Механика подземных сооружений в примерах и задачах

Определим нормальные тан­ генциальные напряжения на кон­ туре отверстия (сечения выра­ ботки), свободном от напряже­ ний (ро (0)= р 2 (оy=q2(oi=0), поль­

зуясь формулами (1.65).

Легко убедиться, что при Гх —►оо с —►оо, при этом rrix — 2; Пх —>■4; ла —* 0. В результате

первая из формул (1.65) при­ обретает следующий вид:

Од(п= 2р0„ —4р2„ cos 20 (1.72)

или, с учетом соотношений (1.71),

На основании изложенного убеждаемся, что касательные на­ пряжения, приложенные на бес­ конечности qm, описываемые фор­ мулой (1.64), на величину нор­ мальных тангенциальных напря­ жений на контуре отверстия не оказывают никакого влияния.

Определим перемещения точек свободного от напряжений кон­ тура отверстия под влиянием на­ пряжений, приложенных на бес­ конечности. Устремляя Гх —* оо,

после несложных преобразова-

Рис. 1.20. Схема массива с выработ­ кой в системе координат:

а —полярной; б —декартовой

ний получаем из выражений (1.67) и (1.68) следующие:

(«а + Vi),■„ = 0;

Отсюда следует, что касатель­ ные напряжения, приложенные на бесконечности, описываемые формулой (1.64), не оказывают влияния и на величину пере­ мещений контура отверстия.

Из (1.74) легко получить сле­ дующие формулы:

Uim = M * + i )

(1.75)

Viin = — г0 ( х + 1) - ^ .

На основании (1.66) переме­ щения на контуре отверстия

Рис. 1.21. Схема напряжений, прило­ женных к контуру отверстия в упру­ гой плоскости

описываются выражениями

cos 20);

(1.76)

»«В = ----(* + 0 р2оо Sin 20.

Определим напряжения и пе­ ремещения на контуре отверстия в упругой плоскости под дейст­ вием напряжений (1.64), прило­ женных к самому контуру (рис. 1.21). Устремляя г , —<■оо и соответственно с —►оо, из формул (1.65) получим mt —>- 1; я* —►1; п4 —»■2. Следовательно,

нормальные тангенциальные на­ пряжения на контуре отверстия составляют

ав1п~ — tPo (о)— (Рг (о)—2<?2 (о)) cos 20].

(1.77)

Перемещения контура отвер­ стия определим из выражений (1.66), (1.67). Устремляя /-j—<-оо, что соответствует с —* оо, полу­ чаем da —<■2; а3—►1; а4 —»- — 1; Ch —*• х; о; —►х.

Подставим эти значения ко­

эффициентов в формулы (1.67) и (1.68), в результате получим

X [Рг (о) (1 — Зх)-]-^ 2 (о) (1+ 3х)].

Существенная особенность напряженно - деформированного состояния массива пород, в ко­ тором проходят горную выра­ ботку, заключается в том, что

выработка образуется в заранее напряженном массиве, в массиве

с установившимся полем началь­ ных напряжений. По этой при­ чине нельзя моделировать мас­ сив с выработкой, попросту пере­ неся начальные напряжения на бесконечность (см. рис. 1.20, б), так как тогда оказалось бы, что напряжения приложены к мас­ сиву после проведения выра­ ботки.

Применение упругой модели массива позволяет в соответст­ вии с принципом независимости действия сил учесть это важное обстоятельство, рассматривая напряжения в массиве, ослаблен­ ном выработкой о (рис. 1.22, а),

как сумму начальных напрязкений о<0) (рис. 1.22, б) и допол­ нительных (iснимаемых) напря­

жений <хш (рис. 1.22, в).

Понятие «снимаемые напря­ жения» ввел проф. И. В. Родин

для моделирования образования выработки в напряженном мас­ сиве. Действительно, что значит образовать отверстие в напря­ женной плоскости? Это значит, что с контура будущего отвер­ стия (рис. 1 .2 2 , б) необходимо снять имеющиеся на этом кон­

туре радиальные и касательные начальные напряжения, так как контур отверстия свободен от напряжений. В упругой модели

Очевидно, что снимаемые напря­ жения равны по величине началь­ ным и противоположны по знаку.

Начальному полю напряжений в массиве соответствует и на­ чальное поле деформаций и пе­ ремещений, которые произошли до проведения выработки. Следовательно, деформации и

перемещения в массиве, происхо­ дящие вследствие образования выработки, вызываются только снимаемыми напряжениями.

