Механика подземных сооружений в примерах и задачах

речной деформации к упругой продольной:

коэффициент, поперечной де­ формации, равный отношению

общей поперечной деформации к общей продольной:

общая объемная деформация

Общая (полная) деформация образца складывается из упру­ гой ее и остаточной (пластиче­ ской) eres:

Поскольку при строительстве подземных сооружений деформи­ рование пород происходит толь­ ко в одном направлении («на­ грузка»), а деформация раз­ грузки не осуществляется, то свойство идеально упругого те­ ла (упругой модели) восстанав­ ливать свою форму и размеры при снятии нагрузки (собствен­ но свойство упругости) в меха­ нике подземных сооружений в приложении к горным породам не является существенным и в подавляющем большинстве слу­ чаев во внимание не прини­ мается. Существенным является многократно проверенная ап­ проксимация действительной диаграммы напряжений пород при нагружении (1 на рис. 1.9) прямой линией 3.

Таким образом, основными ха­ рактеристиками массива пород при использовании упругой мо­ дели массива являются модуль общей деформации (или просто— модуль деформации) Е и коэф­ фициент поперечной деформа­ ции V.

-*•»

—W v ~ ^

Рис. 1.7. Структурная схема (а) и диа­

грамма напряжений (б), характеризую­ щие упругую модель

о

I -г 1

л

ь

тb+4b^

Рис. 1.8. Схема испытания образца породы на одноосное сжатие:

/ —образец до приложения нагрузки; 2 — деформированное состояние образца

Рис. 1.9. Характерные графики дефор­ мирования образца горной породы:

/ —продольные деформации при цикле «на­ грузка-разгрузка»; 2 —поперечные дефор­ мации; 3 —идеализированный график, соот­ ветствующий упругой модели

Всвете изложенного упругую модель массива пород правиль­ нее называть линейно деформи­ руемой моделью (средой).

Вприложении 1 приведены деформационные характери­ стики различных пород.

При пользовании таблицами приложения 1 для практических расчетов необходимо иметь в виду, что модуль деформации пород в массиве меньше, чем в образце. Причиной являются неоднородность и нарушенность пород, проявляющиеся на раз­ ных масштабных уровнях (влия­ ние масштабного фактора).

Даже в слаботрещиноватых по­ родах модуль деформации в мас­

сиве в 1,5— 2 раза меньше, чем в образце. В сильно трещино­ ватых породах модуль деформа­ ции может быть в 10 раз меньше, чем в образце.

Объемное напряженное со­ стояние (см. рис. 1.1,6) описы­ вается в упругой модели обоб­ щенным законом Гука:

Ez\ =Oi—v (02-f-^з).

Суммируя левые и правые части равенств (1.22), легко по­ лучить известное соотношение

где k — коэффициент объемного

сжатия:

Часто бывает необходимо ре­ шать обратную задачу, т. е. определять напряжения по из­ вестным деформациям. Выраже­

ния дйя напряжений можно по­ лучить из выражения (1.22):

с8= 2G |f«8 + l - 2 v C0 -

G— модуль сдвига— характе­

ристика массива, определяемая через известные Е и v по фор­

муле

(1.26)

° ~ 2 (1-ИГ

Обобщенный закон Гука для плоского напряженного состоя­ ния (см. рис. 1.4) имеет вид

Анизотропная упругая модель мас­

сива пород отличается от рассмотрен­ ной выше изотропной модели тем», что учитывает изменение свойств мае- сива в различных направлениях. Напри­

мер, для пород с четко выраженной сланцеватостью (слоистостью) отме­ чается различие модулей деформации по направлениям вдоль и поперек слоистости.

Анизотропные среды изучает теория упругости анизотропного тела, осно­ воположником которой является проф. С. Г. Лехницкий. В самом об­ щем случае анизотропная среда ха­ рактеризуется 18 независимыми кон­ стантами (напомним для сравнения, что изотропная среда характери­ зуется только 2 константами (Е и v).

