Механика композитных материалов N2 2006
..pdfлиния идеального совпадения лежит в пределах 95% доверительного интервала.
5. Сравнение с формулой Споэлстра—Монти (Spoelstra—Monti)
Рекомендации по наружному упрочнению и нормы расчета, установлен ные federation intemationale du beton [16], и справочное руководство ACI [17] используют подход, разработанный в [18].
Соответствующая формула для предсказания прочности бетона, обмо танного волокнисто-армированным пластиком, имеет вид [16]
f c c = f ,
со у |
( 10) |
где f сс — предел прочности бетона с обмоткой в испытаниях с использова нием тефлоновых прокладок, т.е. прочность, реализуемая в колоннах; f со — предел прочности бетона без обмотки в испытаниях стандартных ци линдров без тефлоновых прокладок; / / — предел поперечной прочности бетона.
Формулу (10) можно интерпретировать в терминах пути нагружения в координатах нормированных сжимающего a z j f co и поперечного а / / / со напряжений
^ = 0,2+3|И.
f СО |
Vf СО |
(11) |
Разрушение происходит при с z =/ сс, когда напряжение в композитной оболочке достигает критического значения а * , а нормированное попереч
ное напряжение в бетоне а / — значения //:
/со fcoR
и формулу (10) можно переписать в виде, аналогичном (9):
f сс ~ / |
b^s )* |
(12) |
Зависимость (11) изображена на рис. 5 вместе с экспериментально уста новленными путями нагружения обмотанных образцов и линией прочности бетона с обмоткой. Видно, что зависимость (11) занижает осевое напряже ние. Сравнение предсказываемых и экспериментальных значений прочнос ти образцов бетона всех марок с обмоткой показано на рис. 8. Хотя уравне-
Рис. 8. Сравнение предсказываемых f cc (на основе формулы Споэлстра—Монти с коэффициентом уменьшения (12)) и экспериментальных f cc значений прочности бетона с обмоткой. (....) — идеальное соответствие; (-----) — 95% доверительный интервал; (— ) — линейная регрессия. Остальные обозначения те же, что на рис. 3.
ние (12) приводит к заниженному значению прочности, его использование более надежно для практических применений.
Заключение
1) Пути нагружения образцов бетона всех марок с обмоткой сводятся к обобщенной кривой, в нелинейной области тяготеющей к линии прочности неармированного бетона вследствие влияния бокового давления.
2) Данные по прочности для бетона с обмоткой следует нормировать к прочности неармированного бетона, испытанного без применения тефлоновых прокладок.
3)Для прогнозирования прочности бетона с обмоткой рекомендована формула (7).
4)Экспериментально измеренное предельное поперечное напряжение значительно меньше, чем предсказываемое на основе прочности волокон, данной производителем, и прочности, измеренной в испытании методом жестких полудисков. Поэтому в формулу для предсказания прочности введен коэффициент уменьшения сь.
5)Прочность бетона с обмоткой, предсказываемая на основе формулы Споэлстра—Монти, меньше найденной экспериментально.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. De Lorenzis L. and Tepfers R. Comparative Study of Models on Confinement of Concrete Cylinders with Fiber-Reinforced Polymer Composites // ASCE J. of Composites for Construction. — 2003. — August— P 219—237.
176 |
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ.— 2006.— T. 42, № 2. |
2.Tamuzs V., Chi-Sang You, and Tepfers R. Experimental Investigation of CFRP-confmed Concretes under Compressive Load. — Institute of Polymer Mechanics, University of Latvia, Aizkraukles 23, LV-1006 Riga, Latvia and Division of Building Technology, Chalmers University of Technology, S-412 96 Goteborg, Sweden, December 2001. — P. 68.
3.Tamuzs V., Tepfers R., Chi-Sang You, Rousakis T, Repelis I., Skruls V., and Vilks U.
Behavior of concrete cylinders confined by carbon-composite tapes and prestressed yams // Mechanics of Composite Materials. 1. Experimental data (in Russian). — 2006.— No. 1. — P.21—44.
4.http://www.pmi.lv/Assets/Files/CFRP-confmed_Concrete.pdf.
