ВВЕДЕНИЕ

Вопросам проектирования и оптимизации ракет с двигателями на твердом топливе посвящено большое количество работ зарубежных и отечественных авторов [3, 14, 15, 28, 35, 38, 39,44, 48-58, 60, 62-67, 69-74, 76-90 и др.]. Непреходящая актуальность проблемы вызвана важностью и значительной сложностью решения задачи как в общей, так и в частной постановке. К последней относится значительный ряд исследований и решений задач в части выбора оптимального количества ступеней составной ракеты и распределения масс по ступеням, оптимизации отдельных параметров (давлений в камерах сгорания двигательных установок, давлений на срезах сопловых блоков, продолжительности работы двигательных установок и др.) при неизменных значениях остальных параметров [36, 48, 51 и др.], оптимальной программы движения ракеты на рабочем участке траектории [4, 5, 17,19, 36, 38,49, 52 и др.] и т.д.

В решении частных задач получены значимые и широко используемые алгоритмы, позволяющие при небольшой затрате времени выяснить ориентировочно характер поведения того или иного параметра при «замороженных» остальных параметрах и коэффициентах, т.е. предварительно выбрать параметры ракеты, оптимальные с принятой точки зрения.

За прошедшие десятилетия развития теории и практики отработки РДТТ накоплен весьма значительный опыт в области проектирования и производства твердотопливных ракет.

Одной из наиболее известных методик выбора оптимальных параметров ракет с РДТТ является методика, использующая идеи «случайного поиска». Эта методика используется с применением ЭВМ и может включать в себя расчет траектории полета ракеты на активном участке. Наряду с несомненными достоинствами (относительная простота алгоритма, отсутствие специфических требований к используемым дифференциальным уравнениям и аналитическим зависимостям, возможность одновременной оптимизации большого количества параметров) у метода «случайного поиска» есть и недостатки, в частности невысокая точность и необходимость в общем случае делать ряд пробных шагов в фазовом пространстве оптимизируемых параметров в каждой точке (на каждом приближении).

Появление и разработка идей и метода «случайного поиска» были вызваны необходимостью в то время, когда не были достаточно развиты другие методы и их приложения к задачам оптимизации летательных аппаратов - вариационное исчисление [12, 18, 20], «динамическое программирование» Р. Веллмана [6], модифицированный градиентный метод Брайсона, принцип максимума Л.С. Понтрягйна [7, 33] и др., позволяющие находить не только оптимальные параметры, но и оптимальные функции, с использованием информации об управляемых объектах.

Однако необходимо отметить, что применить ряд методов (принцип максимума Л.С. Понтрягина, принцип оптимальности Р. Веллмана и др.) удается при решении задач нахождения оптимальных управлений и проектных параметров лишь для достаточно простых инженерных задач. Это вызвано необходимостью иметь в ряде случаев ЭВМ с очень большим быстродействием и памятью, не обеспечиваемыми даже в наше время техническими характеристиками большинства эксплуатируемых ЭВМ-

В настоящем работе для исследования параметров РДТТ, программы движения и автомата управления дальностью составных баллистических ракет используется математический аппарат теории оптимальных процессов и результаты диссертационных работ, например [16].

Как правило, вслед за обоснованием и конструктивным воплощением способа доставки полезного груза в определенную точку или область возникает задача определения оптимальных параметров ракеты и оптимальных режимов полета, обеспечивающих выполнение функций ракеты при экстремальном значении какой-либо

характеристики - минимума продолжительности полета, стоимости, стартовой массы, рассеивания, максимума дальности, вероятности попадания в цель, массы полезного груза ит.п.

Решение такой задачи позволяет наиболее полно использовать возможности техники при существующих в любое время ограничениях на характеристики используемых конструкционных и изоляционных материалов, топлив и др. и создает предпосылки для конструирования новых ракет, наилучшим образом соответствующих своему назначению.

