1329

Амплитуда векторного потенциала

м= µ0 J ст.м = 4π 10−7 1,735 107 = 0,00491 Вб / м ,

α2 + q 33,352 + 3327,8

аамплитуды радиальной и тангенциальной составляющих магнитной индукции в зазоре и ярме статора двигателя соответственно составят:

BR = αA = 33,35 0,00491 = 0,1637 Тл;

Полученные результаты показывают, что насыщение магнитопровода влияет на величину магнитной индукции в зазоре двигателя. Снижение проницаемости материала магнитопроводов статора и ротора, возникающее при их насыщении, приводит к существенному уменьшению магнитной индукции в зазоре двигателя.

7.3. УЧЁТ НАСЫЩЕНИЯ МАГНИТОПРОВОДА АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

Рассмотренный выше пример показывает, что величина магнитного поля в зазоре асинхронной машины существенным образом зависит от величины коэффициента q и уменьшается с его ростом.

Рассмотрим физический смысл этого коэффициента, приняв для упрощения преобразований, что

В этом случае выражение (7.29) может быть записано в виде

191

где

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе (7.33), следующим образом:

ния магнитного потока к максимальному при гармоническом его распределении в зазоре и ярме машины. Коэффициент 0,5 учитывает то обстоятельство, что магнитный поток ярма равен половине потока

Rмаг δ

где K µ – коэффициент насыщения магнитной цепи принятой модели асинхронного двигателя.

192

В простейшей постановке магнитные свойства ферромагнитных материалов принимались постоянными. В реальной машине магнитная индукция в ярме статора и ротора на различных участках магнитопровода принимает различные значения. Вследствие этого магнитная проницаемость материала магнитопровода также имеет различные величины. Каким образом в условиях одномерной модели можно учесть это обстоятельство?

При упрощении уравнения (7.9) его первый член заменялся ко- нечно-разностным выражением. При этом на этапе преобразования не производилось дифференцирования рассматриваемых выражений по координате φ. Поэтому, если величина магнитной проницаемости является функцией тангенциальной координаты, то проводимые преобразования не отражаются на конечном результате, так как дифференцирование рассматриваемых величин производилось по радиальной координате.

Отличие конечного результата от рассмотренного выше случая заключается в том, что коэффициент q уже не является постоянной величиной, а зависит от координаты φ. В этом случае уравнение (7.23) должно записываться в виде

Для решения уравнения (7.41) с переменными коэффициентами зависимость q(ϕ ) должна быть задана или определена в ходе итера-

ционного уточнения при решении нелинейной задачи.

Рассмотрим граничные условия краевой задачи при переменной величине коэффициента q. Если величина этого коэффициента постоянна и не зависит от пространственной координаты φ, то, как было показано выше, при синусоидальном распределении токовой нагрузки по длине расточки статора должны выполняться условия

193

периодичности. В случае переменного коэффициента q постановка граничных условий должна быть уточнена, исходя из следующих соображений.

Проинтегрируем радиальную составляющую магнитной индукции в пределах исследуемой области

Если A(2π) = A(0) , то рассматриваемый интеграл обращается

внуль, что эквивалентно условию замкнутости магнитного потока

висследуемой области. Поскольку это условие должно выполняться всегда, то оно из граничных условий (7.24) сохраняется и при переменной величине коэффициента q.

Проинтегрируем уравнение векторного потенциала (7.23) по длине окружности:

Правая часть этого выражения всегда равна нулю, поскольку сумма сторонних токов всегда равна нулю. Следовательно, должно выполняться граничное условие

Краевая задача в общем случае должна решаться с учётом полученного условия, которое, по сути, представляет граничное условие интегрального типа (см. часть I, подразд. 3.2.3). Условия периодичности, таким образом, будут являться частным случаем условий (7.45), когда интеграл в правой части этого выражения обращается в нуль. В большинстве рассматриваемых на практике случаев при симметричности кривой распределения токовой нагрузки относительно оси абсцисс указанная симметрия распространяется и на по-

194

дынтегральное выражение. В этом случае оказывается справедливым

ивторое выражение граничных условий (7.24).