Самой простой анизотропной мо­ делью массива пород является

трансверсально-изотропная (транс-

тройная) среда. Эта среда характери­

зуется постоянством свойств в раз­ личных направлениях в плоскости изотропии, совпадающей с пло­

скостью x'zf (рис. 1.10), и отличаю­

щимися свойствами в направлении оси х \ которая является осью упру­

гой симметрии среды.

Транстропная среда может служить моделью массива однородных сланце­ ватых пород, а также, в ряде слу­ чаев,— неоднородных мелкослоистых пород с выраженным напластованием, которые можно рассматривать как

квазиоднородные. Эта модель может

быть использована при наличии в массиве преобладающей системы тре­ щин.

Свойства массива пород как транстропной среды описываются пятью независимыми константами: Ег— мо­

дуль деформации при растяжении — сжатии в плоскости изотропии; Е2—

модуль деформации при растяжении— сжатии в направлении, перпендику­ лярном к плоскости изотропии (*'); Vi— коэффициент поперечной дефор­ мации, характеризующий расширение в плоскости изотропии при сжатии в той же плоскости; v2— коэффициент поперечной деформации, характери­ зующий расширение в направлении оси упругой симметрии х' при сжа­ тии в плоскости изотропии; 62— мо­

дуль сдвига в плоскостях, перпенди­ кулярных к плоскости изотропии.

Для транстропной среды уравнения обобщенного закона Гука запишутся наиболее просто в системе координат х', у' и г' (см. рис. 1.10):

Eie'x = (о* —У,Оу)—е\гог\.

^2Ууг —^уг\

EiBy= (—\io'x +a'y) - e v 2a'z\

Модуль сдвига G2, который в ани­ зотропной среде не зависит от дру­ гих констант, может быть определен из испытаний образцов пород на сжатие в направлении, образующем

Рис. 1.10. Схема напряжений в транс­ версально-изотропной среде

угол ф с плоскостью изотропии (см. рис. 1.10), по формуле

„sin® 2-ф

(1.30)

где — модуль деформации образца, полученный в результате испытаний

В системе координат х, у, z (см. рис. 1.10), полученной из х', у', zf путем поворота вокруг оси у' (сов­ падающий с осью у) на угол ф, урав­

нения обобщенного закона Гука за­ пишутся следующим образом:

уXZ= а1Ъ°X+ а2Ь<Уу + ^35Gz+ аЬb^xzI

Уху = Cli& yz + АввТх у .

Коэффициенты деформации в// оп­ ределяются по формулам

Е&ц = cos4а + 0,25 (g— 2v*) sin* 2a-f-

+ e s in 4 а;

£ifli2= — Vi cos* a —v2 sin* a;

£iai3= —v2+

+0 ,2 5 (1 + 2 v2+ e — g) sin* 2a;

£ifli6 = f(l+V2)cos*a—

— (e + v 2) sin* a —0,5g cos 2a] sin 2a;

£ ifl22= i;

E1a2s= — v1sin* a —v2 cos* a;

£ ia 25 = — (Vi—V2) sin 2a;

^iflse= sin4a +

+ 0,25 (g—2 V 2) sin* 2 a + e cos4 a;

£ifla5= [(l+v2)sin*a—

•^ (e + v 2) cos* a + 0 ,5 g cos 2a] sin2a; £ ^ 4 4 = 2 (1 +V i) sin* a + g cos* a; ^ 4 4 = “ 0,5 [g—2 (1 +Vi)] sin 2a;

£ ia 55 = £"f"(l + 2 v 2+ e —g) sin* 2a; Ехйев = 2 (1 + Vi) cos* a + g sin* a,

(1.33)

где a — угол падения плоскости изо­ тропии (см. рис. 1.10, 1.12):

а = 90°— гр;

е

Ej_ Е2 ’

Величины пяти констант (Ег\ £ 2;

G2; Vi; v2) дают качественную оценку отклонений от теоретических соотно­ шений для изотропной среды: £ I = £ 2; Vi = v2; GI = (J2.