Отыскание режимов полета и параметров ракеты связано с интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений движения, число неизвестных которой превышает число уравнений. Условию достижения экстремального значения одной из перечисленных выше характеристик ракеты и может быть подчинен выбор лишних, так называемых управляющих функций и параметров.

Для ракет с РДТТ, имеющих относительно большой расход топлива и осевые перегрузки на активном участке траектории, наиболее естественным и соответствующим механической сущности задач оптимизации являются методы теории оптимальных процессов.

Действительно, ряд характеристик ракеты: расход топлива, продолжительность полета, точность попадания в заданную область и т.д. - зависят от вида траектории, режима полета и работы двигательных установок. Отсюда и расход топлива, и продолжительность полета, и другие характеристики, экстремум которых достигается в оптимальном режиме полета, являются величинами, зависящими от вида некоторых функций - функционалов.

Аппарат теории оптимальных процессов как раз и разрабатывает методы определения экстремумов функционалов.

Разумеется, как и во всякой другой освоенной области науки и техники, в проектировании ракет с РДТТ по мере накопления статистической информации, опыта в области производства, отработки и применения РДТТ для ракет различного класса и назначения, мощного влияния «фактора ЭВМ», позволяющего по-новому взглянуть на весь процесс создания РДТТ, появляется в целом реальная возможность разработки алгоритмов и модулей программ, значительно изменяющих подход к решению проблемы проектирования по в принципе известным частным алгоритмам. Это, в свою очередь, может привести к принципиальному изменению взглядов, в частности, на баллистическое проектирование РДТТ в составе ракеты с учетом вероятностного характера разрабатываемых объектов. Использование ПЭВМ оказало решающее влияние на разработку и реализацию излагаемого подхода к баллистическому проектированию РДТТ.

При разработке и применении алгоритма баллистического проектирования были использованы:

•модульный принцип построения программы, при этом модули различного целевого назначения в большинстве своем могут быть использованы и автономно (для частных расчетов); сравнительно простые математические алгоритмы и приемы программирования с

реализацией компьютерных программ на алгоритмических языках высокого уровня;

математические модели и соответствующие статистические коэффициенты для расчета характеристик РДТТ - по материалам в основном зарубежной литературы, что в целом соответствует отечественному подходу, при этом, разумеется, не исключается возможность проектирования чисто теоретических, перспективных ракет с еще не реализованными характеристиками; описание физической и математической постановки задач, решаемых модулями,

дано в форме, допускающей использование их в качестве лекционного материала по рассматриваемым вопросам.

В разделе 1 изложены требования к процессу баллистического проектирования ракет с РДТТ и основные этапы процесса проектирования. В соответствии с ними

формулируется математическая проблема. При этом для определенности предполагается, что ракета в общем случае имеет близкую к классической форме схему (составная ракета с последовательным соединением ступеней). Приводится схема ракеты с делением ее на ступени и субракеты. Формулируется комплекс требований к проектируемой ракете с учетом необходимости компромисса. Поскольку исторически сложившейся практикой проектирования ракет предполагается, что требования заказчика к ракете носят самый общий характер, например, вида: с учетом современного уровня науки, техники и

технологии спроектировать твердотопливную ракету минимальной стартовой массы

иминимальных габаритов, выполняющую поставленную задачу (доставку полезного груза на заданную дальность или иа заданную орбиту), то совершенно очевидно, что исполнитель имеет достаточно много «степеней свободы» и, в принципе, волен назначить степень сложности проектируемой ракеты (т.е. количество ступеней), внешние диаметры двигательных установок, выбрать топливо для каждой установки и т.д. При этом важно выполнить все требования заказчика, который может сформулировать их

ив более конкретном виде, значительно при этом уменьшив количество «степеней свободы» для исполнителя. Вся полученная при работе алгоритмов баллистического проектирования информация является основой для рабочего проектирования ракеты, включая использование кртпсретно ориентированных подсистем САПР.

