Механика подземных сооружений в примерах и задачах

Реологические модели отра­ жают свойство ползучести (те­

чения) горных пород, т. е. их способность деформироваться во времени при постоянных напря­ жениях.

Структурные схемы реологи­ ческих моделей включают вяз- кий элемент— элемент Ньюто­

на— в виде поршня в цилиндре с вязкой жидкостью. В вязком элементе напряжения пропорциональнк скорости деформа­ ции:

где т)— коэффициент динамиче­ ской вязкости, Па-с.

Величина, обратная вязкости, называется текучестью. Вяз­

кость характеризуется также коэффициентом кинематической вязкости

сти: м*/с; см2/с (1 см*/с= 1 стоке). На рис. 3.1 показаны струк­ турные схемы некоторых основ­

ных вязко-упругих и вязко­ упруго-пластических моделей. Уравнения состояния вязкоупругих моделей следующие.

Модель Максвелла 1 (рис.

3.1, а):

при а = о0 = const;

при е = е0 = const;

Модель Кельвина— Фойгта 2

(рис. 3.1, а):

8Нг[1_ехр(~Т')]-(3,7)

Стремясь лучше описать дан­ ные экспериментов, модели усложняют. Для моделей 3 и 4, показанных на рис. 3.1, а,

характерно следующее диффе­ ренциальное уравнение состоя­ ния (с точностью до значения постоянных коэффициентов):

£ * /t-^ -+ £ » e = n - ^ - + a . (3.8)

Рис. 3.1. Структурные схемы неко­ торых вязко-упругих (а) и вязко­ упруго-пластических (б) моделей:

Томсона; 5 —Бюргерса; 5 —Шведова —Бин­ гама; 7—модель с последовательным рас­ положением элементов; 8— обобщенная мо­ дель с элементами кратковременной и дли­ тельной прочности

Значения коэффициентов при­

*[■-(■- Ф ( - ш

(3.9)

Модель Бюргерса 5 (рис. 3.1, а)

объединяет модели Максвелла 1

иКельвина— Фойгта 2. При

чести имеет вид

На рис. 3.1, б показаны ос­

новные вязко-упруго-пластиче­ ские модели, содержащие эле­ мент пластичности (элемент Ку­ лона— Мора):

расположением элементов 7,

(рис. 3.1,6):

при <т<; ое— модель Максвелла

(3.3)— (3.5); при о > ос— величина е стано­

вится неопределенной, модель ведет себя как упруго-пласти­ ческое тело;

обобщенная модель с элемен­ тами кратковременной (ос1) и длительной (<гса) прочности 8

(рис. 3.1,6):

при а > ос1 срабатывает эле­

мент кратковременной прочно­ сти, и величина е становится неопределенной;

при оса < о < <тс1 модель ра­

ботает, как модель Шведова — Бингама (3.11), (3.12): при бы­ стром нагружении большие на­ пряжения воспринимают упру­ гий и вязкий элементы, однако с течением времени сопротивле­ ние вязкого элемента уменьша­ ется, все большая доля напря­ жений передается на пластиче­ ский элемент длительной проч­ ности, который в конце концов

исрабатывает; при малых напряжениях а <

<0са модель работает, как упругая.

Описанные выше модели по­

зволяют имитировать и изучать реологические свойства масси­ вов пород, и в первую очередь ползучесть. Наблюдения за де­ формациями пород при посто­ янной нагрузке позволили вы­ делить два вида ползучести: затухающую и незатухающую (рис. 3.2, а).

В обоих случаях деформация складывается из условно-мгно­ венной е0, возникающей в мо­ мент приложения нагрузки, и деформации, развивающейся во

б

Рис. 3.2. Кривые ползучести: а —экс­ периментальные; б — расчетные с ис­

пользованием различных моделей:

/ — затухающая ползучесть; 2—незатухаю­ щая ползучесть; J —модель Максвелла (3.4); 4 — модель Кельвина — Фойгта (3.7); 5 —мо­ дель Гогенемзера —Прагера (Пойнтннга — Томсона)

Затухающая ползучесть 1

(рис. 3.2, а) протекает с умень­

шающейся, стремящейся к нулю

скоростью (е = dz/dt — 0) и в

конце концов прекращается, при этом деформация стремится к постоянному значению е„, зависящему от величины напря­ жений ог0.

Незатухающая ползучесть,

помимо условно-мгновенной де­ формации, может включать три стадии 2 (рис. 3.2, а): I — ста­

дию затухающей неустановившейся ползучести (участок АВ),

II— стадию установившейся ползучести (участок ВС) и III —

стадию прогрессирующей пол-

к нулю (1, рис. 3.4), а в моде­

Модели 2 — 4 (рис. 3.1, а) от­

ражают еще одно реологическое свойство материалов (горных пород)— способность к упругому последействию, т. е. запаздыва­

нию упругих Деформаций. Упру­ гое последействие— это дефор­ мация разгрузки (восстановле­ ния), протекающая в течение некоторого времени после сня­ тия нагрузки. Если деформиро­ ванную до уровня е = е0 модель

Рис. 3.4. Графики релаксации напря­ жений:

/ — модель Максвелла; 2 —модели Гогенемзера — Прагера и Пойнтинга —Томсона

На стадии установившейся ползучести деформацию ползу­ чести в любой момент времени г (t) можно выразить через ско­

рость деформации и время:

В момент разрушения t = tc де­

формация

где tc— долговечностьматериа­

ла.