5.Imran I. and Pantazopoulou S. J. Experimental study of plain concrete under triaxial stress//ACI Materials J .— 1996. — Vol. 93, No. 6. — P. 589—601.
6.Sfer D., Carol I., Gettu R., and Etse G. Study of the behavior of concrete under triaxial compression // J. of Eng. Mech. Division ASCE. — 2002. — Vol. 128, No. 2. — P. 156— 163.
7.Kotsovos M D. and Newman J. B. Generalized stress-strain relations for concrete// J. of Eng. Mech. Division ASCE. — 1978. — Vol. 104, No. 4. — P. 845—856.
8.Li Q. and Ansari F. Mechanics of damage and constitutive relationships for high-strength concrete in triaxial compression // J. of Eng. Mech. Division ASCE. — 1999. — Vol. 125, No. 1. — P. 1— 10.
9.Bellotti R. and Rossi P. Cylinder tests: experimental technique and results. Materials and Structures. — RILEM 24, 1991. — P. 45—51.
10.Smith S. S., Wiliam K. J., Gerstle К. K., and Sture S. Concrete over the top, or: is there life after peak // ACI Materials J. — 1989. — Vol. 86, No. 5. — P. 491—497.
11.Xie J., Elwi A. E., MacGregor J. G. Mechanical properties of three high-strength concretes containing silica fume // ACI Materials J. — 1995. — Vol. 92, No. 2. — P. 135— 145.
12.Park H. and Kim J.-Y. Plasticity model using multiple failure criteria for concrete in compression // Int. J. of Solids and Structures. — 2005. — Vol. 42. — P. 2303—2322.
13.Fardis M. N. andKhalili H. Concrete encased in fiberglass-reinforced-plastic // J. Am. Concr. Inst. Proc. — 1981. — Vol. 78, No. 6. — P. 440—446.
14.Betonghandbok, Material (Concrete handbook, Materials; in Swedish) Editors:
Ch. Ljungkrantz, G. Moller, N. Petersons, Svensk Byggtjanst, Solna, 1994. —
P.379—380.
15.Tamuzh V P Azarova M. T Bondarenko V M., Gutans Yu. A., KorabeVnikov Yu. G., Pikshe P. E., and Siluyanov O. F. Failure of unidirectional carbon-reinforced plastics and the realization on the strength properties of the fibers in these plastics // Mechanics of Composite Materials. — 1982. — Vol. 18, No. 1. — P 27—34.
16.fib/CEB-FIP bulletin 14. Externally bonded FRP reinforcement for RC structures, fib, Task Group 9.3 FRP reinforcement for concrete structures, convenor Thanasid Triantafillou, federation intemationale du beton, Lausanne, July 2001. — 130 p.
17.ACI Committee 440.2R-02, (2002). Guide for the Design and Construction of Externally Bonded FRP Systems for Strengthening Concrete Structures. American Concrete Institute, Farmington Hills, Michigan 48333-9094. July 2002. — 45 p.
18.Spoelstra M R. and Monti G. FRP-Confined Concrete Model // ASCE J. of Composites for Construction. — 1999. — Vol. 3, No. 3. — P. 143— 150.
Поступила в редакцию 23.03.2006 Received March 23, 2006
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ.— 2006.— Т. 42, № 2. |
|
— С. 179— 192 |
MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS. — 2006.— Vol. 42, No. |
2. |
— P. 179— 192 |
*Ф*
Ю.Парамонов , Я. Андерсоне
*Авиационный институт. Рижский техническийуниверситет, Рига, LV-I019 Латвия **Институтмеханики полимеров. Латвийскийуниверситет, Рига, LV-I006 Латвия
НОВОЕ СЕМЕЙСТВО МОДЕЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОЧНОСТИ ВОЛОКОН В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ИХ ДЛИНЫ
Yu. Paramonov and./. Andersons
A NEW MODEL FAMILY FOR THE STRENGTH DISTRIBUTION OF FIBERS
IN RELATION TO THEIR LENGTH
Keywords: composite, fiber, strength, weakest-link model, distribu tion function
Based on the weakest-link model, a family of fiber strength distribu tions is investigated assuming a two-stage failure process. At the first stage, a weakest link is formed (instantly or gradually), but at the second one, the fracture of this link takes place. The gradual accu mulation of flaws is described with the aid of Markov chain theory. The adequacy of the models considered is verified by checking them against experimental strength data for E-glass and flax fibers of vari ous lengths. It is found that the models are not less accurate, but are even better in a number of cases, than the model based on the known modified Weibull distribution with a power-law relation be tween fiber length and the scale parameter.
