1329

Пусть рассматриваемая область решения лежит в пределах [0, L]. Разобьём эту область на конечное число N интервалов величиной

Производная дифференциального уравнения на интервале i конечной величины ∆ x может быть аппроксимирована выражениями:

Первое из этих выражений называется правой разностью, вто-

рое – левой разностью, третье – центральной разностью, оно явля-

ется усреднением двух первых.

Замена производной конечно-разностным выражением обусловливает появление погрешности, так как точное равенство возможно лишь при ∆ x→ 0 . Оценим погрешности, возникающие для таких видов аппроксимации дифференциального оператора.

Рассмотрим порядок точности аппроксимации правой разностью. Для оценки погрешности разложим функцию U (x + ∆ x) в ряд

Тейлора в окрестности точки x :

т.е. пропорционален первой степени величины ∆ x . Говорят, что конеч- но-разностное выражение аппроксимирует производную с точностью

51

первого порядка или аппроксимация имеет первый порядок точности. Точно также, используявыражение левой разности, будем иметь

Погрешность аппроксимации и в этом случае имеет первый порядок точности.

Рассмотрим порядок точности аппроксимации производной центральной разностью. Раскладывая функцию в ряд Тейлора, будем иметь

В этом случае центральная разность аппроксимирует производную со вторым порядком точности. При малой величине ∆ x точность аппроксимации производной оказывается более высокой.

52

Вторую производную функции в точке i исследуемой области можно представить в виде разности первых производных:

+24 ∂ x4 +

иподставим полученные выражения в правую часть второй произ-

водной (3.13).

Тогда U( x)

Отсюда погрешность аппроксимации второй производной

53

пропорциональна второй степени величины интервала разбиения, т.е. имеет второй порядок точности аппроксимации.

Порядок точности конечно-разностного выражения может быть повышен, если увеличить число точек для его аппроксимации. Если, например, в выражение погрешности аппроксимации первой производной подставить конечно-разностное выражение второй производной, то порядок точности аппроксимации повышается. Однако такой способ повышения точности требует увеличения числа интервалов разбиения, что приводит к возрастанию сложности аппроксимирующих выражений. Поэтому чаще предпочитают иметь для аппроксимации более простые выражения, увеличивая при этом число интервалов разбиения исследуемой области. Порядок точности системы алгебраических уравнений при этом возрастает, но сами уравнения имеют более простой вид, и решение системы требует меньших затрат математических операций.

При решении краевых задач с переменными коэффициентами приходится аппроксимировать дифференциальные операторы, содержащие переменные коэффициенты. Для нахождения коэффициентов системы алгебраических уравнений наиболее часто используют консервативные разностные схемы, для которых оказываются справедливыми разностные аналоги физических законов.

Пусть краевая задача описывается одномерным уравнением с переменными коэффициентами и заданными граничными условиями:

Исследуемая область разбивается на N интервалов одинаковой величины, дифференциальный оператор аппроксимируют конечноразностным выражением, и дифференциальное уравнение заменяется системой трёхчленных алгебраических уравнений вида

54

коэффициенты которого надлежит определить. Для этого уравнение (3.19) записывают в виде

Исследования порядка аппроксимации дифференциального оператора показывают, что записанная схема обеспечивает второй порядок точности при выполнении следующих условий:

a ( x + hx ) − a ( x) = K ′( x) ; a ( x + hx ) + a ( x) = K ( x) ;

Это значит, что коэффициенты системы алгебраических уравнений рассчитываются как средние их значения на интервалах. Более высокая точность достигается, если коэффициенты системы алгебраических уравнений рассчитываются как среднеинтегральные значения (наилучшая схема). В этом случае решение разностного уравнения в узлах сетки практически совпадает с точным решением дифференциального уравнения в тех же точках [24, 25].

Конечно-разностные методы имеют прозрачный физический смысл и могут трактоваться как выражение определённых физических законов в конечном объёме пространства.

Известно, что уравнения в частных производных описывают процессы в цепных линиях. Следовательно, уравнению в частных произ-

55

водных можно поставить в соответствие определённую магнитную цепь, называемую магнитной схемой замещения. В этом случае решение краевой задачи можно свести к решению системы алгебраических уравнений, соответствующих магнитной схеме замещения электрической машины. Исходя из этих положений разработаны методы исследования электромагнитных процессов электрических машин на основе магнитных схем замещения, позволяющий получать те же результаты, что и при решении полевых задач [26].