Врассмотренном ранее упрощенном варианте наличие пазов на магнитопроводе статора и ротора учитывается введением коэффициента Картера, т.е. увеличением воздушного зазора. Действительно, наличие пазов приводит к уменьшению магнитной индукции в зазоре, что эквивалентно увеличению зазора. Однако в реальной машине чередование пазов и зубцов вызывает изменение магнитной проводимости зазора машины, что приводит к искажению магнитного поля. Кривая магнитной индукции в этом случае будет содержать спектр высших пространственных гармоник, называемых зубцовыми.

Для учёта влияния зубцово-пазовой структуры на характер магнитного поля в зазоре асинхронной машины при решении задачи

водномерной постановке необходимо задавать магнитную проводимость воздушного зазора в функции параметров структуры. Поскольку магнитная проводимость пропорциональна магнитной проницаемости среды, можно принять величину воздушного зазора постоянной, а расчётную проницаемость среды – переменной, исходя из условия инвариантности магнитной проводимости воздушного зазора.

Используя решение задачи о распределении магнитного поля вблизи ферромагнитной среды, полученное методом конформных отображений, расчётную проницаемость среды в зазоре асинхронной машины можно представить в виде [38]

где величина коэффициента u определяется шириной открытия паза bп и величиной воздушного зазора δ :

а коэффициент а зависит от размеров паза, геометрии машины и связан с пространственной координатой соотношением

195

Проанализируем приведённые выражения. Исходя из физического смысла, резонно предположить, что минимум магнитной проницаемости соответствует середине паза. Действительно, приравнивая производную ∂ µ ∂ a из (7.46) нулю и решая полученное при этом

уравнение, будем иметь условие минимума проницаемости

При этом координата φ из (7.48) обращается в нуль, а расчётная проницаемость среды

Если положить a =1 , то µ = µ0 . Теоретически это условие со-

гласно (7.48) выполняется в точке бесконечно удалённой от середины паза. Однако ввиду быстрого изменения логарифмической функции уже на расстоянии, равном 0,1 δ от края зубца, величина расчётной проницаемости µ отличается от µ0 не более чем на 0,5 %. Можно по-

казать также, что на границе зубца величина µµ0 ≈ 0,833 .

Магнитное поле двигателя с учётом зависимости магнитной проницаемости от пространственной координаты описывается уравнением

с периодическими краевыми условиями. В данном случае магнитное поле описывается уравнением с переменными коэффициентами, которое также решается методом циклической прогонки.

196

7.4. УЧЁТ НАСЫЩЕНИЯ ЗУБЦОВ МАГНИТОПРОВОДА

До сих пор исследовалось магнитное поле в зазоре и ярме асинхронной машины. В реальной электрической машине магнитный поток проходит и по зубцам статора и ротора, вызывая в этих элементах падение магнитного потенциала. Насыщение зубцов статора и ротора можно приближённо учесть в условиях одномерной модели, если считать, что магнитный поток зубцового деления проходит лишь по зубцу. Наличие магнитного падения напряжения на зубце вызывает уменьшение напряжённости магнитного поля в зазоре машины при постоянной величине МДС. Если напряжённость магнитного поля в зубце, как и в воздушном зазоре, имеет лишь одну радиальную составляющую, то справедливо следующее уравнение:

Hэ – эквивалентная напряжённость магнитного поля в воздушном

зазоре.

Из этого выражения следует, что

Выразим напряжённость магнитного поля через соответствующие значения магнитной индукции из условия прохождения магнитного потока зубцового деления через зубец:

Из этого выражения следует, что эквивалентная магнитная проницаемость среды, заполняющей немагнитный зазор, записывается в виде

197

то KZ =1 . При насыщении зубцов относительная магнитная прони-

цаемость уменьшается и коэффициент насыщения зубцов возрастает. Такимобразом, дляучётанасыщениязубцовнеобходимовуравнение магнитного поля (7.51) ввести уточнённое значение магнитной проницае-

мостисреды, заполняющейвоздушныйзазор, всоответствиис(7.55). Проанализируем влияние насыщения зубцов на магнитное поле

асинхронной машины, для чего запишем коэффициент q в виде

При насыщении зубцов статора, как показано выше, возрастает величина коэффициента KZ , что вызывает уменьшение величины ко-