Ключевые слова: композит, волокно, прочность, модель сла бейшего звена, функция распределения
Исследовано семейство распределений прочности волокон, основанных на идее слабейшего звена в предположении, что процесс разрушения состоит из двух стадий. На первой стадии происходит образование (мгновенное либо постепенное) сла бейшего звена, на второй — его разрушение. Процесс постепен ного накопления дефектов описывается с помощью теории цепей Маркова. Проверка адекватности моделей осуществлена по ре зультатам испытаний волокон Е-стекла и льна разной длины. Установлено, что степень согласования результатов, полученных по предложенным моделям, с экспериментальными данными не ниже, а в ряде случаев выше, чем по известной модификации распределения Вейбулла со степенной зависимостью парамет ра масштаба от длины волокна.
1.Введение
Впоследние годы композитные материалы широко применяются в сило вых и несиловых конструкциях общего машиностроения и в авиации (само леты А-350, А-380, Боинг-787). При изготовлении таких конструкций необхо димо знание законов распределения прочности волокон. Несмотря на то что работы в данном направлении были начаты еще в начале прошлого столетия [1], интерес к этому вопросу не ослабевает и по сей день. Наиболее сущест венный вклад в решение проблемы был внесен Вейбуллом [2], Даниелсом [3], Цвебеном [4, 5], результаты исследования которых используются для анализа прочности не только волокон, но и элементов более сложных конструкций. Для описания распределения прочности волокон сравнительно редко приме няют логнормальное распределение [6] и много чаще — распределение Вейбулла, позволяющее сравнительно легко объяснить масштабный эффект: уменьшение средней прочности при увеличении длины волокна. Если, на пример, параметры а и р0 кумулятивной функции распределения (КФР) про чности
^(■0 = 1 - exp[-(s/Po)a ]
соответствуют длине волокна /0, то при увеличении ее в (///0) раз, в соот ветствии с распределением минимума из (///0) случайных величин, КФР прочности описывается функцией
F (i ) = l- e x p K /// 0)(VPo)a ]-
Следовательно, в соответствии с распределением Вейбулла для произволь ной длины волокна
( 1)
изменяется только параметр р, который должен быть связан с параметром р0 следующим образом:
ln(P/P0) = -CV«) ln (///0)-
Однако в работах [7] и [8], появившихся почти одновременно, было показа но, что данное соотношение, как правило, не выполняется и что экспери ментальные результаты лучше описываются формулой
In (p/p о) = -У( l/cx) lti ( ///0 X
что соответствует КФР
F(.v) = l- e x p K ///0)Y(VPo)a ]> |
(2) |
где коэффициент у, как правило, меньше единицы.
Распределение (2) [получившее название "power law models" (см. [9])] и его модификации (для учета разброса диаметра волокон вместо длины ис пользуется объем) нашли широкое применение для описания эксперимен тальных данных (см., например, [10— 12]). Но его теоретическое обоснова ние (например, в [8]), на наш взгляд, недостаточно убедительно.
В работе [13] был предложен подход, объединяющий модель слабейшего звена и идею распределения дефектов по длине образца. К сожалению, дру гих независимых публикаций с информацией о практическом применении этой модели для обработки экспериментальных данных обнаружено не было.
Сходная идея учета распределения дефектов по длине волокна, но в иной математической формулировке, была рассмотрена в [14]. Результаты обработ ки данных о прочности волокон стекла разной длины показали, что предложен ная модель имеет примерно тот же уровень правдоподобия, что и модель (2), выигрывая в степени ясности теоретического обоснования и сохранении ли нейности модели слабейшего звена при изменении длины образца.