Рассмотрим, например, уравнение (2.15) – первое уравнение Максвелла, записанное для неоднородной среды. Полагая, что решается плоскопараллельная задача, будем считать, что векторный потенциал и плотность стороннего тока имеют по одной составляющей A = jAy

и J ст = j J ст y . Магнитная индукция в этом случае будет иметь две со-

(2.15) для единственной составляющей векторного потенциала может быть записано в виде

Переходя к конечным разностям и выражая плотность стороннего тока через его величину на рассматриваемом i-м интервале разбиения пространственных координат, получим

го интервала.

Преобразуем полученное уравнение следующим образом:

56

или

В этих уравнениях: Fi – МДС, создаваемая сторонними токами на исследуемом i-м интервале; ∆ y – величина пространственного интервала по оси y ; ∆ Фx и ∆ Фz – приращения магнитных потоков по соответствующим координатным осям при протекании сторонних токов; Sx и Sz – поверхности, по которым протекают магнитные потоки ∆ Фx и ∆ Фz ; Rмz и Rмx – магнитные сопротивления соответст-

вующих участков магнитной цепи.

Уравнению (3.28) соответствует схема замещения, представленная на рис. 3.1. Таким образом, магнитная цепь электрической машины может быть представлена в виде совокупности магнитных сопротивлений, эквивалентных отдельным участкам этой цепи.

Рис. 3.1. Схема замещения магнитной цепи

57

Электромагнитные процессы магнитной цепи описываются уравнениями Кирхгофа для отдельных её участков, и решение полученной системы уравнений позволяет определить магнитные потоки и соответствующие индукции этих участков.

3.2. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ПРОГОНКИ

3.2.1. Простая прогонка

Для решения системы алгебраических уравнений, полученной в результате аппроксимации дифференциальных операторов, могут быть использованы различные методы. Однако на практике наиболее часто используются специальные методы решения, учитывающие структуру полученной системы. К таким методам относится рассматриваемый ниже метод прогонки [24, 27].

Положим, что в области [0, L] решается краевая задача с граничными условиями первого рода:

величиной ∆ x= L / N и дифференциальные операторы аппроксимируем конечно-разностными выражениями. В результате замены получим систему алгебраических уравнений

58

Преобразовывая уравнения системы, запишем их в виде

При χ1 = 0 и χ2 = 0 имеем граничные условия первого рода, при χ1 =1 и χ2 =1 – граничные условия второго рода, в противном слу-

чае – условия третьего рода. Таким образом, рассматриваемая краевая задача может быть записана следующим образом:

U0 = χ1U1 + µ1 , i = 0;

Указанная система является определённой, так как число неизвестных равно числу уравнений. Для её решения чаще всего используется разновидность метода Гаусса – метод прогонки. Рассмотрим идею этого способа. Положим, что решение системы можно записать в виде

коэффициенты которого αi +1 и βi +1 необходимо определить. Для точки i справедливо соотношение U i −1 = αiU i + βi . Подставляя это выражение в уравнение системы, получим

59

Аналогично, подставляя вместо U i выражение (3.35) и выполняя промежуточные преобразования, будем иметь

α ( α − ) + + ( α − )β + β = −

i+1 Ai i C i Bi U i+1 Ai i Ci i +1 Ai i f i . (3.38)

Это уравнение будет справедливо, если выполнены условия:

Полученные выражения носят название рекуррентных и позволяют, зная начальные значения величин αi и βi , рассчитать все после-

дующие. Выражения для начальных значений αi и βi можно найти, исходя из граничных условий (3.33). Дляi = 0 имеем, содной стороны,

U 0 = χ1U 1 + µ1 ,

а с другой, согласно (3.35), –

U 0 = α1U 1 + β1 .

Соотношения будут выполнены, если α1 = χ1 и β1 = µ1 . Таким об-

разом, при известных граничных условиях определяются прогоночные коэффициенты α1 , β1 , а затем αi и β i для i = 2, 3, ..., N −1 (пря-

мой ход). Величина искомой функции на последнем пространствен-

60