уравнение магнитного поля
		= Jст + J ;
rot H		= Jст + J ;					(2.72)
где J – плотность тока проводимости,
		∂	A
J = γ	–			+grad	φ .		(2.73)
J = γ	–	∂		+grad	φ .		(2.73)
		∂	t

Выражая напряжённость магнитного поля через проницаемость среды и магнитную индукцию, а последнюю через векторный потенциал, выполняя преобразования, получим уравнение магнитного поля в виде

∆	A− µ( H ) γ	∂ A	= − µ( H )		+	grad µ( H )×	rot
								A+


		∂ t		J ст		µ( H )	(2.74)

+grad div A + µ( H ) γ grad φ.

Этому выражению можно придать более компактную форму, если ввести известную калибровку div A = µγϕ . Последний член в правойчасти уравнения (2.74) при постоянной γзаписывается в виде

µ ( H ) γ grad φ = grad µ ( H ) γφ		− γφ grad µ ( H ) .		(2.75)

Если div A = −µ(H ) γφ,

нимает вид

то φγ = −	div A	и уравнение (2.74) при-
	µ( H )
grad µ(H )			grad µ(H )
µ(H ) ×	rot A+			div A. (2.76)
			µ(H )

Для некоторых задач при введении определённых допущений

испециальной калибровки уравнение (2.74) может быть упрощено. Однако практически для всех случаев при решении уравнений (2.71)

и(2.75) приходится использовать итерационные методы.

Перечисленные выше методы преобразований уравнений Максвелла охватывают лишь ограниченное число уравнений для краевых задач, описывающих электромагнитное поле электрических машин. Электромагнитное поле реальной машины вследствие более сложной структуры среды описывается уравнениями более сложного вида. Для решения подобных уравнений приходится рассматривать отдельные области среды, описывая их отдельными уравнениями, либо вводить определённые упрощающие допущения, незначительно влияющие на точность решения краевой задачи, но приводящие к значительному упрощению системы уравнений. Выбор метода решения подобных задач диктуется требованиями к результатам решения и определяется опытом работы с подобными задачами.

3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

Одномерные краевые задачи являются наиболее простыми в реализации, так как дифференциальные уравнения в частных производных являются, по сути, уравнениями с обыкновенными производными. Тем не менее изучению методов их решения отводится значительное место. Такая ситуация объясняется тем, что большинство методов решения многомерных краевых задач может быть сведено к решению одномерных. Следует также отметить, что ряд положений, используемых при решении одномерных, оказываются полностью справедливыми и для многомерных задач. Исходя из этих позиций, целесообразно рассмотреть методы решения одномерных задач наиболее подробно.

3.1. РАЗНОСТНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Дифференциальные уравнения в частных производных решаются, как правило, численными методами, так как аналитическое решение уравнений с переменными коэффициентами или нелинейных уравнений возможно лишь в исключительных случаях.

При численном решении уравнений действия над непрерывными функциями заменяются действиями над числовыми величинами, характеризующими электромагнитное поле. При этом исследуемая область принимается конечномерной, а уравнению в частных производных ставится в соответствие разностная задача. Решение разностной задачи должно быть корректным [23]:

–существовать и быть единственным при любых входных данных;

–непрерывно зависеть от исходных данных задачи: погрешности входных данных не должны приводить к искажению результатов.

Поскольку получаемое при этом решение является приближённым, необходимо использовать такие методы, которые обеспечивали бы минимальную погрешность.

Различают следующие виды погрешностей:

1)погрешности входных данных (начальные и граничные усло-

вия, коэффициенты уравнений, правая часть дифференциального уравнения), которые при переходе от краевой задачи к разностной задаются с определённым приближением;

2)погрешности метода, определяемые погрешностями методов преобразования дифференциальных операторов, реализующих разностную задачу;

3)погрешности вычислений, определяемые точностью выполнения математических операций ЭВМ.

Естественно стремиться к тому, чтобы суммарная погрешность решения, возникающая вследствие этих причин, была бы минимальной, не возрастала в ходе решения задачи и не приводила к искажению результатов решения.

Свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных принято называть устойчивостью задачи по входным данным. Погрешности входных данных, которые неизбежно возникают в ходе решения разностных задач, не должны нарастать и выходить за пределы машинного нуля или машинной бесконечности. Выбранные методы решения разностных задач должны исключать подобные ситуации, т.е. должны быть устойчивыми.

Важным требованием, предъявляемым к методу решения краевых задач, является время решения. Среди эквивалентных по точности методов необходимо выбирать такой, который обеспечивал бы минимальные затраты машинного времени. При решении сложных краевых задач это условие подчас становится решающим при выборе метода.

Конечно-разностные методы предполагают замену дифференциальных операторов конечно-разностными выражениями, в результате чего дифференциальные уравнения сводятся к системе алгебраических, которые решаются известными методами [24].

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 465 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202216.27 Mб501324.pdf
#
15.11.202216.28 Mб01325.pdf
#
15.11.202212.11 Mб51326.pdf
#
15.11.202216.36 Mб81327.pdf
#
15.11.20222.77 Mб11328.pdf
#
15.11.202216.43 Mб41329.pdf
#
15.11.2022574.29 Кб1133.pdf
#
15.11.202216.43 Mб51330.pdf
#
15.11.20222.76 Mб11332.pdf
#
15.11.20223.52 Mб11333.pdf
#
15.11.202216.76 Mб41338.pdf