Степень анизотропии массива ха­ рактеризуется параметрами

V 1—Vl

(1.34)

Gi/Ga,

где т — g — 2va (l+ V i)

1 - 4

Степень анизотропии массива оце­ нивается отклонением численных значений указанных параметров от параметров изотропного массива:

/5=1; п = 2; 1=1.

тальных напряжений определяется коэффициентом бокового давления, который находится с использованием упругой модели массива:

Это соотношение легко полу­ чить из уравнений обобщенного

Трансверсально - изотропный массив. Рассмотрим весомый не­ нарушенный массив пород, мо­ делируемый транстропной сре­ дой, у которой плоскость изо­ тропии наклонена к оси х под углом а (см. рис. 1.10). Обоб­

щение гипотезы А. Н. Динника на рассматриваемый массив, т. е. выполнение условий

е<в> = е‘0, = - $ = Т« = Т* = 0 , (Ь37)

на основании выражений обоб­ щенного закона Гука (1.32) при­ водит к следующим компонентам начального поля напряжений массива (рис. 1.12):

т2 = W * ; тд#= т{в =0.

Здесь Хх— коэффициент бокового

давления в массиве в направле­ нии вкрест простирания плоскости изотропии:

кАяАь— А,Ау

давления в массиве в направле­

Рис. 1.11. Компоненты начального поля напряжений в нетронутом массиве

Рис. 1.12. Компоненты начального поля напряжений в массиве, моделируе­ мом трансверсально-изотропной средой

нии по простиранию плоскости изотропии:

А9= а12а6Ь—a15a26; Л4=ДцДбб—a16aSi;

Ab= Оаа^бв ^%bazb\

а,у— коэффициенты обобщенного закона Гука (1.32).

Рис. 1.13. Графическое изображение измеренных горизонтальных напряже­ ний в массивах пород на рудниках:

ф— угол наклона слоев к вер­ тикали.

Угол наклона главных осей начальных напряжений к осям координат в этом случае опре­ деляется формулой

0*в>+а{,в> я 1 9 + 0 ,1Я, МПа, (1.47)

где Н — глубина, м.

На рис. 1.13 показано гра­ фическое изображение измерен­ ных горизонтальных напряже­ ний в массивах пород на рудниках Кольского полуостро­ ва и Средней Азии. Горизон­ тальные тектонические напря­ жения в массиве обычно неоди­ наковы в разных направлениях. На одном из рудников Казах­ стана на основании экспери­ ментальных исследований уста­ новлены следующиесоотношения для компонентов напряжений (МПа):

o f = yH-

При землетрясении в массиве пород распространяется два ви­ да упругих волн (рис. 1.14): продольные (волны растяжения-

сжатия Р) и поперечные (волны

сдвига S). Скорости распростра­ нения указанных волн разные, они составляют

1 — V

Vp =

(1 + v) (1 — 2v)

(1.49)

/ 2 y (l+ v )

=vpY -w = k ' (K50)

где g — ускорение свободного

падения тела.

Сейсмические волны отли­ чаются большой длиной, суще­ ственно превышающей размеры поперечных сечений подземных сооружений, вследствие чего за­

дача расчета подземных соору­ жений на сейсмические воздей­ ствия сводится к решению двух квазистатических задач (приме­ нительно к двум видам волн, рис. 1.15). Динамическое поле

напряжений в массиве заме­ няется эквивалентным квазистатическим, вызываемым дейст­

вием экстремальных значений нормальных и касательных на­ пряжений, приложенных на бесконечности и определяемых выражениями

a max— ± ■пГ* A K iy V p T 0K h = ± min

(1.51)

ттах = ± тп- AKiyvsT0Kfi = ± S t

(1.52)

где A — условное сейсмическое

ускорение частиц пород в долях ё (£— ускорение свободного па­ дения); коэффициент А прини­

мает значения 0,1; 0,2; 0,4 со­

ответственно для расчетной сей­ смичности 7, 8, 9 баллов; К х—

коэффициент, учитывающий до­ пускаемые повреждения обделок

сейсмологических исследований, а при их отсутствии принимае­

Заметим, что произведение коэффициентов А К Хравно коэф­ фициенту сейсмичности kc.