Вразделе 2 разработана математическая модель ракеты с РДТТ принятой схемы, включающая в себя:

•характеристики ракеты и ракетных двигателей;

•аэродинамические характеристики ракеты;

•моменты инерции и центровочные характеристики ракеты и ракетных двигателей;

•характеристики движения ракеты на активном и на пассивном участках траектории;

•программу движения ракеты на АУТ;

•частную параметрическую оптимизацию программы тангажа;

•характеристики движения спроектированной ракеты, включающие динамические коэффициенты, возмущающие силы и моменты, действующие на ракету при ее движении на АУТ (в результате могут быть исследованы динамические свойства ракеты как объекта управления и появляется основа для расчетов различных видов - прочностного и т.п.);

характеристики рассеивания спроектированной ракеты и уточнение гарантийных запасов топлива; проектно-конструкторские частные производные спроектированной ракеты методом

конечных приращений; полученные производные в условиях применения линейного дифференциала позволяют с точностью до величин первого порядка малости оценить приращение, например, дальности, в зависимости от любого сочетания малых приращений параметров ракеты и ее двигательных установок, полученных при рабочем проектировании.

Разработанная математическая модель ракеты с РДТТ содержит в себе все основные элементы, необходимые для осуществления баллистического проектирования как ракет класса земля - земля, так и ракет-носителей с твердотопливными двигательными установками.

Значительная часть других схем ракет может быть приведена к виду, принятому в настоящей работе.

В разделе 3 разработан алгоритм детерминированного баллистического проектирования ракет с РДТТ, включающий в себя формирование контурного облика ракеты с учетом начальных условий в точке старта для заданной массы полезного груза и требуемой номинальной дальности; формирование первого приближения опорного варианта с привлечением конкретной математической модели двигательной установки и ракеты; расчет моментных и центровочных характеристик ракеты с последующим определением параметров активного и пассивного участков траектории численным

интегрированием системы дифференциальных уравнений движения; уточнение исходных таблично заданных суммарных потерь, вычисленных приближенно на основе эмпирических и теоретических данных путем сравнения их с рассчитанными суммарными потерями конечной скорости ракеты, вызванными силой притяжения Земли, аэродинамическим сопротивлением атмосферы и изменением тяги ДУ по высоте (т.е. производится настройка математической модели ракеты).

Полученный таким образом опорный вариант ракеты является или окончательным (в случае отсутствия обращения к алгоритму оптимизации), или исходным для проведения оптимизации параметров РДТТ и ракеты по детерминированному или (и) вероятностному критериям.

Результаты баллистического проектирования далее могут быть использованы для конкретной разработки процессов и элементов ДУ и конструкции как в автоматическом режиме (при наличии соответствующих компьютерных программ), так и традиционными, принятыми в КБ, НИИ, вузах и т.п., методами,

В разделе 4 сформулирована задача детерминированной оптимизации параметров и программы движения в общем случае составной ракеты по критерию максимальной дальности ее полета или достижения ею максимальной скорости. Разработаны алгоритмы численного решения детерминированной разрывной задачи методом неопределенных множителей Лагранжа и методом теории оптимальных процессов.

Алгоритм, использующий метод неопределенных множителей Лагранжа, предполагает получение в процессе параметрической оптимизации численных значений коэффициентов влияния оптимизируемых параметров без привлечения сопряженной системы дифференциальных уравнений. Тем не менее итерационная корректировка исходного табличного банка данных с расчетом комплекса аэродинамических, моментных, центровочных, траекторных и прочих характеристик проектируемой ракеты позволяет получать вполне корректные результаты, согласующиеся с достаточной степенью точности с имеющимися аналогами - ракетами типа «Минитмен» и др. При этом параметры программы движения ракеты на АУТ не оптимизируются; исключение составляет угол бросания: для ракет класса земля-земля - он подбирается из условия равенства с заданной точностью нулю частной производной дальности по углу бросания, а для PH - получение с заданной точностью заданного угла бросания.

