Механика подземных сооружений в примерах и задачах

Такой особенностью обладают логарифмические спирали, урав­ нение которых применительно к данному примеру имеет вид

На рис. 2.24, б показана сетка

линий скольжения вокруг выра­ ботки круглого сечения, обра­ зуемая пересечением поверхно­ стей скольжения с горизонталь­ ной плоскостью.

Рис. 2.25. Сетка линий скольжения вокруг напорной шахты (к при­ меру 2.4.4)

2.4.5. Прочностные характе­ ристики бетона

Логарифмические спирали являются более крутыми (рис. 2.25), чем в примере 2.4.3 (см. рис. 2.24, б).

сжатие (сгс) и трехосное сжатие (стх; <т3), пользуясь выражениями (2.2—2.4), легко получить фор­ мулы для определения парамет­

Рис. 2.26. Огибающие наибольших кругов напряжений (/, 2), построен­ ные по результатам испытаний бе­ тона (I — II и .1 — III соответственно)

Рис. 2..27. Паспорт прочности мате­ риала модели (/) и сопротивление сдвигу по контактам слоев (2) (к

примеру 2.4.6)

Подставим в формулу (2.63) результаты испытаний / и 2; 1 и 3. В результате получим

7 4 ,4 _ 4 7 _ 1 ,0 ф1, а - arc sin 74>4_ 4 7 + j g —

= arc sin 0,931 « 68°;

87,7 —47— 8,7 Ф1, 8 = arc sin 87>7_ 47_|_8)7~

= arc sin 0,648 « 40°.

Как видим, результаты су­ щественно расходятся, что сви­ детельствует, по-видимому, о значительной криволинейности (выпуклости) огибающей на дан­ ном участке. Это подтверждает и построенный по результатам испытаний график (рис. 2.26).

Для инженерных расчетов можно пользоваться усреднен­ ными результатами испытаний, соответствующими линии 3 с ха­

рактеристиками: С = 1 0 МПа; Ф = 44°; ас = 47 МПа.

2.4.6. Прочность наклонно-сло­ истого массива

На объемной модели из экви­ валентных материалов модели­ руется наклонно-слоистый мас­

сив пород. На контактах слоев обеспечивается условие сухого трения, сцепление отсутствует (С* = 0). Материал модели имеет следующие характеристики: С =

димо обеспечить напряжения бо­ кового давления в массиве мо­

сдвига по контактам слоев, т. е.

решить графически. На рис. 2.27 построены огибающие наиболь­ ших кругов напряжений, соот­ ветствующие условию предель­ ного состояния материала мо­ дели 1 и условию специального

предельного состояния по кон­ тактам слоев 2. Поскольку кон­

тактирует один и тот же мате­ риал, то угол внутреннего тре­

ния по контактам слоев ср* =

= Ф = 21°.

Условие специального пре-

Рис. 2.28. Расчетная схема опускаю­ щегося столба породы над выработ­ кой (к примеру 2.4.8)

ды над которой ограничен дву­ мя параллельными плоскостями (см. рис. 2.7, б). Представляют интерес случаи, когда основа­ нием столба породы является квадрат или круг. Требуется получить расчетные формулы для этих двух случаев.

Р е ш е н и е . Рассмотрим слу­ чай, когда опускающийся столб имеет круглое сечение с ради­ усом г. Выделим в столбе породы

где dG = яг*у dz; xc = ontg cp+C; on = Koz. Подставляя эти выра­

жения в уравнение (2.69) и

_уг — 2С dz.

Интегрируя это уравнение, убеждаемся, что постоянная ин­ тегрирования равна нулю (по­ скольку при z = 0 <тг = 0), под­ ставляем значения z = H , oz= p ,

после несложных преобразова­ ний получаем расчетную зави­ симость

ехр(—

(2.70)

В случае, когда опускающийся столб пород имеет квадратное основание со стороной 2Ь = 2г

(рис. 2.28), уравнение равнове­ сия имеет следующий вид: dG+4b2oz — 4b2 (oz + doz) — 8bxc dz=0, где dG = 4b2y dz.