В настоящей работе наряду с применением упомянутой модели к иным экспериментальным данным рассматривается и ее альтернативный вариант. В этой новой модели предполагаем, что распределение прочности в сече нии, в котором развивается процесс разрушения, не зависит от длины образ ца, влияющей лишь на вероятность образования дефектного элемента. Ока залось, что степень правдоподобия этой модели в некоторых случаях выше, чем у предыдущей.
Все ранее рассмотренные модели предполагают как бы мгновенное раз рушение. Целесообразно попытаться учесть развитие разрушения во време ни, используя для этой цели, например, простейший аппарат теории цепей Маркова (точнее, теории дискретных процессов гибели и размножения). Здесь предпринята такая попытка с развертыванием во времени обоих ранее названных вариантов моделей. Обработка данных, описанных в [11, 12], по казала некоторое преимущество рассматриваемых моделей при их сравне нии с моделью (2).
Фактически предложено некоторое семейство моделей. Их математичес кая формулировка описана в разделе 2. В разделе 3 дано краткое описание экспериментальных данных, использованных для проверки работоспособ ности моделей. В разделе 4 описаны методы оценки параметров моделей, ре зультаты обработки экспериментальных данных и сравнение исследуемых моделей с моделью (2).
2.Математическая формулировка
2.1.Модель мгновенного разрушения при нескольких образовавшихся де фектах. Прочность образца, рассматриваемого как цепочка из п элементов длиной /] каждый, описывается этой моделью следующим образом [14]:
X _fi™ n(^i>Y2,--.,Yfc) |
ПРИ ^ >0> |
1 °° при К= 0, |
(За) |
MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS.— 2006,— Vol. 4" N. 2. |
181 |
где 7 j, К2,..., YK — прочности случайного числа элементов К, 0 < К < п, в которых образовались дефекты. Вместо бесконечно большого предельного значения можно было бы положить теоретическую прочность. Однако ис пользование принятого определения облегчает вычисление КФР случайной величины X , практически не изменяя ее значения, поскольку теоретическая прочность с вероятностью, близкой единице, больше экспериментальной.
Учитывая, что сила, действующая в каждом элементе цепочки, — вели чина постоянная, естественно принять биномиальное распределение слу чайного числа К. Будем полагать, что вероятность возникновения дефекта в отдельном элементе при напряжении х определяется функцией F0(x), а прочность элемента с дефектом — функцией Fj(x), зависящей от величины /] ( х = 1п(а), где а — действующее номинальное напряжение в образце). Тогда получим
к=О |
(36) |
где
Рк = ,,, . Рк {\~Р)" к , P = F0(x). к\(п - к)\
При достаточно большом п биномиальное распределение в (36) может быть заменено распределением Пуассона с параметром X = пр. Тогда
f c o - |
ехр<- ЛУ [1 - F x(x)]k }. |
к=О |
к\ |
Эта формула позволяет рассматривать функцию F](x) как независимую от длины элемента кумулятивную функцию распределения прочности в сече нии с дефектом, число сечений с дефектом имеет соответствующее распре деление Пуассона. При х —» оо функция F(x) стремится не к единице, а к 1-ехр(-/?) и, следовательно, применение такой аппроксимации приемлемо только в том случае, когда п достаточно велико. Экспериментальные дан ные лучше описываются модифицированной КФР
ехр(-А,) |
|
F{x) |
|
к=о ~к\ |
(Зв) |
которая, однако, оказалась практически эквивалентной, но не лучше модели (2) (см. [14]). Представляется между тем существенной “прозрачность” мо дели (3).
2.2. Модель мгновенного разрушения после образования хотя бы одного дефекта. В модели (3) предполагали равномерное по длине образца распре деление дефектов. Однако примем гипотезу о том, что это имеет место толь
ко в начальный период нагружения образца. Точнее, после образования сла бейшего звена в цепочке развитие процесса разрушения сосредоточивается только в этом звене и длина образца уже не имеет значения. Простейший ва риант такой модели будет соответствовать предположению независимости закона распределения прочности в элементе, в котором происходит разви тие этого процесса (в сечении, в котором возник критический дефект), от длины образца, определяющей лишь вероятность образования элемента с дефектом.
