4. ДЕТЕРМИНИРОВАННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТНЫХ ПАРАМЕТРОВ РАКЕТ

4.1. Предварительные замечания

Сложность проблемы в общей постановке обусловлена наличием большого количества весьма разнородных требований, условий параметрического и функционального характера и так называемых существенных ограничений, требующих выполнения условий функционального характера (конкретно для ракет с РДТТ - условие ограниченности стартовой массы ракеты, длины ракеты на старте и т.д.).

Тщательный анализ результатов большого количества численных расчетов на ЭВМ (в частности [48, 49, 50]), позволил применить в качестве исходного метода оптимизации, удовлетворяющего основным требованиям, предъявляемым к созданию ракеты с РДТТ на начальной стадии ее параметрического проектирования, метод неопределенных множителей Лагранжа, математическое изложение которого приведено в работе [22]. Алгоритм, реализующий этот способ оптимизации, подробно изложен в подразделе 4.2.

В рабочем процессе баллистического проектирования ракеты на ЭВМ могут не выполняться одно или оба из предусмотренных алгоритмом существенных ограничений - или по стартовой массе ракеты то, или (и) по геометрическим размерам (длине) ракеты на старте /о. В этом случае алгоритм предусматривает рассмотрение вначале первого существенного ограничения по стартовой массе то (из соответствующего уравнения с точностью еМо определяется «свободный» параметр из числа искомых; этим параметром

обычно является тх - численное значение продолжительности работы ДУ стартовой ступени ракеты) и только после этого анализируется второе существенное ограничение - по стартовой длине ракеты /о; если оно нарушено, то из соответствующего уравнения определяется новое значение того же «свободного» параметра.

Процесс носит итерационный характер.

4.2.Адаптация метода неопределенных множителей Лагранжа

Впроцессе баллистического проектирования ДУ в комплексе ракеты возникает необходимость решения сложной задачи компромиссного характера, в результате чего должны быть получены основные параметры ДУ и ракеты, необходимые далее для более детальной проработки конкретной конструкции или с привлечением программных модулей, или с привлечением опытных разработчиков - конструкторов, технологов и т.д. При этом полученные проектные параметры должны удовлетворять как уравнениям связи со стороны математической модели проектируемых объектов (ДУ и элементов ракеты с учетом ограничений), так и со стороны условий применения (конечная скорость ракеты, дальность, вероятность попадания в заданный диапазон конечных скоростей или дальностей и т.д.).

Непреходяще актуальной и обычно обязательной проблемой процесса баллистического проектирования является проблема получения оптимального сочетания искомых проектных параметров, доставляющих экстремум принятому функционалу конечной скорости ракеты, дальности, вероятности попадания в заданный диапазон конечных скоростей или дальностей и т.д. В данной постановке параметры СУ не рассматриваются.

Пусть требуется найти параметры av а2, а п системы, ограниченные:

некоторые из которых, в свою очередь, должны дополнительно удовлетворять уравнениям так называемых существенных ограничений:

где А* - заранее заданные числа;

р - количество существенных ограничений.

Наличие последних приводит к необходимости привлечения алгоритма оптимизации методом неопределенных множителей Лагранжа.

Искомые оптимальные параметры должны доставлять экстремум функционалу

Для открытой области существования искомых параметров условие решения поставленной задачи должно удовлетворять системе уравнений

которая может быть решена любым итерационным методом, например методом Ньютона. Неопределенные множители Лагранжа \ Д 2, ..., Хрпривлекаются при невыполнении части или всех неравенств вида и определяются из соответствующих уравнений системы:

да, *-{ да,

Далее предполагается наличие одного существенного ограничения, т.е. в (4.3) у = 1.

Очевидно, что задача оптимизации параметров а р <22,..., ап сводится к решению

системы трансцендентных уравнений (4.5) с учетом системы (4.6) указанным выше итерационным методом Ньютона.

Необходимо заметить, что для закрытой области существования искомых параметров, определяемой системой (4.1), точное выполнение равенств (4.5) может быть и не достигнуто; в этом случае искомые значения параметров лежат на границах (4.1).

К решению поставленной проблемы приводит следующая последовательность действий:

а) Формируется вектор искомых параметров на основании аналога, полученного любым способом, или из граничных значений в произвольном порядке, например:

a q a q m \x \ > У Ь 2 , . .П.. , (4.7)

б) Рассчитываются все характеристики из уравнений связи (4.2), (4.4), причем при невыполнении условия (4.3) значение, например, ах определяется из уравнения (4.3). Найденный таким образом параметр а1 должен лежать или в открытой области его

существования, или в области (4.1). Из уравнения (4.6) определяется множитель Лагранжа:

дТ/дах

X

dFx/dax

На каждой итерации, начиная с £ = 1, значение функционала Г<!> сравнивается со значением Г<^"1>. Далее в случае, если:

-Т<{,>£ T<s,~l>- при поиске максимума (4.4),

-Г ^ < T^‘l>- при поиске минимума (4.4),

запоминаются все параметры а[ = а^ , а2= а ^ ап - и значение функционала

Т = Т ^ как оптимальные на текущей итерации в процессе оптимизации,

Частные производные, входящие в (4.8), могут определяться, например, методом конечных приращений (см. подраздел 2.10.7).

г) Формируется вектор параметров следующего приближения:

а ? * =а Т [1 ± ^ s i g n ( ® ^ )],; = 1, 2,.... п.

где - относительное положительное приращение параметра а, на £>-ой итерации;

знак «+» соответствует варианту решения задачи поиска максимума функционала, знак «-» - минимума.

д) Полученный комплекс параметров д,,а2,...,ап проверяется на каждой итерации на

принадлежность его области существования (4.1). В случае выхода z-го параметра из области допустимых значений в качестве нового значения этого параметра принимается его соответствующее граничное значение.

е) Если все значения параметров вышли на свои границы, процесс решения задачи прекращается. Полученные таким образом значения и будут оптимальными в условиях действия ограничений (4.1).

ж) В случае невыхода всех параметров на границы (4.1) в процессе анализа границ на оптимальность при задании <0> - й итерации в форме (4.7), параметрам, оказавшимся внутри допустимой области (4.1), присваиваются значения их противоположных пределов и расчет, начиная с пункта б, повторяется.

Однако в случае, если Т = , что означает точное повторение варианта сочетания

граничных значений параметров в процессе анализа границ, этот процесс прекращается и дальше вступает в действие стандартный итерационный процесс поиска оптимума внутри области (4.1) с исключением пункта ж и заменой его на пункт з.

з) Коэффициенты K i,, / = 1, 2, ..., п в процессе расчетов корректируются в зависимости от

которых (4.8) сменили знак на £-й итерации.

Процесс решения задачи в случае невыхода всех параметров или части из них на границы (4.1) прекращается:

-либо по достижении численными значениями коэффициентов влияния (4.8) параметров, не вышедших на их границы, достаточно малых, наперед заданных величин,

_ либо по получении приращения функционала А , меньшего наперед заданной

величины АГзад, подряд на заранее заданном числе итераций.

В качестве искомого оптимального варианта принимается вариант, доставивший экстремальное значение функционалу Т , с соответствующими теперь уже оптимальными

значениями ап.

Необходимо заметить, что в случае организации алгоритма без предварительного анализа границ (4.1) на оптимальность пункт ж опускается.