5.2.Формирование случайной реализации ракеты
Предполагается, что все номинальные значения (математические ожидания) случайных величин и относительные допуски на эти случайные величины заданы. В частном случае формируется номинальный вариант ракеты с номинальными условиями ее движения на АУТ. В режиме определения проектно-конструкторских частных производных параметров ракеты (подраздел 2.10.7) возможно формирование знакопеременных приращений каждого из исследуемых параметров.
Характеристики/ни ДУ при /-м статиспытании определяются из зависимостей
ч |
+ < ' ) |
; |
(5.1) |
|
|||
|
|
|
(5.2) |
_ »мН0МV1 . |
|
(5.3) |
|
m j j ~ ~ m t J &m,j > |
|
||
_ |
w HOM J y T i |
|
(5.4) |
m rm J “ ^ т з п J ^ r m J * |
|
||
|
|
||
_ |
„.HOM rr/ |
|
(5.5) |
m c y x / - mcvxJKm„j’ |
|
||
|
|
|
(5.6) |
K uJ= mL j/* 'r |
|
(5.7) |
|
Начальные массы 1-, 2-, 3- й ,... субракет определяются из зависимостей: |
|
||
|
|
|
(5,8) |
т02 =mr2+mL 2 +m'cyx2+ml>l; |
|
(5'9) |
|
т0) = т тЗ + тттЗ+ ту*3 + т02> |
|
(5Л0) |
|
Естественно, если ракета:
1- ступенчатая - привлекается зависимость (5.8);
2- ступенчатая - привлекаются зависимости (5.8) и (5.9); 3- ступенчатая - привлекаются зависимости (5.8), (5.9) и (5.10) и т.д. дор-ступенчатой
ракеты (р £ 10).
В рамках номинального «пуска» (реализация ракеты, внешних условий и траектории полета не носят случайного характера) время работы последней (верхней) ДУ принимается равным
ном |
т |
—т r / W T Р > |
раб р |
vnoлнр |
' г |
т.е. предварительно назначенный ГЗТ на последней (верхней) ДУ в момент конца АУТ остается на борту ракеты.
Формирование |
случайной |
реализации |
атмосферы |
р[ (h), pj,(h), 7JJ (Л), |
горизонтального попутного (или встречного) ветра и/^ДЛ), аэродинамических и
центровочных характеристик ракеты C'(M,/z), С*\М), Сд(М), С Д р), при z-м испытании
производится через коэффициенты:
= |
~ * (Рл» Рл> |
» С д, C j)» |
* ; = < У , |
|
|
формируемые датчиком псевдослучайных чисел, описываемым ниже. В приведенных выражениях (5.1)-(5.7) коэффициенты имеют вид:
К |
= !+ * ;% ■ |
<4 -►(* tл - |
*1, = A ^ '^ 'sig n fe ^ ), |
-> К , ^ пу); |
|
; = |
1,2 |
|
где A™', А™' - относительные допуски на случайные характеристики (индекс «а»
относит величину к случайным, не зависящим от начальной температуры топливного заряда Г3, характеристикам; индекс «Ъ» - к случайным, зависящим от Г3, характеристикам);
С 54 ’ 4 4 ” случайные числа с нормальным законом распределения, лежащие
в пределах ±3.
Предельный горизонтальный ветер определяется согласно принятым в практике параметрического проектирования ракет рекомендациям, [например 48, с. 169].