эффициента q. Это, в свою очередь, приводит к увеличению векторного потенциала (7.33). Поскольку векторный потенциал по длине полюсного деления распределяется по гармоническому закону, то насыщение зубцов происходит в основном в середине полюсного деления. В этом случае уменьшение коэффициента q приводит к искажению кривой распределения векторного потенциала, которая приобретает обострённую в центре полюсного деления форму. Радиальная составляющая магнитной индукции, имеющая место в воздушном зазоре, определяется выражением (7.15). Дифференцирование обострённой формы кривой векторного потенциала по пространственной координате φ вызывает уплощение формы кривой магнитной индукции в зазоре асинхронной машины.

При насыщении ярма машины происходит уменьшение магнитной проницаемости материала ярма. В этом случае, согласно (7.56), величина коэффициента q возрастает, что вызывает уменьшение векторного потенциала. Кривая векторного потенциала при этом стано-

198

вится уплощенной, а форма кривой магнитной индукции в зазоре становится обострённой. Эти выводы полностью согласуются с известными положениями работы [2]. Таким образом, насыщение элементов магнитной системы двигателя приводит к уменьшению величины магнитного поля и изменению формы кривой распределения магнитного поля в ярме магнитопровода ивоздушном зазоредвигателя.

7.5. УЧЁТ ПОТЕРЬ В СТАЛИ

При прохождении магнитного потока по магнитопроводу асинхронной машины в нем возникают магнитные потери, обусловленные протеканием вихревых токов и перемагничиванием стали. В режиме холостого хода ток, потребляемый двигателем из сети, содержит две составляющие: реактивную – намагничивающий ток – и активную, определяемую потерями в стали. Магнитные потери учитываются введением вТ-образную схему замещения асинхронной машины активного сопротивления определённой величины. Аналогично можно учитывать эти потери при моделировании электрических машин переменного тока. При нагрузках двигателя, близких к номинальным, потерями в магнитопроводе ротора можно пренебречь ввиду низкой частоты протекающего в нём тока. Однако при значительных скольжениях частота тока ротора возрастает, соответственно возрастают потери ипренебрежение потерями ротораможетпривестиксущественнойпогрешности.

Магнитные потери асинхронных машин рассчитываются с использованием известного выражения

ли. Коэффициент β в этом выражении зависит от содержания кремния в стали и способа её изготовления. Согласно [39], величина коэффициента составляет: β = 1,5 для стали марки 2013, β = 1,4 – для стали 2312,

β = 1,3 – для стали 2411.

199

Однако моделирование магнитных потерь по выражению (7.57) представляет определённые трудности. Для целей моделирования гораздо удобнее использовать другой подход, связанный с разделением потерь. Известно, что потери в магнитопроводе электрических машин можно представить в виде суммы потерь от вихревых токов и от гистерезиса [41]:

базовых чаще всего принимают индукцию, равную 1 Тл, и частоту 50 Гц. Величины коэффициентов ε и σ зависят от содержания в стали кремния [41]: для сталей с низким содержанием кремния – ε = 4,1 и σ = 5,1; для сталей со средним содержанием кремния– ε = 3,5 и σ = 4,4; для высоколегированных сортов стали – ε = 2,1 и σ = 1,8. Более точно величины этих коэффициентов могут быть определены экспериментально по методике, изложенной в работе [41].

При моделировании потерь необходимо принимать во внимание следующее. Магнитная индукция на отдельных участках магнитопровода имеет не только различные значения, но и различный характер. Так, в ярме статора магнитная индукция имеет две составляющие: тангенциальную Bϕ и радиальную BR (см. рис. 7.3). Величина

тангенциальной составляющей распределена по высоте ярма с небольшим затуханием, и её при расчётах можно считать постоянной. Радиальная составляющая по мере удаления от воздушного зазора убывает до нуля по закону, близкому к линейному. Обе эти составляющие изменяются и по координате ϕ по гармоническому закону.

Ввиду сложности учёта этих обстоятельств, при практических расчётах принимают во внимание лишь тангенциальную составляющую индукции, учитывая радиальную введением коэффициента увеличения потерь.

200