Механика композитных материалов N2 2006
..pdfЛАТВИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
LATVIAN ACADEMY of SCIENCES
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
MECHANICS
of COMPOSITE MATERIALS
2006 • T. 42 • 2 • 145— 282
Март—апрель March—April
Выходит 6 раз в год с января 1965 г. Issued since 1965, bimonthly
ЛАТВИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТИТУТ МЕХАНИКИ ПОЛИМЕРОВ РИГА
ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР В. П. Тамужс EDITOR-IN-CHIEF V. Р. Tamazs
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
М. М. Калнинь, Р. Д. Максимов, Р Б. Рикарде, Г А. Тетере, А. К. Чате, Ю. О. Янсонс (зам. главного редактора)
EDITORIAL BOARD
М. М. Kalnins, R. D. Maksimov, R. В. Rikards, G. A. Teters, A. K. Chate, J. O. Jansons
РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ
X.Альтенбах (Германия), С. А. Амбарцумян (Армения), Л. Берглунд (Швеция),
А.Богданович (США), В. В. Болотин (Россия), Г А. Ванин (Россия), Я. Варна
(Швеция), В. В. Васильев (Россия), А. Н. Гузь (Украина), |
А. Дуда (Германия), |
||||
И. В. Кнетс (Латвия), В. В. Коврига (Россия), И. Г Матис (Латвия), С. Т Милейко |
|||||
(Россия), Т. Н. Миллер (Латвия), В. Г Пискунов (Украина), Ю. М. Плескачевский |
|||||
(Беларусь), Б. Е. Победря (Россия), В. А. Поляков (Латвия), Г |
Г |
Портнов (Латвия), |
|||
Р. Талрея (США), К. С. Хан (Корея), О. Р. Юркевич (Беларусь) |
|
|
|||
ADVISORY BOARD |
|
|
|
||
Н. |
Altenbach (Germany), |
S. A. Ambartsumyan (Armenia), L. |
Berglund (Sweden), |
||
A. Bogdanovich (USA), V |
V Bolotin (Russia), G. A. Vanin (Russia), J. Varna (Sweden), |
||||
V. V |
Vasilyev (Russia),A. N. Guz ’ (Ukraine), A. Duda (Germany), |
I. V Knets (Latvia), |
|||
V |
V |
Kovriga (Russia), I.G. Matlss (Latvia), S. T Mileiko (Russia), |
T N. Millers (Latvia), |
||
V. |
G. Piskunov (Ukraine), |
Yu. M. Pleskachevskij (Belarus), В. |
E. |
Pobedrya (Russia), |
|
V. A. |
Polyakov (Latvia),G. G. Portnov (Latvia), R. Talreya (USA), |
K. S. Hem (Korea), |
|||
O. R. |
Yurkevich (Belarus) |
|
|
|
|
Журнал издается на английском языке Springer Science+Business Media, Inc. (США,
ISSN 0191-5665) и аннотируется в следующих изданиях:
The Journal is published in English by Springer Science+Business Media, Inc. (USA,
ISSN 0191-5665) and is abstracted or indexed in:
Material Science Citation Index,
Reaction Citation Index,
Chemical Abstracts, Chemical Titles,
ISMEC, Applied Mechanics Reviews,
INSPEC— Physics Abstracts, PRA Report:
Polymer Contents, and Current Contents
Engineering: Computing and Technology SciSearch,
and Applied Sciences,
Engineering Materials Abstracts & Metals Abstracts
Rapra Abstracts Database,
Engineered Materials Abstracts,
METADEX (METals Abstracts/Alloy InDEX).
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ,— 2006,— |
Т. 42, № 2. |
— С. 147— 164 |
MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS. — 2006,— |
Vol. 42, No. 2. |
— P. 147— 164 |
А. Б. Миткевич, А. А. Кульков
Центральный научно-исследовательский институт специального машиностроения г. Хотьково, Московская обл., Россия
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ТЕХНОЛОГИЯ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ТОРООБРАЗНЫХ ОБОЛОЧЕК ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
А. В. M itkevich and A. A. Kul'kov
DESIGN OPTIMIZATION AND FORMING METHODS FOR TOROIDAL
COMPOSITE SHELLS
Keywords: toroidal shells, forming methods, design optimization, equilibrium shapes
Based on the example of a toroidal membrane, a model for calculat ing the winding trajectory and the shape of a shell billet and its trans formation into given surface elements, as well as for calculating the shape of the membrane under an internal pressure loading, is devel oped. The problem of choosing optimum design variables and manu facturing parameters of the membrane is also investigated.