Необходимо заметить, что несимметричность допуска на характеристики ДУ Aт*т] и
АУ'дпj J = 1, 2, ..., р , вызванная асимметрией предельных значений температуры боевого
применения нетермостатируемых ракет |
= ±50°С (рис. 5.1) относительно |
номинального значения Г3Н0М = +20°С, учтена в линейной форме при построении
рассматриваемого алгоритма формирования z-ro «испытания» (рис. 5.1):
Рис. 5.1. К определению характеристик ДУ в зависимости от Г3
5.3.Определение основных вероятностных характеристик ракет
Впроцессе оценки некоторых вероятностных характеристик ракеты (например, рассеивания точек падения ПГ, назначения уточненных ГЗТ и т.д.) путем исследования полученных при детерминированном параметрическом проектировании параметров ракеты, а также при собственно стохастическом параметрическом проектировании ракет, возникает необходимость организации процесса статистических испытаний на ЭВМ. При этом предполагается, что предшествующие расчеты сформировали все номинальные характеристики ДУ и ракеты, в том числе известны и относительные допуски на все определяющие параметры, имеющие стохастический характер (запасы топлива, пустотный единичный импульс ДУ, начальные температуры зарядов и т.п.). В основе способа Формирования конкретных случайных реализаций характеристик лежит «плавило
ксигма», где к принято равным 3. В рассматриваемой постановке все ДУ работают до момента выгорания всех запасов топлива. Исключением является последняя (верхняя) ДУ, где в соответствии с принятым функционалом управления (отсечка ДУ по заданному времени АУТ; по заданной конечной скорости; по назначенной дальности; по заданной псевдоскорости и т.д.) может остаться неиспользованное топливо. Схема формирования
конкретной реализации ракеты определяется зависимостями (5.1) - (5.10) подраздела 5.2. В указанных условиях применимы формулы теории вероятностей [11],
реализованные, например, в подразделе 2.10.6.
Кроме статистических МО и СКО одной величины, например конечной скорости VK, возможно определение одновременно статистических МО и СКО неограниченного количества других интересующих проектантов величин вероятностного характера (например, запасов топлива каждой ДУ, продолжительности работы каждой ДУ и т.п.).
Одновременно алгоритм реализует и чисто статистические возможности анализа - подсчитывается количество попаданий, например, конечной скорости VK в заданный диапазон. Полученная при этом частота события p*(VKmin < VK< VKmax) при достаточно большом числе статиспытаний z может быть использована в качестве чисто статистического вероятностного критерия оптимизации вместо принятого критерия математического
вероятностного характераp(VKmjn <VK< FKmax).
Сказанное не исключает возможности проверки справедливости допущения о подчиненности композиции исходных нормальных законов полученному нормальному закону распределения оптимизируемой величины [11].
Необходимо заметить, что при достаточно большом z, когда влияние любой отдельно взятой реализации случайной величины на значение ее МО и СКО исчезающе мало, необходимость в повторяемости наборов случайных чисел отпадает.
При конкретной реализации алгоритма по завершении (или в процессе проведения) заданного количества статиспытаний z в обязательном порядке рассчитываются:
-вероятность попадания в заданный диапазон к о н е ч н ы х скоростей —p(VKmbSVK< VKmax) при проектировании УБР или PH
v(V , <V <V |
dVKi |
(5.11) |
r \ r кmin — r к ~~ кi x ) = |
^2пОу' |
|
ty *
где mv « mv = —------статистическое среднее конечной скорости, при достаточно * r z
большом числе статиспытаний z приближенно равное математическому ожиданию конечной скорости;
1 |
(И--»„,)* |
(Jг/ ® C5jr |
- статистическое среднее квадратическое |
Or.“ \ |
|
отклонение конечной скорости, при большом числе статиспытаний z, приближенно равное математическому среднему квадратическому отклонению конечной скорости;
-частота попадания ПГ заданный диапазон конечных скоростей - р (FKmjn < VK<KKmax) при проектировании УБР или PH
p'(K mini v llz v tmj = ^ , |
(5.12) |
Z
где пук - количество точек попадания ПГ в заданный диапазон; z - объем статиспытаний;
-вероятность попадания ПГ в заданный диапазон дальностей p(Lmjn < L < Z,max) - при проектировании УБР
|
(■L-mL)г |
|
M A nin - L “ Anax) “ |
1 |
(5.13) |
dL, |
||
|
yj2KG2L Anin |
|
. i |
1- |
где mL«mL=—------ статистическое среднее дальности, при достаточно большом |
|
|
z |
числе статиспытаний z приближенно равное математическому ожиданию |
|
дальности; |
|
с, «о, = |
Z ( Li - wi )2 |
- статистическое среднее квадратическое отклонение |
|
дальности, при большом числе статиспытаний z приближенно равное математическому среднему квадратическому отклонению дальности; - частота попадания ПГ в заданный диапазон дальностей р (Lmin < L < Z,ma*)
при проектировании УБР
Р (Anin |
z |
(5.14) |
|
|
где nL - количество точек попадания ПГ в заданный диапазон; z - объем статиспытаний.
