Механика композитных материалов N2 2006
..pdfEh Gy, МПа
Рис. 4. Изменение модулей упругости бетона £3(сг33 ) (/), Е\ (а 33 ) = Е2(а 33 ) (2) и Gj2(а 33 ) = G23(а 33 ) = G31 (а33 )(2) при его трехосном сжатии.
разгрузками, а на рис. 2 изображен соответствующий путь а п ( а 33) = =а 22(^33) его активного нагружения (без разгрузок) в пространстве напря жений. Видно, что линейно-упругие свойства материала постепенно дегради руют (наклон линий разгрузки все увеличивается) и появляются значитель ные остаточные деформации, которые будем называть пластическими. Выделив из суммарных деформаций в у = в у + в ?. их упругую часть в у пу
тем вычитания пластических составляющих в?., находим эксперименталь
ные диаграммы упругого деформирования в ^ ( а 33) =В22(сг33), в^3( а 33),
которые показаны точками на рис. 3. Принимая, что а = Р, из уравнения (20) находим, что а = 0,0732. В результате аппроксимации этих эксперименталь ных диаграмм уравнениями (24) получаем, что с* = 1,365, к\ =-2,2462, к2 = = 5,6291 Д 3 =к4 =к5 =к6 = 0 Д 7 = 0,3739, и = 0,00376 и v= 1,6549, а из (15)
Рис. 5. Изменение коэффициентов Пуассона бетона: v13(cr33 ) =v23(ст33 ) (/),
v 3 l ( Q 33 ) = V 3 2 (CT33 ) (2) И v i2 ( ст33 ) = v 2 l ( a 33 )(•*)•
Рис. 6. Сечение поверхности прочности бетона плоскостью z\ = 0 (CTI =0 2 )-
имеем Я] = 0,0516 МПа-1, я 2 = 0,0864 МПа-1, я 3 = 0,5453 МПа-1 |
Соответ |
|
ствующие аппроксимирующие кривые также показаны на рис. 3. |
|
|
В силу того что коэффициенты &3, /г4, к 5 и |
равны |
нулю, то |
Aj 122 = Л 2233 = Л 331ЬЛ1212 = Л2323 = Л 3131 согласно (22), и из (23) получа ем, что 01212 = 62323 = 03131- Константы упругости поврежденного при трехосном нагружении бетона можно выразить через компоненты тензора Q следующим образом:
|
|
Ех=Ег=о ^ |
*3=(W |
|
||
,, |
_ |
Cl 122 ,, |
_ |
03311 |
: V31= v32 |
03311 |
v12 —V21 “ |
—-----> v23 —v13 —— |
0 3333 |
||||
|
|
УПП |
|
УПИ |
|
|
|
|
G\ 2 -Grx —G-и — |
1 |
£1 |
|
|
|
|
T23 |
31 403131 |
2(l + v2l) |
|
|
Изменение этих констант в ходе нагружения показано на рис. 4 и 5.
Далее выясним, какую форму имеет поверхность прочности (2) рассмат риваемого материала. Для этого построим ее сечение плоскостью Zj =0 (а] = сг2) и девиаторными плоскостями z 3 = / j / V 3 = const в пространстве
Хэя—Вестергарда. Полагая с = с , , а = р и а 4 = 0 в (13) и переходя к пере менным Zj согласно (14), получаем, что сечение zj = 0, проходящее через гидростатическую ось z3, определяется семейством прямых
V3a1Ka | z3|+ o2|z2|- t - ^ a 3Ka ( - z 2 +V2z3)|-z 2 + V2z3|= с* ,
6
л/З
- V3<31Ka | z3|+ a 2| z2|+ — a 3Ka (V2z2 + z 3)|V2z2 + z 3|= c , ,
V3cr1Ka | z3|+ o2| z2|+ — a 3Ka (z2 +2л/2г3)|z 2 +2>/2z3|= c* ,
Рис. 7. Сечения поверхности прочности бетона девиаторными плоскостями z3 = О (/); 10(2); 20 (5); 40 МПа {4).
