1329

Если принять, что в каждом элементе плотность стороннего тока является постоянной величиной, то

В записанных выражениях функции под знаком интеграла зависят от пространственных координат. Поэтому вычисление интеграла необходимо производить по площади треугольника. Положим для простоты вычислений, что рассматривается прямоугольный треугольник, изображённый на рис. 6.2.

151

Возьмём интеграл

(6.85)

(6.88)

152

Подставляя в полученный результат k согласно (6.87) и учитывая, что площадь прямоугольного треугольника

S тр = 1 h x h y , 2

в окончательном виде будем иметь

Остальные интегралы (6.81) и (6.82) вычисляются аналогично и имеют те же значения.

Таким образом, минимум функционала (6.68) может быть записан в виде следующей системы уравнений:

Указанная система уравнений записывается для всех элементов исследуемой области, а её решение с учётом известных значений векторного потенциала на границе области позволяет рассчитать искомые значения векторного потенциала во всех узлах исследуемой области.

Указанная система алгебраических уравнений характеризует поэлементное объединение, процедура которого сводится к вычислению матриц для каждого элемента.

Помимо поэлементного объединения возможно объединение по узлам, когда уравнение записывается для каждого узла исследуемой

153

области. Система алгебраических уравнений в этом случае может быть получена исходя из следующих соображений.

Каждое из уравнений системы (6.91) получено путём минимизации энергетического функционала (6.68). При этом для получения минимума производилось дифференцирование функционала по значениям векторного потенциала в узлах треугольника, и полученные производные приравнивались к нулю. В исследуемой области каждый узел может принадлежать одновременно нескольким элементам. Система алгебраических уравнений, записанная для каждого элемента этой группы, будет содержать, естественно, производные по значению векторного потенциала рассматриваемого узла. В этом случае можно, просуммировав уравнения рассматриваемого узла для всех элементов, включающих в себя данный узел, получим для него уравнение, которое содержит значения векторного потенциала в соседних узлах.

Для примера рассмотрим простейшую краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольной области с нулевыми граничными условиями. Разобьём рассматриваемую область на прямоугольные ячейки со сторонами величиной h x, h y и вершинами, совпадающими

с узлами сетки. Каждую ячейку области разобьём диагональю на два прямоугольных треугольника с катета-

ми, равными hx и h y . В результате об-

154

где i − номер треугольника с вершиной в узле № 1; F – функционал, определяемый выражением (6.68).

Производная по А1 в каждом элементе соответствует первой

∂ F

строке системы (6.91). Определим для первого треугольника

∂ A1 1

(см. рис. 6.3). Обозначим его вершины, принимая во внимание, что обход производится против часовой стрелки: l = 1; m = 3; n = 2. Тогда в соответствии с (6.62), (6.63)

и определим правые части уравнений:

Подставляя в это уравнение значения bl , bm , bn , cl , cm , cn и выполняя преобразования, получим

155

Аналогичные операции проделаем для всех треугольников с вер-

Врезультате получим длявсех элементов следующие уравнения:

156

Суммируя левые и правые части этих уравнений, получим

− 2hy2 A7 − 2µJстhx2 hy2 .

Учитывая равенство нулю производных в левой части уравнения, выполняем элементарные преобразования и получаем уравнение

совпадающее суравнением, полученным конечно-разностным методом. В качестве примера рассмотрим уравнение Лапласа

решаемое методом конечных элементов в работе [35] в прямоугольной области [0:2, 0:2] с краевыми условиями:

Рассматриваемая область разбита на 16 треугольников с 15 узлами (рис. 6.4).

Система алгебраических уравнений, соответствующая краевой задаче (6.105), получена в работе [35], записана в матричном виде (6.107), а её решение представлено ниже:

157

Рис. 6.4. Триангуляция исследуемой области [0:2, 0:2]

Покажем, что каждое уравнение из рассматриваемой системы соответствует конечно-разностной аппроксимации дифференциальных операторов решаемого уравнения Лапласа.

Рассмотрим, например, уравнение для узла № 8, предварительно разделив его коэффициенты и правую часть на 2:

158

Выполнив элементарные преобразования, получим уравнение

(6.106).

В ряде случаев энергетический функционал не известен или его нахождение связано со значительными трудностями. В этом случае система алгебраических уравнений может быть получена непосредственно при интегрировании уравнений Максвелла. Рассмотрим процедуру получения системы алгебраических уравнений для этого случая.

159

Согласно определению ротор любого вектора может быть выражен через циркуляцию следующим образом:

(6.108)

Введём векторный потенциал rot A = B и запишем уравнение Максвелла в виде

ииспользуя определение ротора, этому выражению можно придатьвид

(6.110)

Таким образом, решение дифференциального уравнения (6.109) можно свести к системе уравнений (6.110), записываемых для всех участков площади исследуемой области.

Положим, что исследуемая область разбита на определённое число элементарных площадок в виде треугольников (триангулирована), в каждом из которых векторный потенциал является линейной функцией пространственных координат и записывается в виде

(6.111)

= A1 − K1 ( x − x1 ) + K2 ( y − y1 ),

где коэффициенты

160