В отношении вероятностей (5.11), (5.13) необходимо заметить следующее. В процессе проведения расчетов при стохастическом параметрическом проектировании неоднократно возникает необходимость определения вероятности попадания случайной величины с нормальным законом распределения на заранее заданный участок. Такой участок в частном случае может быть симметричным относительно МО анализируемой случайной величины. Эта задача может быть решена следующим образом.
Известна зависимость вероятности попадания случайной нормально распределенной величины на симметричный относительно МО участок [11]. Соответствующий график зависимости плотности распределения нормального закона распределения случайной
с точностью 0,00005 в диапазоне значений 2,9 < х < 4,0; зависимость (5.19) при реализации на ЭВМ имеет вид:
|
д |
р ( х ) = \ -0 ,7 9 7 8 8 4 5 3 •ef*2/2 |
(5.20) |
|
/ |
В качестве критерия оптимизации в процессе параметрического проектирования ракеты принимается одна из полученных таким образом четырех характеристик. Примечательно, что такой подход предоставляет весьма широкое поле для исследований, особенно в расчете на вычислительную технику с большим быстродействием.
Предполагается возможность имитации функционала управления дальностью, например, с прекращением работы ДУ последней ступени по достижении заданного момента времени. При этом необходимо заметить, что предварительное исследование результатов расчетов не показало возможности существенного влияния усложнения алгоритма в части привлечения функционалов управления дальностью на результаты параметрического проектирования. Однако полная гарантия справедливости этого утверждения может быть дана только после серии заранее спланированных исследований на ЭВМ, желательно для конкретно проектируемых ракет различного назначения.
Относительно датчика псевдослучайных чисел необходимо заметить следующее: приближение к нормально рапределенной случайной величине Y можно найти из известной последовательности равномерно распределенных чисел, используя зависимость
[22]:
£ х , - К / 2
Y —Jz1________ |
(5.21) |
■4К!12 |
|
где Х\- равномерно распределенное случайное число, 0 < Х(< 1; К - количество используемых значений Х&
Y- число, которое приближается к истинному нормальному распределению ассимптотически по мере того, как К стремится к бесконечности.
В целях сокращения рабочего времени ЭВМ для предлагаемого варианта программы принято К = 12. В этом случае (5.21) имеет вид:
Y ^ X , - 6,0;
/-1
Y' =YS + A,
где Y - искомое нормально распределенное число;
S ~ заданное среднее квадратическое отклонение (СКО); А - заданное математическое ожидание (МО).
Известно, что формирование случайных величин в целях проведения различного рода исследований (статистических испытаний, стохастической оптимизации технических объектов и др.) предполагает наличие алгоритма получения псевдослучайных чисел. Далеко не всегда генераторы случайных, например нормально распределенных, чисел обеспечивают 100%-ное совпадение реализуемых частот с вероятностями даже в классических 8 диапазонах СКО (±4сг, ±3а, ±2о, ±1а) (см. табл.1). Используемый на практике описанный выше генератор псевдослучайных чисел дает несовпадение до 100 % математических вероятностей с частотами попадания в диапазоны 1-8 или 1-40 в
отдельные из них (расчеты проводились для количества псевдослучайных чисел от 1000 до 100 000). Это далеко не всегда приемлемо для использования в расчетах.
Так, результаты поверочных расчетов для количества опытов п = 1000, и = 10 000 и л = 100 000 для сетки s = 8, выполненные с помощью специально созданной программы, показали, что разбросы отклонений опытной частоты от теоретической вероятности в отдельные диапазоны для количества опытов л:
п= Ю00 - от я -8,1 % до » +14,3 %;
л= 10 000 от « -60 % до * +90 %;
л = 100 000 - от » -1 % до « +4,1 %.
Аналогичные расчеты для сетки ^=40 дали диапазон разбросов отклонений опытной частоты от теоретической вероятности в отдельные диапазоны для количества опытов л:
л = 1000 - от * -100 % до « +50 %; л = 10 000 - от « -40 % до « +40 %; л = 100 000 - от » -37 % до » +14 %.