Ключевые слова: оболочки торообразные, технология формооб разования, проектирование оптимальное, формы равновесные
На примере торообразной мембраны, поверхность которой пред ставляет элементы плоскости, конуса и кругового тора, разрабо тана модель расчета траектории намотки и формы оболочкизаготовки, трансформации ее в заданные элементы поверхнос ти и расчета формы мембраны при нагружении внутренним дав лением. Исследованы вопросы выбора оптимальных конструк тивных параметров мембраны и технологических параметров ее изготовления.
Настоящая работа носит обзорный характер и отражает состояние про блемы проектирования и изготовления торообразных оболочек из компо зитных материалов, выполненных методом намотки. Основные результаты получены в ОАО ЦНИИСМ. Цель работы — выделить ключевые проблемы проектирования и технологии изготовления данного класса оболочек, име ющих уже сегодня практическое внедрение и перспективу в будущем. Не которые литературные источники, использованные авторами, малодоступ ны специалистам, поэтому основные моменты расчетных моделей обсуждены более подробно.
Сетчатая расчетная модель оболочки является на сегодняшний день об щепринятой при проектировании оболочек давления из однонаправленных композитных материалов [1—3]. Это обусловлено не вычислительными сложностями, определяющими применение более простой модели, когда од нонаправленная ортотропная лента заменяется системой гибких не связан ных между собой нитей, а тем, что сетчатая модель объективней отражает по следствия растрескивания связующего при нагружении [3].
Наибольшее применение имеют оболочки вращения, выполненные сим метричной намоткой с углами армирования ±q>. Траектории намотки, как пра вило, совпадают с геодезическими линиями на поверхности. В общем случае осесимметричного нагружения нагрузка зависит от осевой координаты. К та ким нагрузкам относится гидростатическое давление и вес оболочки. Будем считать нить нерастяжимой, тогда начальная равновесная форма сетчатой оболочки соответствует исходной недеформированной форме в теории обо лочек.
Уравнения равновесия безмоментной оболочки вращения, нагруженной поверхностными нагрузками q\, а2, н связь мембранных усилий Г], Т2 с на тяжением нитей t имеют общепринятый вид [2—4]:
1 ^ |
cos& |
, |
А |
( ^ i ) |
- ------ Т2 +q 1 =0, |
||
г as |
г |
|
|
^ _tfrcos(p |
12 |
tit sin cp tg ф |
|
11 ----------- |
, |
----------------- , |
|
|
2кг |
|
2nr |
( 1)
(2)
где n — количество нитей, образующих оболочку. В случае действия осе симметричных нагрузок — постоянного гидростатического давления и мас совых сил — имеем
<7l=Pn sin3, qn = р 0 + y z - p n cos&, |
(3) |
где р п — удельный вес единицы поверхности оболочки; у — удельный вес жидкости; р 0 — постоянное давление.
Для оболочки вращения, выполненной намоткой, в общем случае величинарп будет переменной и определяется соотношением
|
л _ |
" /н Р н |
5 |
|
^ п “ 7 |
|
|
|
2кг cos(p |
|
|
где/н |
площадь поперечного сечения нити; р н — удельный вес материа |
||
ла нити. |
|
|
|
Вместо первого уравнения системы (1) можно использовать его интег ральную форму в виде суммы проекций на ось симметрии сил, приложен ных к конечному участку оболочки [4]:
148 |
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ.— 2006.— T. 42, *fo 2, |
|
2шТ1sin$ - F , |
(4) |
|
где |
|
|
5 |
|
|
F = F a + J(«qn cos & - |
<7i sin 9> )2rcr ds\ |
|
^ |
|
(5) |
Здесь F — суммарная осевая сила на выделенную часть оболочки. С учетом |
||
соотношения (3) выражение (5) можно представить в виде [5] |
|
|
F = F0 +np0( r 2 - r 2)+ny[z(r)r2 - z ( r 0)r2] - y V - G , |
(6) |
|
где V, G — внутренний объем и вес оболочки, заключенные в пределах ин |
||
тегрирования. |
|
|
С учетом (2) выражение (4) запишем |
как |
|
F = /7/sinS |
coscp. |
(7) |
Рассмотрим второе уравнение системы (1). Для оболочки вращения
имеем |
|
|
|
|
|
|
D |
ds |
D |
г |
dr |
п dz |
. 0 |
1 |
dS |
2 |
sin & |
Л |
ds |
|
Тогда с учетом (2) получим |
|
|
|
|
||
coscp |
r |
± = |
Rl cos$, |
in». |
d& |
d& |
(g) |
Система уравнений (8) определяет равновесную форму оболочки из не растяжимых нитей под действием осесимметричной нагрузки. В эту систе му входят две функции qn и г, зависящие в общем случае от координаты 0 .
