2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТВЕРДОТОПЛИВНОЙ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ РАКЕТЫ

2.1. Предварительные замечания

Для определения проектных параметров ракет с РДТТ как в детерминированной, так и в стохастической постановках, используется одна из распространенных математических моделей РДТТ и ракеты с последовательным порядком следования ступеней [8, 20, 36]. Математическая модель РДТТ описывает основные стороны сущности двигателя: энергетическую, весовую, геометрическую и параметрическую - с учетом ограничений по диаметру ДУ в соответствии с представлениями заказчика.

Используемая математическая модель РДТТ и ракеты позволяет определять по принятым методикам [2, 3, 14, 15, 28, 31, 35, 37 и др.] основные проектно-баллистические параметры ракеты (параметрическая сторона сущности ракеты), соответствующие как полученным в результате проектирования параметрам РДТТ, так и условиям применения ракеты (дальность полета или вероятность попадания ПГ в заданный диапазон дальностей, программа движения на АУТ, начальные условия на старте и т.п.).

В качестве независимых искомых проектных параметров / - й РДТТ, 7 = 1, 2, ..., р , приняты:

•продолжительность работы ij;

•массовый секундный расход ТТ ihj;

•давление газов в ДУ р^\

•давление газов на срезе соплового блока рщ.

Кроме того, предусмотрена возможность параметрической оптимизации программы тангажа заданного функционального вида.

Предполагается, что вероятностная модель РДТТ и ракеты в своей основе имеет нормальный закон [11, 17, 19], причем все параметры и прочие характеристики реализуются в пределах «к сигма» (к принято равным 3) от их номинальных значений, что достаточно корректно отражает реальную действительность. Тем не менее возможны и другие вероятностные законы, полученные статистической обработкой реальных объектов.

Оптимизация параметров ракеты, включая параметры РДТТ, может производиться как в соответствии с алгоритмом, использующим метод неопределенных множителей Лагранжа [21] с уточнением таблично заданных потерь конечной скорости ракеты реально реализуемыми на АУТ [48-53], так и метод направленного поиска [17, 19], использующий всю информацию по характеристикам АУТ и ПУТ с привлечением сопряженной системы уравнений для определения численных значений гамильтониана в каждой точке АУТ. Это позволяет учитывать существенные ограничения по стартовой массе ракеты, по длине ракеты на старте и т.п.

В настоящем разделе приведены подробные описания математических моделей перечисленных выше основных сторон РДТТ.

2.2. Определение энергетических характеристик РДТТ

Реально протекающие физико-химические, газодинамические, тепловые и прочие процессы в ДУ на ТТ имеют в общем случае чрезвычайно сложный характер. Однако для обеспечения нормального функционирования алгоритма и компьютерной программы баллистического проектирования ДУ с учетом особенностей применения ракеты достаточно привлечь сравнительно несложные и доступные для понимания непрофессиональными специалистами зависимости. Эти зависимости с достаточной степенью точности моделируют основные фундаментальные связи искомых проектных параметров с выходными характеристиками ДУ. Для ДУ на ТТ одним из широко распространенных вариантов такого рода зависимостей можно считать рекомендуемые, в основном отечественной литературой [2, 3, 14, 15, 35, 37], зависимости, составляющие основу математической модели расчета выходных характеристик в функции искомых параметров.

Всоответствии с математической моделью последовательно определяются:

•численное значение газодинамической функции

W i n + w r ' , ^ i )

•максимальное теоретическое значение единичного импульса в пустоте

2п

g Q( n - \ ) R J Q’

•коэффициент расхода топлива

т . аЛ = т »

•суммарная площадь критического сечения соплового блока

площадь критического сечения одного из тссимметричных одинаковых сопл

с

•относительное давление газов в ДУ

•диаметр критического сечения для односопловой схемы

•диаметр выходного сечения для односопловой схемы

da= ¥ ^ \

•площадь выходного сечения для односопловой схемы

5 „ = а ^ 2;

•коэффициент

Примечание. Если Sa > SMKSM, тор определяется из уравнения (2.2), где

при этом из (2.1) определяется давление газов рав выходном сечении соплового блока ДУ;

- единичный пустотный импульс ДУ

коэффициент заполненияу-й ДУ топливом

®цилу = l-(dK/Dj)2;

скорость горения топливау-й ДУ (скорость изменения толщины свода заряда ТТу'-й ДУ)

uj ~ 0,5(DjdKj)hj

суммарный объем эллиптических днищу-й ДУ (при соотношении осей эллипсоида

1:2)

КЭШ1д„; = 0,1308996^; объемы переднего и заднего днищ эллиптической формыу-й ДУ

объем топлива, размещаемого в переднем днищеу-й ДУ ^тпду = ^пд/Ктпду;

объем топлива, размещаемого в заднем днищеу-й ДУ

Утзду = VinjKivu',

масса топлива, размещаемого в переднем днищеу-й ДУ

пду — Уг m/Yr/f

масса топлива, размещаемого в заднем днищеу-й ДУ

зду " ^тздУУх/» масса топлива, размещаемого в цилиндрической частиу-й ДУ

ттцил у “ ютпду" ГПТ зд/,

относительная длина цилиндрической частиу-й ДУ

^ цилj ~~ цилj/(n D уУjj Эецил j)t

длина цилиндрической частиу-й ДУ

^ЦИЛУ = / ц и л / Р »

суммарная длина зарядау-й ДУ

Uj ~~^цилу /пдУ ^зду

относительная суммарная длина зарядау-й ДУ

i = hJDj\

расчетное давление газов ву-й ДУ

Рк расчу Фзап.прj Тразбр ду[ 1 + A f(d/?/df)//?]/pKy5

масса конструкционного запаса на конкретное конструирование дляу'-й ДУ формируется через относительный коэффициент

Ктк запj = COnSty;

масса конструкции переднего и заднего дншцу-й ДУ

Я*пду ~ /Изду (0,5/днуУднjpK расч у/5днj ) -^/як зал./»

масса конструкции обечайкиу-й ДУ

mJ “ ^урк расчуС 1mdnjlD j)/(2«уЯэффу);

В приведенных зависимостях

^стержнj ^стрингу ~~ ►экву*

Расчетная масса переходного отсека имеет вид:

ГПп отсу ^мат отсуУперу>

массаj - й ступени ракеты