Нетрудно убедиться, что да­ лее в точности повторяется сде­ ланный выше вывод и мы при­ ходим к расчетной формуле (2.70), в которой диаметр 2г

следует заменить на сторону квадрата 2Ь.

Мы привели пример аналити­ ческого решения задачи. Полу­ ченное общее решение (2.70) можно рассматривать как мате­ матическую модель опускающе­

гося столба пород.

2.4.9. Сопоставительные рас­ четы опытов М. М. Протодья­ конова

Рассмотрим результаты извест­ ных экспериментов М. М. Протодьяконова по измерению мини-

зуемся формулой М. М. Прото-

Подставляя в эту формулу исходные данные, получаем

(высоты засыпки) Я = Л, давле­

формулой (2.70), которая в дан­ ном случае (С = 0) имеет сле­ дующий вид:

p=2 ulVfi“ exp(~2X?'tg,p)]-

(2.72)

Коэффициент бокового давле­ ния в массиве примем согласно условию предельного состояния (2.3):

1 1 — sin ф р 1 + sin ф ■

Подставляя в приведенные выше формулы исходные данные, по­ лучаем следующую зависимость давления от глубины:

Х= 1—0,525 -0,31;

1+ 0,525 :

р. О 0.0162*8

0,31-0,617 А

x [ l - e x p ( - 2 . 0 , 3 1 ^ t f ) j ,

ИЛИ

Я = 1 ,3 5 (1 —е - 0 -1»1").

Подставляя значения Я, при которых производились измере­ ния, получаем следующие зна­ чения Р (3 на рис. 2.29):

Обратимся, далее, к модели нарушенной зоны (рис. 2.7, в). Следующая из этой модели фор­ мула (2.19) применительно к ус­ ловиям эксперимента преобра­ зуется к следующему виду:

(2.73)

где

2 sin q?

1 —sin ф

Подставляя в эти формулы исходные данные, получаем

2-0,525 = 2,21;

1—0,525

п. 0,0162*8

р= 4 ~ т ж ~

или

Р = 0,43 [1—2,31 (Я + 2 ) - 1-41].

Сравнивая результаты расче­ тов с данными измерений, убеж­ даемся, что наиболее близкие результаты получаются по тео­ рии М. М. Протодьяконова и по модели нарушенной зоны,

ворительно ни одной из этих моделей.

Что же касается опускающе­ гося столба пород, то эта мо­ дель дает более чем в 2 раза завышенные результаты.

2.4.10. Сопоставительные расчеты натурных измерений давления пород

Е. С. Пригожиным и В. Н. Де­ нисовым описаны результаты натурных исследований давле­ ния сыпучих пород на обделки коллекторных тоннелей. Резуль­ таты измерений приведены в табл. 2.6.

Требуется сопоставить изме­ ренные значения давления по­ род с расчетными, следующими из жестко-пластической модели массива.

Р е ш е н и е . Произведем рас­ четы давления на обделку по формуле (2.15) М. М. Протодьяконова, которая в данном слу­ чае имеет вид (С = 0; / = tg <р)

по формуле (2.16)— модели опу­ скающегося столба пород, кото­ рая приобретает вид (С = 0)

(2.75)

и по формуле (2.19)— модели нарушенной зоны, которая также преобразуется к виду (С = 0)

(2.76)

Коэффициент бокового давле­ ния А, определим по формуле (1.36) при коэффициенте Пуас­ сона v = 0,35 (см. табл. П. 1.2, приложение 1):

Входящий в формулы (2.19) и (2.76) коэффициент а опреде­ лим по формуле

2 sin ш

а = т -----г2— •

I —sin ф

подставив в эту формулу зна­ чения углов ф из табл. 2.6:

Подставив в приведенные выше формулы значения входящих в них величин из табл. 2.6, по­ лучим расчетные значения дав­ ления на обделки тоннелей, ко­ торые также приведены в табл. 2.6.

Сравнивая измеренные давле­ ния с расчетными, убеждаемся, что в условиях данного примера к средним значениям измерен­

ных давлений р ближе всего

расчетные величины, получен­ ные по формуле М. М. Протодьяконова.

2.4.11. Сопоставительные ра­ счеты давления песка с данными опытов М. М. Протодьяконова.

