1329

с учётом граничных условий периодического типа

описывает в указанной области векторный магнитный потенциал. Для решения краевой задачи необходимо задание источников

поля – правой части дифференциального уравнения.

Плотность тока статора в правой части уравнения (7.23) – это плотность равномерно распределённого в зазоре тока проводников обмотки статора. Если считать, что в исследуемой области 0 ≤ φ≤ 2π

ток проводника сосредоточен в точке, то его плотность может быть записана как

где I (φ) и W (φ) – ток и число витков обмотки статора в функции пространственной координаты; φi – координата точки расположения проводника обмотки; δ(φ) – дельта-функция Дирака; δ′ – приведен-

ный воздушный зазор.

Поскольку значение дельта-функции неопределенно, то при использовании конечно-разностных методов плотность тока на каждом пространственном интервале может быть определена как среднее значение:

где Ii и Wi – ток и число проводников, принадлежащих i-му интер-

валу разбиения пространственной координаты. В полученном выражении учтены свойства дельта-функции.

Следовательно, при известной схеме статорной обмотки (пространственном расположении проводников с током), заданной величине токов и числе витков в фазе обмотки плотность стороннего тока может быть рассчитана по выражению (7.26).

181

Краевая задача, описываемая уравнением (7.23), периодическими краевыми условиями (7.24) с источниками магнитного поля (7.26) решается конечно-разностным способом с использованием циклической прогонки (см. часть I, подразд. 3.2.2). Рассчитав значения векторного потенциала, можно определить величины составляющих магнитной индукции в зазоре двигателя, ярме статора и ротора, используя приведённые выше соотношения.

Если плотность стороннего тока представлена в виде бегущей волны:

комплексная амплитуда плотности тока, то краевая задача может быть решена аналитически. В этом случае векторный потенциал также представляет бегущую волну:

Подставляя это выражение в уравнение (7.23) и выполняя преобразования, получим для комплексной амплитуды векторного потенциала следующее решение:

Комплексная амплитуда магнитной индукции в воздушном зазоре двигателя, согласно (7.15)

182

Ниже приводится пример решения краевой задачи численным и аналитическим методами.

Пример 7.2. Аналитический и численный расчёт магнитного поля трёхфазного асинхронного двигателя в режиме холостого хода. Рассчитать магнитное поле (огибающие радиальной и тангенциальной составляющих магнитной индукции) трёхфазного асинхронного двигателя в режиме идеального холостого хода со следующими параметрами:

–число пар полюсов р = 1;

–полюсное деление τ = 0,0942 м;

–воздушный зазор δ = 0,0005 м;

–высота ярма статора hS = 0,006 м;

–высота ярма ротора hR = 0,004 м;

–магнитная проницаемость материала ярма статора и ротора

µ= 1000 µ0;

–фазный ток обмоток I = 1 А;

–число витков в катушке Wк = 100;

–схема обмотки: а) однослойная

Расчёты магнитного поля произвести для однослойной и двухслойной обмоток.

Сравнить результаты моделирования с аналитическим решением при задании токовой нагрузки в виде бегущей волны.

Решение. Магнитное поле машины в одномерном приближении описывается дифференциальным уравнением (7.23) с периодическими краевыми условиями, где величина q определена выражением

(7.22).

183

Для решения краевой задачи исследуемая область [0, 2π] разбивается на N =120 интервалов величиной

Комплексная амплитуда плотности равномерно распределённого по высоте зазора тока статора записывается в виде

где i – номер интервала разбиения пространственной координаты. Коэффициент

Дифференциальный оператор уравнения магнитного поля аппроксимируется конечно-разностным выражением, и краевая задача сводится при этом к системе трёхчленных алгебраических уравнений, решаемых методом циклической прогонки.

Система алгебраических уравнений записывается в виде

184

При задании токовой нагрузки по отдельным интервалам следует учесть, что система токов статора является трёхфазной и поэтому токи должны быть записаны в комплексной форме. Ком-

плексы фазных токов двигателя: I A =1,0 A ; IB = (−0,5 − j 0,866) A; IC = (−0,5 + j 0,866) A , а их пространственное распределение со-

ответствует схеме обмотки двигателя.

Решая систему алгебраических уравнений методом циклической прогонки, можно определить значения векторного потенциала во всех точках исследуемой области. В результате расчета значений векторного потенциала определяются комплексы магнитной индукции в зазоре, ярме статора и ротора двигателя по выражениям (7.30) и (7.31). Величины составляющих магнитной индукции находятся как модули соответствующих комплексов.