Определим напряжения и пе­ ремещения на контуре сечения горизонтальной выработки (рис. 1.22). Начальные напря­ жения в массиве согласно § 1.3 составляют

оТ = уН\ о1у У=куН . (1.81)

Начальные напряжения по контуру сечения будущей выра­ ботки определим, подставив эти значения в выражения (1 . 1 2 ).

Пользуясь обозначениями (1.71), получаем

ofin= Ро0)= Ро°(0)+ Р2°(0) cos 20;

Снимаемые напряжения, при­ ложенные к контуру отверстия

(рис. 1 .2 2 , в), равны по вели­

чине начальным и противопо­ ложны по 'знаку. Следовательно,

Нормальные тангенциальные снимаемые напряжения на кон­ туре (рис. 1 .2 2 , в) определим

из (1.77) с учетом равенств (1.84), (1.85):

oetn = Ро°(0>—Зр2°(0) cos 20.(1.86)

Полные напряжения на кон: туре сечения выработки равны сумме начальных и снимаемых:

о=о<о)-1-о<1>. (1.87)

Суммируя (1.82) и (1.84), полу­ чаем

®rin= 0:

а0«п = 2ро°<о,—4р2°(0) cos 20;

( 1.88)

тг0<я = 0,

или с учетом значений входя­ щих в формулу (1.82) величин

°6ln= o i0>К1 + W -2 0 - * ) cos 20]. (1.89)

Перемещения контура сечения выработки определим из выра­ жений (1.78), (1.80). Вначале воспользуемся равенствами (1.83)—(1.85), тогда

«iin = rexpi0>(e,/2C;

V4n= — r0KfA0<0)/2G.

Подставив значения р $\0) и

из (1.82), получим

V2in = — И2/п*

Сравнивая выражения (1.72) и (1 .8 8 ), приходим к выводу, что

Из сравнения выражений (1.74) и (1.90) следует, что при поль­ зовании этой расчетной схемой перемещения контура сечения выработки получаются завышен­ ными. Это понятно, так как к перемещениям, вызванным об­ нажением пород при проходке выработки, добавляются пере­ мещения, вызванные начальным полем напряжений, завершив­ шиеся задолго до проведения выработки. Однако на бесконеч­ ности можно приложить неко­ торые напряжения, действие которых будет эквивалентно сни­ маемым, обусловливающим пе­ ремещения при обнажении по­ род. Сравнивая (1.74), (1.75) и (1.90), получаем формулы для

Поле напряжений в массиве вокруг выработки круглого се­

+1тЧ |+з4 - ,4 )сов29]; °а-'"'[1тЧ'+4 )-

напряжений при значениях к = 1 и к = 1/3.

Рис. 1.23. Эпюры напряжений в мас­ сиве вокруг выработки круглого сече­ ния при Л,= 1/3 (а) и Х =1 (б)

залоокения (рис. 1.24) глубина Н

соизмерима с радиусом г0, поэто­ му на напряженно-деформиро­ ванное состояние массива в окре­ стности выработки существенное влияние оказывает близость зем­ ной поверхности Lx. В этом слу­

чае геометрической моделью мас­ сива служит уже не плоскость, а полуплоскость. Решения подоб­

ного класса задач получены И. Г. Арамановичем, А.М. Гольд-

Рис. 1.24. Схема к определению напря­ женно-деформированного состояния выработки неглубокого заложения

бергом, С. Г. Гутманом, Г. Н. Са­

виным н др.

Рассмотрим весомый массив (полуплоскость), ослабленный выработкой круглого сечения (рис. 1.25, а). Начальное поле напряжений в массиве опреде­ ляется выражениями

о ? = у (И -х)- o f = Ху (Н -х).

(1.95)

Рис. 1.25. Расчетная схема (а) и эпюра тангенциальных напряжений о$/уН (б)

а б

— (1 —X) cos 30] | • (1-96)

Сравнивая (1.96) с выраже­ нием (1.89) убеждаемся, что первая часть формулы представ­ ляет собой величину напряже­ ний для заглубленной выра­ ботки.

На рис. 1.25, б показана эпюра нормальных тангенциальных напряжений на контуре сечения выработки при Н = 2r0; v = 0,4.

Коэффициент бокового давления определен по формуле (1.36): X — 0,67.

Выработка неглубокого зало­ жения испытывает внутреннее давление (напор) р0 (рис. 1.24).

Нормальные тангенциальные напряжения на контуре сечения выработки составляют

,= —Р° [ ! + 2

(1.97)

Рис. 1.26. Эпюра напряжений в на­ порном тоннеле при глубине заложе­ ния тоннеля Н = 2г0 (а) и Н = 1,5 г0 (б):

У—тангенциальные напряжения о$/р0 на

контуре L 0; 2 —напряжения Oyfp0 на земной поверхности L t; 3 — напряжения OQ/PO=1,

характерные для заглубленной выработки

Нормальные тангенциальные напряжения на контуре сечения выработки описываются форму­ лой

где Н = Н /г0.