Сопоставить расчетные зна­ чения давления на крепь по формулам (2.22), (2.23) с дан­ ными экспериментов М. М. Про­ тодьяконова (см. пример 2.4.9, рис. 2.29).

Р е ш е н и е . Напомним, что в опытах М. М. Протодьяконова равнодействующая давления

первый Раздел

вдне ящика, формулы же (2.22)

и(2.23) выведены для протя­ женной выработки (плоская за­ дача, см. рис. 2.8, в и г). Над

квадратным вырезом, если сле­ довать логике модели, обра­ зуется не призма, а пирамида, объем, а следовательно, и вес которой меньше, чем у призмы, а силы сопротивления сдвигу несколько больше. По указан­ ным причинам расчетные нагруз­

ки по формулам (2.22) и (2.23) должны быть больше измерен­ ных.

Подставим значения величин в формулу (2.22): <р = 31°40 =

=31,67°; у = 0,0162 Н/см® =

=16,2 кН/м3;

тогда

« „ „ 0,962-0,617 w

_ 0 ,3 ,я — ш — х

X (1-0,617-0,284)

ИЛИ

р = 16,2Я (1 — 10,9Я).

Придавая высоте слоя засыпки Я различные значения, меньшие высоты опускающейся призмы

Ашах = 2-3,521 =7,04 см « 0,07 м,

получаем соответствующие им величины давления р на пло­

щадку и, умножая их на пло­ щадь выреза Л = 16 см3, вели­ чины равнодействующей Р:

При Я > 7,04 см давление на площадку от высоты засыпки слоя Я не зависит. Величину давления определим по формуле (2.23), подставив значения вхо­ дящих в эту формулу величин

p = - j 16,2-0,02-3,521 х

Х[1 —0,31-0,962-0,617х X(3,521 -0,617)] =0,26 кПа.

Равнодействующая давления на площадку

Р = 0,26-16-10-4= 4,2-10-« кН = = 0,42 Н.

Нанесем расчетные значения равнодействующей давления на площадку на график (5 на р'ис. 2.29). Полученная зависи­ мость наилучшим образом при­ ближается к экспериментальной, в том числе и на начальном участке при Я < 7 см.

2.4.12. Сопоставительные ра­ счеты давления на крепь ствола с данными опытов на моделях

На модели с песком автором исследовано установившееся дав­ ление на крепь ствола при сле­ дующих исходных данных:

Y = 16 кН/м8; ф= 35°;

Го= 0,05 MJ Я = 1 м.

Измеренное давление на крепь показано на графике (рис. 2.30) в виде заштрихованной обла­ сти 1, соответствующей разбросу

результатов измерений. Сопоставим расчетные на­

грузки по формулам М. М. Протодьяконова (2.26), В. Г. Березанцева (2.28) и автора (2.31).

Рис. 2.30. Зависимость измеренного (У) и расчетного (2, 3) давления на крепь

ствола в сыпучей среде от глубины (к примеру 2.4.12)

Р е ш е н и е . Определим давление на крепь ствола по формуле (2.26):

Определим входящие в эту фор­ мулу величины:

Подставим полученные значения и исходные данные в формулу (2.29), в результате получим

Из этой формулы следует, что максимальное давление на крепь "ствола при Я —*■оо равно 0,25 кПа, что существенно меньше измеренного ( ~ 1,0 кПа).

Произведем расчеты по фор­ мулам автора. Поскольку за­ висимость (2.31) линейна, то определим положение двух то­ чек на графике и проведем через них прямую линию. Определим входящие в формулу (2.31) ве­ личины

6 = arctg [ ( | / l + 2 . i j g . 0 , 7 -

— 0,81э)х 1,743j =82,84°;

sin 26 = 0,247; cos 26 = — 0,969; sin 2 (6—<p)= 0,995;

cos 2 (6—q>)= — 0,099; cos2 (6— ф) = 0,450;

= 1,2 — 1,2Я = 1,2 (1 —Я);

B, = 2 U,UO0,247—0,969—0,099=8,81.

Подставим полученные значе­ ния величин и исходные данные в формулу (2.31), в результате получим

Р= 16-0,05 ( l , 1 - 1 ,2 - ^ g p ) ,

или

давлений.