Математическая формулировка этой гипотезы имеет следующий вид:
х |
\ Y |
при |
т а х (/, , / 2, |
= 1, |
|
|
I 00 |
при |
т а х (/, |
, /„ ) = 0. |
(4а) |
Здесь /у, j = 1,...,л, — случайная величина, равная 1, если ву-м элементе об разовался дефект, и равная 0, если дефект не образовался; величина Y — прочность элемента, в котором развивается процесс разрушения.
Как и в предыдущем случае, вероятность возникновения дефекта в от дельном элементе при напряжении х определяется функцией FQ(X \ а про чность элемента, в котором развивается процесс разрушения, — функцией Fi(x):
F(x) ={ l - [ l - F 0(x)]n}F](x). |
(4б) |
2.3. Модель последовательного возникновения нескольких дефектов.
Процесс образования элементов с дефектом представим как нестационар ную цепь Маркова с (п + 2) состояниями, где п — число элементов в образце, а номер состояния (/ = 1,2,...,л + 1) на единицу больше числа образовавшихся элементов с дефектом. Состояние с номером (/? + 2) является поглощающим. Переход в это состояние означает разрушение образца. Матрица переход ных вероятностей для рассматриваемой цепи имеет общий вид
p 11 |
P n |
P 13 |
P23 |
Pl(/;+l) |
Pl(/;+2) |
0 |
P22 |
P23 |
P2 4 |
P2(n+\) |
P2(/7+2) |
0 |
0 |
P 33 |
P3 4 |
P2(n+\) |
P3(/J+2) |
0 |
0 |
0 |
0 |
P(n+\)(n+\) |
P(/7+l)(/;+2) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
Примем, что процесс постепенного роста напряжения при нагружении образца описывается возрастающей до бесконечности последовательнос тью л;],х 2,•••,*(,71- 1), х т,... Элементы матрицы Р на т-м шаге нестационар ной цепи Маркова являются функциями х т. Полагая саму последователь ность зафиксированной, для краткости изложения будем обозначать их как функции т. Вероятность возникновения дефекта в одном элементе при на
пряжении х т и условии, что дефект не образовался при напряжении лг(„7_1-), равна
Ь(,„) = Fo(*™ >-Fo(*(">-i)}
На шаге нагружения т во всех п элементах цепочки номинальное напряже ние х т одно и то же. Тогда вероятность образования г новых дефектов (О < г < к) из к элементов, в которых дефекты еще не возникли {к - п - s 9где s — число уже образовавшихся дефектов), т. е. вероятность того, что новое число дефектов есть t = s + г, равна
p st(m) =[6(/и)]г[1 - Ь{т))к~г к\/г\{к - г)!
Условная вероятность разрушения при напряжении х т отдельного элемен
та с дефектом, ранее не разрушившегося при напряжении |
— |
|
, ч |
(* т ) ~ ^l(^(w - l) ) |
|
q(m) = |
------------------------ —. |
|
^ — ^ l ( x (т-1) )
Соответствующая вероятность отсутствия разрушения хотя бы одного элемента при наличии t элементов с дефектами —
Вероятность совпадения описанных событий, которые будем считать не зависимыми (образование на пьм шаге г новых дефектов, отсутствие хотя бы одного разрушения), есть вероятность перехода из / = (s + 1)-го состояния (когда возникло уже s дефектов) в состояние j = / + г (когда возникло уже /-1 -hr дефектов):
P ij (m ) = p (i_V)(j_\}(>n)u
где г = j - i, i< j < n +1.
Условная вероятность попадания на пьм шаге в поглощающее состояние (разрушение) при наличии / дефектов —
П+1
j=i
Разумеется, Pij(m)= 0, если у < /, и Р(„+2)(п+2)(т) = 1
2.4. Модель последовательного образования хотя бы одного дефекта.
Во второй версии модели есть только три состояния. Первое соответствует отсутствию элементов с дефектом, второе означает наличие хотя бы одного элемента с дефектом, третье — поглощающее — означает разрушение образ ца. Соответствующие вероятности на пьм шаге определяются формулами