Механика композитных материалов N2 2006

Рис. 9. Схема намотки оболочки-заготовки: 1 — оправка; 2 — фильеры для нитей со шпуль вертлюга; 3 — расширитель ленты; 4 — вертлюг; 5 — шпули на вертлю­ ге (16 шт.); 6 — кромочные пряди; 7 — шпулярник; 8 — натяжитель кромочных прядей; 9 — чехол капроновый на шпулях вертлюга; 10 — фильеры для кромоч­ ных прядей; 11 — нити спирального армирования.

(1 + 8 н )^ = ( 1 + 8 9 )^ sin ^ ф + (1 + 8 | )^ COS ф .

у

С другой стороны, б 2 = — -1. Подставив последнее выражение в (15) и

г

учитывая, что в общем случае все параметры оболочки являются функция­ ми длины нити /, получим

В случае если нить нерастяжима (е н =0), а оболочка-заготовка является цилиндром, нити корда на которой уложены по геодезическим линиям (r=const, ф =const), то x ( l ) =Xo = const. В этом случае соотношение (16) определяет закон изменения угла в виде sm($T =rTx Q, называемого “шин­ ной геометрией” [1,4], широко применяемого при проектировании и расче­ те автомобильных шин. Так как эта терминология используется в литерату­ ре, то по аналогии соотношение (16) назовем обобщенной “шинной геометрией”, хотя по своей сути “шинная геометрия” отражает просто удоб-

Рис. 12. Зависимость углов у0 (7) и фпри г = а(2) и г - b (3) от параметра ф 0.

мотки является прямой, то она совпадает с геодезической линией, уравне­ ние которой в данном случае имеет вид

Величина углов намотки будет зависеть от выбора значения параметра цf 0. Введем угол у 0 — угол между отрезком прямой, совпадающей со спи­ ральной нитью, и осью вращения. Тогда между углами у 0 и у 0 имеется од­ нозначное соответствие, устанавливаемое зависимостью

В силу того что |cosv|;0|< 1, из (18) следует ограничение на величину у 0. При \\fQ= 0 уравнение (17) описывает коническую оболочку, а у 0 соответ­ ствует углу полураствора конуса. На рис. 12 представлены зависимости угла намотки ф от угла для двух сечений оболочки: z = 0, г - b и z = /?, г - а. Здесь же приведен и график изменения угла у 0. Из данных графиков следует, что для заданных размеров а, b, h имеется значение ф 0 = ф 0, при котором угол намотки ф(/7) максимален. Ему соответствует угол у0, опреде­ ляемый из (18). Кроме того, имеется значениеx\i0 =arccos(a /b \ при котором ф(А) = уо- В этом случае сечение г = а — центр гиперболоида. Примеры об­ разующих гиперболоида представлены на рис. 13.

Рассмотрим модель трансформации гиперболоида в элементы мембра­ ны. Уравнение образующей произвольной оболочки-заготовки вращения

Рис. 13. Форма образующей оболочки-заготовки при у0 = 28° (/); уа =у0 = 26° (2); у0 = 24° (2); 4 — конус.

В частности, для гиперболоида при v|/0 = vj/c запишем

где

Ы.Ь2 - а 2)Ч2

C~ ( b 2 * h 2 - a 2)42 '

Аналогично для трансформированной оболочки, полагая нить нерастяжи­ мой, имеем

Э т = const; участок кругового тора, для которого rT =R0 + tf0sinST (aQ— радиус тора, R0 — координата центра тора).

Для завершения расчета на основании уравнений (19) и (20) необходимо состыковать участки трансформированной поверхности и удовлетворить ее граничные условия. Эта процедура является чисто вычислительной в рам­ ках решения краевой задачи. В практическом плане в результате решения задачи определяется длина нити L на оболочке-заготовке и высота И.

