1329

6.2. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД БУБНОВА–ГАЛЁРКИНА (МЕТОД ГАЛЁРКИНА)

Рассмотрим решение краевой задачи (6.15) методом Галёркина, используя вышепринятые положения. Будем считать, что решение краевой задачи представлено в виде разложения (6.17) с коэффициентами (6.18). В этом случае для отдельного интервала xi −1 ≤ x≤ xi +1

решение записывается как (6.20), а коэффициенты разложения для указанного интервала – по формулам (6.21)–(6.23).

Согласно рассматриваемому методу, умножим уравнение краевой задачи скалярно на ω i (x) и получим

Рассматривая краевую задачу на отдельных интервалах, уравнение (6.37) с учётом (6.38) записываем в виде суммы отдельных составляющих для каждого интервала:

Выполним интегрирование для отдельных компонентов полученного выражения:

141

142

Подставляя полученные для отдельных интегралов выражения (6.43), (6.47) и (6.48) в уравнение (6.39), группируя коэффициенты

при неизвестных ui −1,ui,ui+1 , получим уравнение (6.31) с такими же коэффициентами.

143

Этот вывод не является случайным. В работах по численным методам математики [34] показано, что методы Ритцаи Галёркина сиспользованием финитных носителей приводят к одинаковым уравнениям в случае самосопряжённых операторов. Однако метод Галёркина имеет более широкую область применения, так как может применяться для решения каксамосопряжённых, такинесамосопряжённыхкраевыхзадач.

Определение коэффициентов алгебраических уравнений связано с вычислением определённых интегралов. При известных функциях p(x), q(x), f (x) эти интегралы могут быть вычислены приближён-

ными методами с помощью квадратурных формул. Если функции отличаются гладкостью, то при вычислении интегралов их можно заменить средним на интервале значением, после чего вычисление интегралов трудностей не вызывает. Например:

xi

∫p(x)dx ≈ pi−0,5 ( xi− xi−1) ;

xi−1

6.3. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Вариационно-разностные методы (Ритца) и проекционноразностные (Бубнова– Галёркина), реализуемые методами вариационного исчисления, объединены под общим названием «метод конечных элементов».

144

Методы конечных элементов получили широкое распространение вначале для решения полевых задач строительной механики, а в последние годы и для решения задач электродинамики [35, 36].

Достоинством метода при решении многомерных краевых задач является возможность более точного учёта граничных условий, особенно в том случае, если граница имеет вид сложной пространственной кривой, а также возможность уменьшения порядка системы алгебраических уравнений, получаемой при аппроксимации уравнений краевой задачи. Недостатком метода является большой объём и сложность реализации подготовительных операций.

В основе метода, применительно к решению двумерных краевых задач, лежит следующее положение.

Известно, что равновесная система в любой момент времени находится в таком состоянии, которое соответствует минимуму энергии. Если энергетическое состояние системы описать энергетическим функционалом, то решение краевой задачи может быть сведено к поиску минимума этого функционала.

Положим, что магнитное поле в исследуемой области описывается уравнением Максвелла rot H = Jст .

Тогда энергия магнитного поля в указанной области будет состоять из двух компонент:

а) энергии самого магнитного поля, определяемой величиной напряжённости магнитного поля,

где A – векторный потенциал магнитного поля.

В этом случае энергетический функционал, характеризующий суммарную энергию магнитного поля,

145

Решение краевой задачи методами конечных элементов производится в следующей последовательности:

1.Исследуемая область разбивается на конечное число подобластей, называемых конечными элементами. Форма конечного элемента может быть выбрана произвольной, однако на практике наиболее часто используются элементы треугольной формы. Операция разбиения исследуемой области на конечные элементы носит название

триангуляции.

2.Искомая функция на каждом элементе и, следовательно, во всей области аппроксимируется пробной функцией специального вида с неопределёнными коэффициентами, значения которых необходимо определитьв ходерешения задачи.

3.Принятая аппроксимация подставляется в выражение энергетического функционала.

4.Производится минимизация энергетического функционала путём дифференцирования выражения функционала по неизвестным коэффициентам пробной функции и приравнивания полученного выражения нулю. В результате для каждого конечного элемента получается система алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов аппроксимации.

5.Путем решения системы алгебраических уравнений для всех элементов исследуемой области рассчитываются коэффициенты аппроксимирующей функции и значения искомой функции для всех конечных элементов исследуемой области.

Рассмотрим эти операции более подробно.

Положим, что векторный потенциал конечного элемента является линейной функцией пространственных координат и описан следующей зависимостью:

коэффициенты которой являются функциями координат вершин (узлов) конечного элемента. Поскольку эта зависимость справедлива

146

для всех точек, принадлежащих данному элементу, она может быть записана и для узлов этого элемента l, m, n :

Полученная система позволяет выразить неизвестные коэффициенты через значения векторного потенциала в узлах. Для этого необходимо решить полученную систему относительно коэффициентов

отлична от нуля. В силу этого решение системы всегда имеет место.

147

Обозначим коэффициенты при векторных потенциалах в выра-

жениях (6.58)– (6.60):

Подставив эти выражения в соответствующие определители, решим систему (6.56):

Тогда выражение векторного потенциала (6.52) в функции пространственных координат записывается в виде

Рассмотрим далее энергетический функционал, соответствующий уравнению магнитного поля − уравнению Пуассона в прямоугольной области

при нулевых граничных условиях.

148

Магнитная индукция в исследуемой области может быть выражена через векторный потенциал в виде

Для нахождения минимума функционала необходимо приравнять нулю его производные по значениям векторного потенциала в узлах конечного элемента.

Рассмотрим отдельные составляющие этого выражения. Из выражения (6.67) следует:

149