Механика подземных сооружений в примерах и задачах

Механика подземных соору- жений— это прикладная ди­ сциплина, изучающая прочность и устойчивость, надежность и долговечность подземных соору­ жений и возводимых в них кон­ струкций, контактирующих с окружающим массивом. Это до­

стигается применением разра­ батываемых механикой подзем­ ных сооружений методов расче­ та подземных конструкций на различные виды нагрузок и воз­ действий.

В механике подземных со­ оружений крепь (обделка) гор­ ных выработок и подземных со­ оружений и окружающий мас­ сив представлены как находя­ щиеся в контакте элементы

единой деформируемой системы шрепь (обделка)— массив», вза­

имодействующие друг с другом под влиянием внешних нагрузок и воздействий. Отсюда следует основополагающий принцип ме? ханики подземных сооружений—

принцип взаимодействия крепи (обделки) с окружающим масси­ вом.

Принцип взаимодействия по­ зволяет учитывать роль массива пород в обеспечении прочности и устойчивости подземных со­ оружений и максимально ис­ пользовать собственную несу­ щую способность массива, соот­ ветственно облегчая и удешевляя подземные конструкции. Таким образом, применение методов механики подземных сооруже­ ний открывает широкие творче­ ские возможности для реализа­ ции постановлений партии и

правительства по снижению ма­ териалоемкости, и в первую оче­ редь—металлоемкости, и стоимо­ сти строительства.

Достижения современной ме­ ханики подземных сооружений представляют достаточные воз­ можности для возведения эконо­ мичных подземных конструкций при одновременном обеспечении их прочности, устойчивости и надежности.

Следует подчеркнуть, что со­ временная механика подземных сооружений говорит на языке математики, причем математика выступает как способ получения основных научных результатов.

Современная механика подзем­ ных сооружений объясняет все известные науке факты; позво­ ляет предсказывать вид и ха­ рактер возможных разрушений; подсказывает, как и что следует наблюдать, какие величины сле­ дует измерять, при каких усло­ виях следует осуществлять на­ блюдения.

Принятые в настоящее время уровень идеализации и степень упрощений и абстракций позво­ ляют осуществлять точные вы­ числения в соответствии с ин­ формацией о реальных объектах.

Методы механики подземных сооружений прошли всесторон­ нюю проверку практикой науч­ ных исследований и практикой проектирования и строительства таких подземных сооружений, как тоннели Байкало-Амурской железнодорожной магистрали, подземные сооружения Рогунской и Байпазинской ГЭС, ав-

Массив горных пород, равно как и элементы крепи горных выработок и обделок подземных сооружений, рассматривается в механике подземных сооружений как сплошная среда.

Сплошную среду представляют как континуум (вещество, ма­ териал), непрерывно заполняю­ щий некоторый объем. Лучше

всего изображает характерный геометрический массив пород

полупространство, т. е. объем,

бесконечно простирающийся по одну сторону от ограничивающей его плоскости.

Основные свойства модели массива: сплошность, однород­ ность, изотропность, деформи­ руемость.

Под сплошностью понимается

заполненность материалом всего объема тела, ограниченного его поверхностью, включая беско­ нечно малые объемы в окрестно­ сти каждой точки. Сплошность предполагает сохранение свойств материала в бесконечно малых объемах и позволяет применять

методыматематического анализа.

Однородность— это одинако­ вость свойств среды в различных точках тела.

Изотропность— одинаковость свойств среды во всех направле­ ниях, проходящих через данную

точку. Если свойства материала различны в разных направле­ ниях, то мы имеем дело с ани­ зотропным материалом.

Деформируемость— это свой­ ство материала изменять форму и размеры (испытывать дефор­

мации) под воздействием внеш­ них сил. Деформируемое твердое тело существенно отличается от

абсолютно твердого тела, изу­ чаемого теоретической механи­ кой. Вместе с тем твердые тела, с которыми имеет дело механика подземных сооружений (горные породы, материалы конструкций подземных сооружений), харак­ теризуются большой жестко­ стью, т. е. высоким сопротив­

лением изменению формы и раз­ меров. Под действием внешних сил рассматриваемые тела испы­ тывают очень малые (по сравне­ нию с размерами поперечного

сечения подземных сооружений или элементами их конструкций) деформации. Следствием этого является линейная связь между деформациями и перемещениями.

Деформации представляются в виде изменения длин отрезков по трем взаимно перпендикуляр­ ным направлениям и искажения первоначально прямых узлов в трех взаимно перпендикулярных плоскостях. Деформации изу­ чаются по отношению к началь­ ному недеформированному со­ стоянию.

Горные породы в массиве на­ ходятся в объемном напряжен­ ном состоянии. Такое же напря­

жений имеет дело как с объем­ ными (трехмерными), так и с плоскими (двухмерными) и одно­ мерными задачами.

Двухмерной (плоской) назы­

вается задача определения на­ пряжений и перемещений, па­ раллельных одной плоскости и зависящих от двух координат. Плоской является, например, задача о протяженной горизон­ тальной выработке, если поверх­ ностные и объемные силы не меняются и не имеют состав­ ляющих вдоль оси выработки. В этом случае напряжения и деформации изменяются только в плоскости поперечного сечения выработки и не зависят от ко­ ординаты z, совпадающей с осью

выработки.