Алгоритм, используютшш методы теории оптимальных процессов, предполагает получение в процессе параметрической оптимизации численных значений коэффициентов влияния оптимизируемых параметров с привлечением сопряженной системы дифференциальных уравнений. Полученная методика определения параметров в общем случае составных ракет с РДТТ обеспечивает оптимизацию в комплексе таких разнородных явлений и факторов, как параметры двигательных установок (время работы, давление в камере сгорания, секундный расход топлива и др.) и режим движения ракеты на АУТ. В результате достигается либо максимум дальности полета, либо максимум конечной скорости ПГ - при ограниченной стартовой массе и (или) ограниченных размерах ракеты. Предполагается при этом, что схема ракеты, как и ее основные характеристики (число ступеней, характеристики топлив, конструкционных и изоляционных материалов и др.), заданы.

В разделе 5 сформулирована задача стохастической оптимизации параметров и программы движения в общем случае составной ракеты по критерию максимальной вероятности доставки ПГ на заданный отрезок дальностей или в заданный диапазон конечных скоростей. Разработаны алгоритмы численного решения стохастической разрывной проблемы методом неопределенных множителей Лагранжа и методом теории оптимальных процессов, базирующимся на идеях теории оптимального осреднения управлений.

Алгоритм, использующий метод неопределенных множителей Лагранжа^ предполагает получение в процессе параметрической оптимизации численных значений

коэффициентов влияния оптимизируемых параметров без привлечения сопряженной системы дифференциальных уравнений; коэффициенты рассчитываются с привлечением метода статистических испытаний. При этом параметры программы движения ракеты на АУТ не оптимизируются; исключение составляет номинальный угол бросания: для ракет класса земля-земля он подбирается из условия равенства с заданной точностью нулю частной производной номинальной дальности по углу бросания, а для PH - получение с заданной точностью заданного номинального угла бросания.

Алгоритм, использующий методы теории оптимальных процессов, предполагает получение в процессе параметрической оптимизации численных значений коэффициентов влияния оптимизируемых параметров с привлечением сопряженной системы дифференциальных уравнений; коэффициенты рассчитываются с привлечением метода статистических испытаний. Полученная методика определения параметров в общем случае составных ракет с РДТТ обеспечивает оптимизацию в комплексе таких разнородных явлений и факторов, как номинальные значения параметров двигательных установок (время работы, давление в камере сгорания, секундный расход топлива и др.), номинальный режим движения ракеты в центральном плоском поле силы тяжести Земли, номинальные значения параметров автомата управления дальностью.

В результате достигается максимум вероятности достижения цели (т.е. или вероятности попадания ПГ на заданный отрезок дальностей, или вероятности попадания ПГ в заданный диапазон конечных скоростей) при ограничениях на стартовую массу и (или) на начальную длину ракеты; заданном функционале отсечки ДУ с неизвестными оптимизируемыми параметрами; заданным количеством ступеней; известными характеристиками топлив, конструкционных и изоляционных материалов; заданными вероятностными характеристиками случайных величин и др.

В разделе 6 приводятся результаты проектных расчетов:

параметрическое проектирование ракет с числом ступеней от 1 до 3 включительно: исследование Факторов различного рода на результаты параметрического проектирования.

Основные результаты проектных расчетов и исследований были опубликованы начиная с 1965 г. [44-90], отражены в научно-технических отчетах КБМ (ОАО НПО «Искра», г. Пермь), КБМ (г. Коломна), ППИ (ПГТУ, г. Пермь), представлены на научнотехнических конференциях в Москве, Миассе, Челябинске, Перми, изданы в качестве учебно-методических пособий.

Автор приносит глубокую благодарность сотрудникам проектного отдела и вычислительного центра КБМ (ОАО НПО «Искра», г. Пермь), сотрудникам кафедры ракетно-космической техники и энергетических установок аэрокосмического факультета Пермского государственного технического университета за помощь и полезные обсуждения в процессе создания учебного пособия.