Следующий этап расчета мембраны заключается в определении ее ко­ нечной формы при нагружении внутренним постоянным давлением. Так как исходная форма мембраны является существенно неравновесной, то до­ пущения о малости деформаций в 1? в 2 неприемлемы, за исключением де­ формаций нити в н. В деформированном состоянии траектории нитей будут негеодезическими, поэтому для общего случая произвольной оболочки-за­ готовки задача определения равновесной формы не может быть решена ана­ литически и допускает только численное решение. Исключением является

случай, когда нити на оболочке-заготовке уложены по меридиану ср = 0. В этом случае уравнение (16) удовлетворяется тождественно, а равновесная форма мембраны из нерастяжимых нитей выражается через эллиптические интегралы I и II рода и не зависит от формы оболочки-заготовки [8, 13]. Форма такой мембраны совпадает с конфигурацией радиально армирован­ ной шины. Для оболочки-заготовки в виде цилиндра (“шинная геометрия”) уравнение (11) при ф * 0 интегрируется в квадратурах

(Гт ~ ГЪ COS(p,„

ленно [4].

Система уравнений, описывающая деформированное состояние мембра­ ны (величины с индексом *), для общего случая оболочки-заготовки имеет вид

В эту систему входят параметры трансформированной оболочки, которые в свою очередь связаны с параметрами оболочки-заготовки.

Граничные условия краевой нелинейной задачи имеют вид

/ —0, z* = z T =0, г* =гт=Ьт, Э* =Э^т,

/ = L, z* = zT = —hT, г* =гт=ат.

Варьируемыми граничными условиями являются г*0 и 9 ^ На рис. 14

представлены все стадии формообразования мембраны, изображенной на рис. 8 для нерастяжимой нити. Параметры мембраны следующие: а= 15 мм; Ь = 86,5 мм; /7= 177,3 мм; ат=27,1 мм; Ьт=74 мм; hT =-60 MM;L= 196,7 мм.

На рис. 15 показано изменение углов армирования на этапе намотки оболочки-заготовки, трансформации ее в элементы мембраны и в равновес­ ном состоянии. Рис. 16, 17 иллюстрируют распределение натяжения в нитях

Рис. 14. Формообразование элементов мембраны из оболочки-заготовки и дефор­ мированное состояние мембраны при нагружении внутренним давлением: 1 — оболочка-заготовка; 2 — мембрана; 3 — деформированный профиль мембраны; 4 — деформированный профиль мембраны, опирающейся на цилиндрические по­ верхности.

мембраны и ее меридиональные и окружные деформации, которые достигают десятков процентов.

Как следует из данных рис. 14, мембрана при нагружении деформирует­ ся за пределы обоих радиусов закрепления. Один из способов улучшения характеристик мембраны заключается во введении цилиндрических опор­ ных поверхностей (см. рис. 14) с радиусами ат, Ьт. В этом случае в зоне кон­ такта $ * = ± 7 г/2 . Опорные поверхности позволяют примерно в два раза

уменьшить деформации мембраны и приблизительно на 30% уменьшить на­ тяжение в нитях (см. рис. 16, 17). Данный метод является чисто конструк-

Рис. 15. Изменение углов армирования на оболочке-заготовке (У), мембране (2) и в деформированном состоянии (5).

Рис. 16. Деформации мембраны при нагружении: 1 — меридиональные (sj); 2 — кольцевые (е2) при свободном деформировании; 3,4 — при опирании (E J, 82).

тивным. Вместе с тем можно поставить обратную задачу о минимизации на­ тяжения в нитях за счет управления конечной равновесной формы. Такая задача была рассмотрена в [8] для частного случая меридиональной намот­ ки ср = 0. Результаты исследований показали, что для мембраны минималь­ ного натяжения в местах закрепления Э* = ±тт/2; при этом должно выпол­ няться однозначное соответствие между параметрами рабочей части мембраны:

Рис. 17. Изменение натяжения по длине нити (10 = 2,07 Н): / — свободное дефор­ мирование; 2 — при опирании.