Для равномерно распределенной случайной величины проблемы не исчезают.
Более точное формирование совокупности случайных чисел можно получить дроблением всего конкретного максимального диапазона ±4ст на заданное Количество в простейшем случае равных частей (например, 40) с известной вероятностью попадания в каждую из них для реализуемого закона распределения (нормального или равномерного).
Очевидно, что 8 - минимальное количество одинаковых диапазонов размером с СКО (<т). Каждый из этих диапазонов можно делить на произвольное, например равное количество частей (табл. 5.1):
Относительно небольшое количество обращений к генератору псевдослучайных чисел (порядка 1000), гарантирующее полный перебор неповторяющихся чисел в течение одного такого цикла, обеспечивается без округлений только 2 вариантами - 1-м и 5-м (выделены жирным шрифтом в табл. 5.1). Исходные значения вероятностей [2] для принятых за базовые диапазоны приведены в табл. 5.2, 5.3.
|
|
|
Таблица 5.1 |
Результаты расчетов для назначения базовых параметров |
|||
|
генератора псевдослучайных чисел |
|
|
Количество частей, |
Общее количество |
Число базовых значений |
Шаг |
на которое делится одно |
диапазонов на участке |
нормальной функции |
по аргументу |
СКО |
±4ст |
распределения |
X |
1 |
8 |
9 |
0,125 |
2 |
16 |
17 |
0,0625 |
3 |
24 |
25 |
0,4166666... |
4 |
32 |
33 |
0,03125 |
5 |
40 |
41 |
0,025 |
6 |
48 |
47 |
0,0208333... |
7 |
56 |
57 |
0,017857142 |
8 |
64 |
65 |
0,015625 |
9 |
72 |
73 |
0,0138888... |
10 |
80 |
81 |
0,0125 |
...
Рис. 5.4. Графическое представление результатов табл. 5.3
Предполагается, что каждой тысячной доле вероятности соответствует одно случайное число в процессе одного цикла при работе датчика псевдослучайных чисел. Порядок перебора диапазонов может быть произвольным при условии гарантированного попадания заданное число раз в каждый диапазон при одном цикле. Количество циклов не ограничено. Неповторяемость случайных чисел обеспечивается применением генератора случайных чисел, например, rand - специальной функции языка Си, или заданием по какому-либо алгоритму каждый раз нового числа, меньшего (сттах j - a min j); это число, суммируясь с одним из пределов диапазонов с гарантией нахождения результата внутри диапазона, дает конкретное псевдослучайное число.
Генератор позволяет получить в рамках допусков на случайный параметр и
равномерный закон распределения случайной величины. Для этого достаточно положить вероятности попадания в диапазоны равными друг другу (т.е. одинаковые количества случайных чисел по диапазонам); в табл. 5.2 эти вероятности равны 0,125; в табл. 5.3 - 0,025. Один цикл обеспечивают 1000 псевдослучайных чисел. При этом появляется возможность оценки влияния вида законов распределения на результаты исследований сложных технических систем (в частности, многоступенчатых параметрических ракет) в условиях формирования композиций результирующих законов распределения. Предполагается замена допусков на случайные параметры заданным количеством СКО
(обычно от ±3а до ±4а).
Разработанный генератор псевдослучайных чисел используется, в частности, при организации процесса стохастического параметрического проектирования РДТТ в составе ракеты и при проведении поверочных статистических испытаний для оценки параметров рассеивания точек падения головной части спроектированной ракеты в условиях различных функционалов управления дальностью.
5.4.Метод неопределенных множителей Лагранжа
вусловиях поиска оптимальных параметров
Внастоящее время имеется обширная литература, посвященная проблеме оптимизации режимов полета и проектных параметров составных баллистических ракет в детерминированной постановке. Имеющая в действительности место стохастическая природа этой проблемы учитывается в гораздо меньшем количестве работ. В направлении развития общих методов решения задач с элементами вероятностного характера ведется большая и трудоемкая научно-исследовательская работа как отечественными, так и зарубежными инженерами и учеными. Одним из таких практических шагов является решение рассматриваемой выше задачи в стохастической постановке, что стало возможным благодаря, в частности, развитию теории оптимального осреднения управлений [17,18,19].