Приведенный пример отно­ сится к классу задач плоского деформированного состояния

(плоская деформация), характе­

ризующемуся соотношениями

К плоской относят также за­ дачу о протяженной вертикаль­ ной выработке при выполнении условий (1.1), хотя в данном случае объемные силы тяжести меняются вдоль оси выработки (обобщенная плоская деформа­ ция).

Другой вид плоской задачи —

плоское напряженное состояние,

которое реализуется в тонких пластинах. В этом случае на­ пряжения, перпендикулярные к рассматриваемой плоскости, рав­ ны нулю (<тг = 0).

Одномерная задача характе­

ризуется тем, что определяемые напряжения и перемещения яв­ ляются функциями одной пере­ менной.

Напряжения есть мера внут­ ренних сил в данной точке де­ формируемого тела.

Горные породы в массиве на­ ходятся в объемном напряжен­ ном состоянии (испытывают, как правило, всестороннее сжатие). Напряженное состояние в дан­ ной точке массива характери­ зуется напряжениями, действу­ ющими на трех взаимно перпен­ дикулярных площадках. На рис. 1.1, а показана общая схема

напряжений, отнесенных к про­ извольной системе координат х, у, г. Эти напряжения являются

составляющими (компонентами)

тензора напряжений

сательных напряжений имеем:

тельные напряжения на взаимно­ перпендикулярных площадках имеют один знак. На рис. 1.1, а показаны положительные нор­ мальные и касательные напря­ жения.

В каждой точке напряжен­ ного тела ^всегда имеются по крайней мере три взаимно пер­ пендикулярные площадки, на которых отсутствуют касатель­ ные напряжения. Такие пло­ щадки называются главными, а

действующие на них нормальные напряжения— главными напря-

жениями (рис. 1.1,6). Главные

напряжения обозначают симво­ лами crlf сг2, а3, имея в виду их соотношение

01^=02^0*.

Рис. 1.1. Схема объемного напряжен­ ного состояния пород в массиве:

а — напряжения на произвольных площад­ ках; б — главные напряжения

Тензор напряжений в главных осях имеет вид

Между компонентами напря­ жений в данной точке деформи­ руемого тела существуют инва­ риантные (независимые от вы­ бора осей) соотношения. Первый (линейный) инвариант тензора напряжений имеет вид

[1= ох + о у+ог = 0 i- b a 2+ 0»= con st.

(1.5)

Тензор напряжений (1.2) мож­ но представить в виде двух сла­ гаемых:

[7’а1= [7'в]+-[£>«т]. (1.6)

Рис. 1.2. Схема плоского напряжен­ ного состояния пород в массиве:

в —элемент в плоском напряженном состоя­ нии; б —круговая диаграмма напряжения (круг Мора)

Рис. 1.3. Компоненты напряжений в полярной системе координат (пло­ ская задача)

где |Т £]— шаровой тензор нап­ ряжений:

(1.9>

Наглядное представление о соотношениях между главными напряжениями и напряжениями на произвольных площадках (на рис. 1.2, а показаны напряжения для плоской задачи) дает круг напряжений * (круг Мора

рис. 1.2,6), пользуясь которым легко получить формулы преоб­ разования:

осей к осям х, у.

На рис. 1.3 показаны компо­

Рис. 1.4. Схема напряжений в декар­ товой и полярной системах координат

Соотношения между напряже­ ниями в декартовой и полярной системах координат (рис. 1.4) получаются из формул преобра­ зования (1.10):

ненты напряжений в цилиндри­ ческой системе координат (г, 0, г).

Тензору напряжений (1.2) со­ ответствует также симметричный

где ех, еу, гг— относительные линейные деформации; уху, ухг, ууг— относительные деформации

сдвига.

Главным напряжениям <xlf о3,

о, соответствуют компоненты главных деформаций еи е,, е,.

Рис. 1.5. Компоненты напряжений в цилиндрической системе координат

а

У! \

X

0

, £ х

/

Рис. 1.6. Компоненты относительных линейных деформаций гх (а), ву (б),

относительных деформаций сдвига

(в) для случая плоской задачи

Сумма линейных деформаций представляет собой первый ин­ вариант тензора деформаций

и характеризует относительное

изменение объема Материала в процессе деформации— величину

объемной деформации

есть абсолютная продольная де­ формация, а изменение ширины

АЬ— абсолютная поперечная де­ формация.

Относительные деформации

образца составляют: продоль­ ная г = А///; поперечная е' = Ab/b.

испытаний. На рисунке показан один цикл «нагрузка— раз­ грузка». Заметим, что при раз­ грузке образец разгружается не полностью, а до так называемой прижимной нагрузки, которая исключает случайное смещение образца и нарушение его цент­ ровки.

По результатам испытаний определяются следующие дефор­ мационные характеристики гор­ ных пород:

модуль упругости, равный

отношению приложенных к об­ разцу (см. рис. 1.9) напряжений о к упругой продольной деформа­ ции при разгрузке ге:

модуль общей деформации,

равный отношению напряже­ ний <г к общей продольной де­ формации при нагрузке е:

коэффициент Пуассона, рав­

ный отношению упругой попе-