Для численного решения использована программа, реализованная в пакете MATLAB:

n=120; p=1; del=5.0e-4; tau=0.0942; hs=6.0e-3; hr=4.0e-3; pr0=4.*pi*1.0e-7; prs=1000.0; prr=1000.0; tok=1.0; wk=10.0; h=2.*pi/n; r0=p*tau/pi; r1=(hs+del)/(2.*r0); d1=r0*h; d2=d1*d1; r2=(hr+del)/(2.*r0); r3=(1.+r1)/(prs*del*hs); r4=(1.-r2)/(prr*del*hr); q=r3+r4; ta=1.; tb=tok*(-0.5-0.866i); tc=tok*(-0.5+0.866i);

f(1:20)=ta; f(21:40)=-tc; f(41:60)=tb; f(61:80)=-ta; f(81:100)=tc; f(101:120)=-tb; a(1:n)=1.; b(1:n)=1.; c(1:n)=2.0+q*d2; ft(1:n)=1.4142*f(j)*wk*d1*pr0/del; alf(1)=0.; bet(1)=0.; gam(1)=1.;

for j=1:n

d3=c(j)-a(j)*alf(j); alf(j+1)=b(j)/d3; bet(j+1)=(ft(j)+a(j)*bet(j))/d3; gam(j+1)=a(j)*gam(j)/d3;

end

u(n-1)=bet(n); v(n-1)=alf(n)+gam(n); for j=2:n-1

k=n-j; u(k)=alf(k+1)*u(k+1)+bet(k+1); v(k)=alf(k+1)*v(k+1)+gam(k+1); end

d5=bet(n+1)+alf(n+1)*u(1); d6=1.-alf(n+1)*v(1)-gam(n+1); y(n)=d5/d6; y(1:n-1)=u(1:n-1)+y(n)*v(1:n-1);

br(1)=(y(2)-y(n))/(2.*h*r0); br(n)=(y(1)-y(n-1))/(2.*h*r0); for j=2:n-1

br(j)=(y(j+1)-y(j-1))/(2.*h*r0);

185

end

for j=1:n

bf(j)=y(j)/hs; brs(j)=abs(br(j)); bfs(j)=abs(bf(j)); js(j)=j; ss(j)=0.; end

disp(abs(bf)); plot(js,bfs,js,ss)

Если обмотку статора выполнить двухслойной с укорочением, то амплитуды высших пространственных гармоник уменьшаются

иформа МДС приближается к синусоиде. Программа расчёта магнитного поля при этом остаётся прежней, за исключением числа витков в катушке, которое уменьшается в 2 раза, и пространственного распределения токовой нагрузки статора, принятого в соответствии с двухслойной схемой.

Результаты численного решения задачи для машины с однослойной обмоткой представлены в табл. 7.1 и 7.2, а распределение радиальной и тангенциальной составляющих магнитной индукции в воздушном зазоре и ярме статора – на рис. 7.5. Аналогичные результаты для машины с двухслойной обмоткой представлены в табл. 7.3 и 7.4

ина рис. 7.6.

Таблица 7 . 1

Распределение радиальной составляющей магнитной индукции в зазоре двигателя для однослойной обмотки (огибающая значений)

Далее значения функции повторяются.

186

Таблица 7 . 2

Распределение тангенциальной составляющей магнитной индукции в ярме статора для однослойной обмотки (огибающая значений)

Далее значения функции повторяются.

Рис. 7.5. Распределение радиальной ВR (1)

и тангенциальной Вφ (2) составляющих магнитной индукции для машины с однослойной обмоткой

187

Таблица 7 . 3

Распределение радиальной составляющей магнитной индукции в зазоре двигателя для двухслойной обмотки (огибающая значений)

Далее значения повторяются.

Рис. 7.6. Распределение радиальной ВR (1)

и тангенциальной Вφ (2) составляющих магнитной индукции для машины с двухслойной обмоткой

188

Таблица 7 . 4

Распределение тангенциальной составляющей магнитной индукции в ярме статора для двухслойной обмотки (огибающая значений)

Далее значения повторяются.

Характер распределения магнитной индукции в воздушном зазоре двигателя с двухслойной обмоткой статора наглядно свидетельствует об уменьшении амплитуды высших пространственных гармоник МДС.

При задании токовой нагрузки в виде бегущей волны возможно аналитическое решение задачи, записываемое в виде (7.29):

Амплитуда плотности стороннего тока в этом случае рассчитывается через значения линейной токовой нагрузки:

189

В этих выражениях m – число фаз; Wф – число витков фазной обмотки; Kоб – обмоточный коэффициент для первой гармоники; I – фазный токстатора.

Амплитуда векторного потенциала

Амплитуда радиальной составляющей магнитной индукции в воздушномзазоредвигателя

B R = αA = 33,35 0,011214 = 0,374 Тл.

Амплитуда тангенциальной составляющей магнитной индукции в ярме статора

Сравнение результатов моделирования и аналитического решения свидетельствуют о близости их значений.

Используя данные примера, проанализируем влияние насыщения магнитопровода статора и ротора на величину магнитного поля двигателя в режиме идеального холостого хода. При насыщении магнитопровода величину относительной магнитной проницаемости материала ярма статора и ротора примем: µ я.с = µ я.р = 250 µ0 .

Коэффициент q в этом случае составит

− 0,004 + 0,0005

1 + 2 0,03 = 3327,8 м−2 .

250 0,004 0,0005

190