Для получения закона изменения натяжения нитей подставим выраже ния (2) в первое уравнение системы (1). Тогда после преобразований
получим |
|
|
|
dt |
d , . |
ч 2 щ хг |
= 0. |
г coscp — |
—Гtg(p — (rsincp) + ----1— |
||
da |
ds |
n |
(9) |
Далее ограничимся рассмотрением геодезической намотки, для которой г sin ф = const. Тогда из уравнения (9) с учетом (3) получим закон изменения натяжения нитей
df_ = _R] Рн/н sinS d& cos2 ф
Рис. 1. Схема торообразной оболочки.
В случае пренебрежения массовой нагрузкой (q j =0) на основании (9) имеем t = /0 = const. Таким образом, если в равновесной конфигурации неве сомой сетчатой оболочки, нагруженной постоянным и*гидростатическим давлением, нити расположены по геодезическим траекториям, то натяже ние по длине нити будет постоянным.
Торообразные сетчатые оболочки вращения обладают общим свойством: для них имеется сечение г = га Ф0, в котором sin & =0, F =0. Это сечение бу дем называть вершиной оболочки (рис. 1). Торообразные оболочки могут быть как замкнутыми, так и незамкнутыми. Рассмотрение равновесных форм замкнутых торов начнем для случая нагружения постоянным внутренним давлением. В этом случае на основании (6), (7) первое уравнение системы (8)
можно представить в виде |
|
|
d sin& |
2rdr |
> dr |
sin Э |
- tg |
Ф r |
которое интегрируется в квадратурах [4] |
|
|
sin 9 = A r 2 - r 02)^ |
||
|
coscp |
( 10) |
. coscp m |
|
где постоянная A = —----Ц- определяется из граничных условии на экваторе |
|
г 2 - |
г ^ |
' т |
г о |
тора, г = , sin & = 1, ф =<p,„. |
|
Введем минимальный радиус тора ra (sin $ = - 1) и безразмерные парамет ры р = r/rm, £ = z /гт. Тогда на основании (10) можно установить связь меж-
ду параметрами тора и углом намотки на экватореср т: |
|
sin2 ф т =----- Ро(1+Ро ~ 2Ро)___ |
|
(р20 - р а)2 +\ +р 2а - 2 р 20 |
(11) |
150 |
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ,— 2006,— T. 42, № 2. |
|
Уравнение профиля равновесного тора в дифференциальной форме име ет вид dC^Idp =tg & и для рассматриваемой геодезической намотки с заменой аргумента интегрируется в квадратурах:
с = |
р о - 1 -р?, |
F(k,X)+(2 +p l - 2 p 20) |
1/2 |
Е{к,Х\ |
|
(2 + р 2 - 2р 2)>/2 |
|
||||
|
|
|
( 12) |
||
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
i 2 = .. ' ~ Р° ; |
X = arcsin ' . v |
f |
|
|
|
2+Ра-2р~0 |
л 2 |
|
|
|
|
1 - Р а. |
|
|
||
Е(к,Х), Е(к,Х) — эллиптические интегралы I и II рода.
В уравнение (12) входит неизвестный параметр р 0, который в свою оче редь связан соотношением (11) с углом армирования на экваторе ср т. Значе ние параметра р 0 можно определить из условий замкнутости тора, эквива лентного условию симметрии, С>{ра) =С(1) =0. В этих сечениях Э = ± 7г/2.
Тогда на основании (12) запишем соотношение |
|
|
— °2 1 Р° и |
К (к )Н 2 +р 2а - 2 р о)У2Е(к)=0, |
|
(2+Ра - 2Ро) |
2 |
(13) |
где К(к ), Е{к) — полные эллиптические интегралы I и II рода. |
||
Решая трансцендентное |
уравнение (13) для заданного |
параметра р а, |
можно определить значение р 0 и по формуле ( 11) — соответствующее зна чение (pw. Расчеты по формуле (13) показывают, что с достаточной сте пенью точности при р а > 0,6 равновесный тор можно считать круговым,
Ро = 0 +Р а)/2-
Задача о равновесной форме тора при р а = 0,65 впервые рассмотрена в работе [6], а уравнения (12), (13) получены в [7]. На рис. 2 представлены рав-
Рис. 2. Равновесные формы торов при постоянном внутреннем давлении и разных значениях параметра га / гт .