Отметим, что в сечениях по оси х, в своде и лотке (точки А и А ', рис. 1.26) тангенциальные

напряжения имеют минимальное

точки М пересечения оси х с зем­

ной поверхностью, тангенциаль­ ные напряжения равны между собой. Максимальное значение тангенциальные напряжения имеют в точке С, в которой

контурная окружность касается луча МС:

имеет место на оси симметрии

(0 = 0).

напряжения, максимум которых

имеет место в точках

У = ± г 0УГ3 (Я 2- 1 ) . (1.103)

Эпюры напряжений <тр пока­ заны на рис. 1.26.

Перемещения контура сече­ ния напорной выработки опре­ деляются как геометрическая сумма:

где и„— радиальные перемеще­

вертикально вверх, параллельно оси х:

Отметим характерные точки (рис. 1.27). Точка А в своде

выработки перемещается на ве­ личину

U>A= UA = U0+ UX

ИЛИ

&(1+2 В)-

(1.106)

Точка В в лотке перемещается

на величину

) (U07)

Точки С на концах горизон­

тального диаметра смещаются на величину и0.

Параллельно оси у на рас­

стоянии

xD = 0,5г0 [ Я + К я 2+ 8 (1 - г )] (1.108)

можно провести хорду DD, ха­ рактерную тем, что векторы wD смещений точек D строго гори­

зонтальны. Выше этой хорды точки контура сечения выработ­ ки перемещаются вверх, ниже—

вниз.

Смещения точек земной по­ верхности (2 на рис. 1.27) про­ исходят в направлении радиу­ сов г, проведенных из начала координат, и составляют

4Я cos 8

Ur = r0(l—

Я2—cos20

(1.109)

Максимальное смещение по оси х испытывает точка Ох, на­ ходящаяся на оси х:

( 1. 110)

Сравнивая (1.110) с формула-

Рис. 1.27. Схема к расчету перемеще­ ний:

поверхности; 3 — перемещение контура сече­ ния заглубленной выработки

Рис. 1.28. Тангенциальные напряже­ ния а0/<7 на контуре сечения выработки

при Н =2г0:

/ — при /= 1,25г0; 2 — при /->-оо

(данные В. И. Гулика) приве­ дены значения нормальных тан­ генциальных напряжений <JQ на

контуре сечения выработки при различных значениях глубины

заложения выработки Н = Н /г0

и протяженности / = //г0. Эпю­ ра напряжений показана на рис. 1.28.

При / —►оо, т. е. в случае, когда вся упругая полуплоскость с отверстием равномерно сжата внешней нагрузкой q, суще­

ствует определенная аналогия с полуплоскостью, нагруженной по контуру отверстия. Более того при q = p0 компоненты на­

пряжений по любой площадке, соответствующие указанным ви­ дам нагрузки, связаны соотно­ шением

Следовательно, при одновремен­ ном действии обоих видов на­ грузок и при р0= <7, контур

сечения выработки испытывает равномерное сжатие

ae =<7-

Тангенциальные напряжения на контуре отверстия при дей­ ствии равномерной нагрузки, приложенной к границе полу­ плоскости, описываются выра­ жением

Рис. 1.30. Эпюры нормальных танген­ циальных напряжений oQ/yH на кон­

туре сечения выработки при различ­ ных значениях коэффициента бокового давления в массиве Л

На рис. 1.31 показано изме­ нение тангенциальных напря­ жений ов/уН на контуре выра­

ботки большого сечения в мас­ сиве с коэффициентом бокового давления К= 0 ,5 при поэтапном

раскрытии профиля. Вначале раскрывается верхняя часть се-

чения (калотта, рис. 1.31, а), затем выработка раскрывается на полный профиль (рис. 1.31, б), при этом напряжения в стенах выработки уменьшаются. Оги­ бающая эпюр напряжений 3 (рис.

1.31,6) дает представление о ве­ личине тангенциальных напря­ жений, которым подвергались породы на всех стадиях строи­ тельства выработки.

На рис. 1.32 показаны рас­ четные эпюры тангенциальных напряжений на контуре сече­ ния выработки (транспортного тоннеля) в сейсмически актив­ ном районе при различных зна­ чениях коэффициента бокового

ставляет 9 баллов. Эпюры 1 ха­

рактеризуют напряжения, обу­ словленные действием собствен­