Условие (3.18) можно пред­ ставить в виде

На рис. 3.7 показан сводный график зависимости между ско­ ростью ползучести и временем до разрушения (долговечностью)

различных грунтов, различной нарушенности, уплотненности и влажности. Из рис. 3.7 сле­ дует эмпирическая зависимость

&tc= (0,017 ч- 0,023). (3.22)

По данным исследований ВНИМИ параметры длительной прочности песчано-глинистых осадочных пород следующие:

асоо= (0,36 -;- 0,86) ос « 0,65с,;; (3.23)

ф» = фс-

решения задач теории ползуче­ сти с использованием временных функций вместо упругих посто­ янных называется методом пе­ ременных модулей.

Уравнение ползучести (при сг=о0 = const) имеет вид

где а (безразмерная) и 8 (с_1+в)—

характеристики ползучести по­ род.

При расчете гидротехнических сооружений применяют функцию ползучести в виде

Ф= £ о0 (1—е-*<)+

+{ Ь - Е-9- ' ) Т н ' (ЗЭД

где Е 0— условно-мгновенный мо­

0 (ма/МН); X (1/сут); В (сут) —

параметры ползучести. Согласно методу переменных

модулей, влияние времени учи­ тывается путем замены дефор­ мационных характеристик мас­ сива временными функциями. В частности, модуль деформации пород Е = tg а (рис. 3.8, б) можно

представить как некоторую функцию времени E t. Из урав­

Временные функции для ко­ эффициента Пуассона и модуля сдвига имеют вид

+ 2 ( l+ v )

эффициенты вязкости некоторых пород по данным канд. техн. наук К. П. Шкуриной и др. приведены в табл. 3.2. Коэффи­ циент вязкости глинистых пород по данным канд. техн. наук В. А. Мизюмского составляет: для бесструктурного пылеватого суглинка т] = 8 -107 МПа-с; для кембрийских глин т| = 4,3 х ХЮ» МПа с.

Наблюдения показывают, что скорость деформирования гор­ ных пород при постоянных на­ грузках меняется (носит зату­ хающий характер). Это измене­ ние можно объяснить измене­ нием во времени коэффициента вязкости. Проф. М. И. Бесков предложил следующую эмпири­ ческую формулу:

где т)0— начальная (при t — 0)

вязкость.

Для глинистых сланцев

т)о = 5,9*108 МПа-с; Р= 0,25.

В книге С. С. Вялова приве­ дены следующие эмпирические формулы для коэффициента вяз­

кости в зависимости от времени:

Для грунтов п = 1; В х= 0,5 с;

значения rjt для глин (от рых­ лых до плотных) находятся в пре­ делах от 30 до 1400 МПа-с;

Л< = Л« — (Л«— Ло)ехР (—■t/Bi), (3-32)

где — конечное значение ко­ эффициента вязкости при t —>- оо,

причем г)в,^>т)в;

Проф. Н. Н. Маслов сочетает зависимость (3.32) с моделью Шведова— Бингама (3.11). Урав­ нение ползучести, получаемое путем интегрирования выраже­ ния (3.11) с подстановкой в него соотношения (3.32) вместо t), имеет следующий вид:

+ в х

Л«— (Л«—Ло)ехР

Ло

(3.34)

Т А Б Л И Ц А 3.2

Выражение в квадратных скоб­ ках в этом уравнении характе­ ризует стадию затухающей не-

формация ползучести переходит в установившееся течение с по­ стоянной скоростью (3.11).

При моделировании вязко-уп­ руго-пластического деформиро­ вания пород, окружающих вы­ работку круглого сечения в гид­

проф. А. Салустовичем получены следующие зависимости.

Модель Кельвина — Фойгта

рис. 3.1, а). Смещения контура

сечения выработки:

Скорость смещения:

_du_ G 0<0>Г0

dt rj 2G+ Br0

Давление на крепь, характе­ ризуемую параметром В (3.36):

р = о<°)х

(3.41)

Модели, исследованные проф.

Р.Парашкевовым. Модель

Пойшпинга— Томсона (см. 4 ,

рис. 3.1, а). Смещения контура сечения выработки:

“= ж [ |“ “ р ( - т г ') ] ' 13'42)

где Gо, — модули сдвига, со­

ответствующие модулю условно­ мгновенной деформации Е 0 и

длительному модулю деформации (см. табл. 3.1).

Модель Бюргерса (см. 5,

рис. 3.1, б). Скорость смещения контура сечения выработки:

du

I t

(3.43)

Примером сложной комбинирован­ ной модели, учитывающей упруго- вязко-пластические деформации и разрушение пород вокруг выработки, является модель, предложенная канд. техн. наук Б. 3. Амусиным. В мас­ сиве пород вокруг выработки обра­ зуется в общем случае четыре обла­ сти, характеризуемые различным со­ стоянием пород (рис. 3.9): / — вязко­ упругих деформаций; 2— пластиче­

ских деформаций, испытываемых по­ родами без разрушения; 3— непре­

рывно неоднородная область посте­ пенного разрушения пород от пре-