Программа движения и основные проектные параметры ракеты (распределение масс по ступеням, характеристики двигательных установок, характеристики автомата управления дальностью (АУД) и т.п.) обычно выбираются из номинальных условий их функционирования. В качестве последних берутся средние значения (математические ожидания) определяющих функций и параметров. Получающаяся при этом детерминированная модель, рассматриваемая выше, позволяет получить оптимальные в желаемом смысле номинальные характеристики ракеты.
Вреальной же действительности все величины, определяющие в конечном итоге дальность полета полезного груза или его конечную скорость, реализуются в пределах определенных допусков. Наличие последних приводит к тому, что двигательные установки, твердотопливные заряды, элементы конструкции, внутрибаллистические параметры двигателей и т.п. одного и того же чертежа и расчета не будут совпадать. Это,
всвою очередь, определяет случайный характер реализации АУТ, усиливаемый случайными возмущениями атмосферы (ветер, температура, плотность, давление).
Применение средств уменьшения влияния случайных факторов на траекторию в виде систем регулирования кажущейся скорости, АУД и др. позволяют частично компенсировать это влияние, но не свести его к нулю. Кроме того, может оказаться, что найденным таким образом оптимальным номинальным характеристикам ракеты соответствует высокий уровень рассеивания по дальности полета или по конечной скорости, вызванный случайным характером всех действительных характеристик.
Это приводит к необходимости исправления полученных номинальных характеристик, причем эта задача решается приближенно, на основе частных рекомендаций эвристического характера, без достаточно полного учета взаимосвязей различных факторов. Критериальным фундаментом этого процесса обычно являются следующие соображения:
-конечная точка номинальной траектории полезного груза должна совпадать с точкой цели (или конечная скорость - с ее требуемым значением);
-дисперсия дальности (конечной скорости) должна быть минимальной.
Стремление к удовлетворению последних требований вызвано необходимостью приблизиться к условию наиболее вероятного поражения цели (для УБР) или наиболее вероятного попадания в заданный диапазон конечных скоростей (для PH).
Необходимо заметить, что выполнение первого пункта нельзя считать обязательным, поскольку смещение конечной точки номинальной траектории, совпадающей с центром рассеивания дальности или с центром рассеивания конечной скорости ракеты на АУТ, с точностью до величин первого порядка малости относительно центра может привести к увеличению вероятности попадания в заданный диапазон. Этот факт определяется, в частности, нелинейностью зависимости дальности от фазовых характеристик конца АУТ.
Отсюда следует, что проблема выбора номинальных характеристик ракеты может решиться более полно, если привлечь к рассмотрению новые критерии оптимальности, учитывающие вероятностную (стохастическую) природу явлений динамики полета. С точки зрения таких критериев, к примеру, ограничение номинальной дальности полета для УБР и раздельная минимизация дисперсии этой дальности становятся излишними и недостаточными.
Задача выбора параметров РДТТ и ракеты, обеспечивающих доставку ПГ в заданную область дальностей или конечных скоростей с максимальной вероятностью, решается с привлечением подробно описанного выше алгоритма оптимизации (подразд. 4.2). Поскольку алгоритм оптимизации носит универсальный характер, оказывается достаточным обеспечить процедуру вычисления коэффициентов влияния (4.8) с учетом вероятностного характера оптимизируемого функционала (5.11)—(5.14):
Ф,=М — +х— , / = 2, , , л ,
ад ад
У (5.22)
Х = -М а г /а д ~ ар /эд _ ‘
Сами статистические значения коэффициентов влияния (4.8) вычисляются методом конечных приращений, причем случайные реализации ДУ, ракеты, оптимизируемого функционала и др. определяются методом статистических испытаний в предположении, что все случайные величины подчинены нормальному закону распределения.
Решение поставленной проблемы вероятностного характера обеспечивается в полном объеме алгоритмом, изложенным в подразд. 4.2.
При этом начальный вектор номинальных искомых параметров формируется аналогично описанному в подразд. 4.2. Однако в качестве начальной итерации могут быть использованы результаты предшествующего параметрического проектирования как без оптимизации по детерминированному критерию, так и с оптимизацией.