Рис. 3. Зависимость угла намотки на экваторе (рт от параметра га/гт для торов (см. рис. 2).
новесные формы торов, а на рис. 3 — зависимость ф т для разных значений
ra h т *
Натяжение в нитях тора при геодезической намотке будет постоянным и
на основании (6), (7), (10) определяться формулой t = ЯУУотР-Ро)
п СОБф т
Рассмотрим равновесные формы торов, когда нагрузка будет зависеть от осевой координаты. В этом случае торы должны опираться на основание [2]. Ограничимся случаем горизонтального основания. Практическое значение могут иметь задачи для торов, заполненных жидкостью и нагруженных до полнительным напором, и оболочек типа аэростатов, когда нельзя пренеб речь их массой.
Введем систему координат и обозначения в соответствии с рис. 4. Тогда уравнения (8) в безразмерном виде для случая гидростатического давления будут иметь вид
Рис. 4. Расчетная схема для торов, нагруженных гидростатическим давлением и опирающихся на плоское основание.
1 _ |
|
2р 2(£ж - 0 _______ sin 2 ср |
sin & |
||
Pi |
_ |
^ ( р 2 - sin2 ф W) |
Р(Р —sin |
ср ) |
|
|
ч |
d |
|
|
|
|
|
— =piCos9; |
— |
= р , sin9-. |
|
|
|
</9 |
d& |
|
|
В случае действия наддува и массовых сил выражение для кривизны торовой оболочки и натяжения запишем в виде
1 _ |
2р |
2 |
|
_ |
р |
о |
cos& |
9 |
|
|
|
sin~cpw sinS |
|||||
Pl |
"Sin2 9 m)1/2 |
---------- (р 2 - sin2 ф m) P(p2 -sin 29 m ) |
||||||
пг„,р0 |
|
|
|
Р н /н гт |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
. |
|
p 2 sin 9 |
• |
|
|
|
“7^ |
P ]rmP wJ н |
9 |
^ |
|||
|
|
d& |
|
|
P |
|
“ Sin“ cpm |
|
Граничные условия краевой задачи следующие: |
|
|||||||
& = -я /2, |
p = p e, С=0, |
t = t0- |
9 -п/2, р=1; |
9=±гс, С *= £ с. (14) |
||||
Особенностью сформулированной краевой задачи является то, что кон станты tQи р,„ заранее неизвестны и должны варьироваться в процессе чис ленного решения для удовлетворения граничных условий (14). В работе [8] для решения этих задач применен метод “стрельбы” в сочетании с методом Ньютона. На рис. 5, 6 представлены конфигурации равновесных торов, по лученные численно, для разных значений р 0 = у(гж - z Q). Случаи р 0 = 0 в
Рис. 5. Равновесные формы торов, опирающихся на горизонтальное основание
при действии гидростатического давления, rm = 1 м: 1 — n tQ = 1913,5 Н, ф,„ |
= |
= 23°, р0 = 904,4 Па; 2 — n t0 = 348,5 Н, cpw = 24,6°, р0 = 52,3 Па; 3 — n tQ |
= |
= 136,5 Н, ф,„ = 25,3°, р 0 = 0 Па. |
|
Рис. 6. Равновесные формы торов, опирающиеся на горизонтальное основание при действии постоянного внутреннего давления и собственного веса, rm = 1 м,
/ нр н = 10,78 Н/м: 1 — Po/t1 = 8,82 Па, фт = 21,03°, tG = 6,36 Н; |
2 — р0!п = |
= 5,88 Па,ф,„ = 21,07°, tQ= 2,38 II; 3 — р а/п= 3,65 Па, ф,„ =21,6°, |
=0,01 Н. |
первой задаче и t(rc)= 0 во второй являются предельными. Изменение натяжения нитей при действии наддува и массовых сил показано на рис. 7.
При численном решении нелинейных краевых задач естественно возни кает вопрос о точности полученных результатов. В работе [8] с помощью со отношения (6) найдены интегральные критерии, проверка которых на завер шающем этапе расчета (на основании) позволяет судить о сходимости задачи и точности полученных результатов. В случае гидростатического на гружения для параметров тора на основании этот критерий имеет вид
п(2ж~ z o + H )(rb ~ rc ) = VТ>
где Н — высота тора; VT — внутренний объем тора. Для оболочки, нагру женной весовой нагрузкой и давлением наддува, должно выполняться соот ношение пр0(г^ - г с2) = Ст , гдеСт — вес тора.
Рис. 7. Изменение натяжения нити в зависимости от угла 9 для торов (см. рис. 6).