а девиаторные сечения образуются взаимным пересечением кривых
>/Зо, к а (z з )| z 31+ а 2 |
+ |
+ — а3к а (-л/Зг] - z 2 +V2z3)|-V3z! - z 2 + V2z3|= c», 6
V3oiKa (z 3)|z 3|+ a 2-J^12 +z2 +
+ — a3Ka (V3zj - z 2 + A/2Z 3)|-\/3Z] - Z2 + V2Z3| = C* ,
6
I---------- л/3
л/За1Ка(2з)|гз| + а2д/г^ +z^ + ^ - a 3Ka (V2z2 + Z3)|A/2Z2 + Z3|= C»,
V3aiKa (z3)|z3|+ a2^zf +z^ + ^ a 3Ka ( - z 2 +V2z3)|-z2 + V2z3|= c , ,
^0\Ka (23 )l z31 -*■a2"\jzf +z2 +
+— #3Ka (-\/3zi + Z2 T- 2V2z з )| -yfbz| ■bz’2 + 2*\/2z 31= c*,
^3^1к а ( 2з)17 з1 + a2']jz i + z 2 +
+оЗк а (—V3z] + Z2 + 2V3z3)|—s/3z] + Z2 + 2V2Z31—c* ,
где z3 = const.
Сечение zj = 0 графически изображено на рис. 6, а сечения z 3 = const — на рис. 7.
Работа выполнена при финансовой поддержке Латвийского совета по науке (проект № 05.1435).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Carol I., Rizzi Е., and Wiliam К. A unified theory of elastic degradation and damage based on a loading surface // Int. J. Solids Structures. — 1994. — Vol. 31, No. 20. —
P.2835—2865.
2.Carol /., Rizzi E., and Wiliam K. On the formulation of anisotropic elastic degradation. I. Theory based on a pseudo-logarithmic damage tensor rate // Int. J. Solids Structures. — 2001. — Vol. 38. — P. 491—518.
3.ТамужВ. П., Лагздынъш Л. Ж. Вариант построения феноменологической тео рии разрушения // Механика полимеров. — 1968. — № 4. — С. 638—647.
4.Лагздинь А. Модель деформирования дисперсно-разрушающихся упруго пластических однонаправленно армированных композитов // Механика композит, материалов. — 2001. — Т. 37, № 5/6. — С. 603—620.
5.Лагздинь А., Зилауц А. Упругое деформирование дисперсно-разрушающихся однонаправленно армированных композитов // Механика композит, материалов. — 2003. — Т. 39, № 6. — С. 719—736.
6.Lagzdiys A., Tamuzs V Teters G., and Kregers A. Orientational Averaging in Mechanics of Solids. — London: Longman Scientific & Technical, 1992. — 236 p.
7.Lagzditjts A. and Tamuzs V Tensorial representation of the orientation distribution function of internal structural elements for heterogeneous solids // Math. Mech. Solids. — 1996. — Vol. 1, No. 2. — P. 193—205.
8.Тамуэь с В., Тепферс P., Ю Чи-Санг, Русакис Т, Репелис К , СкрулсВ., Вилкс У
Поведение Сетонных цилиндров с обмоткой из углепластика. 1. Эксперименталь ные данные // Механика композит, материалов. — 2006. — Т. 42, № 1. — С. 21—44.
Поступила в редакцию 30.12.2005 Received Dec. 30, 2005
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ.— 2006.— |
Т. 42, № 2. |
— С. 209— 220 |
MECHANICS OF COMPOSITE MATERIALS. — 2006.— |
Vol. 42, No. 2. |
— P. 209— 220 |
И. П. Джанг ’** В. Л. Гуо*\ 3. Ф. Юэ**
*Institute o f Nano Science, Nanjing University o fAeronautics and Astronautics, Nanjing 210016,
P. R. C.
**School o f Mechanics, Building, and Architecture, Northwestern Polytechnical University, Xi an 710072, P. R. C
ИССЛЕДОВАНИЕ ТРЕХМЕРНОГО МИКРОМЕХАНИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ ТКАНЫХ КОМПОЗИТОВ1
Y. Р. Jiang, W. L. Guo, and Z. F. Yue
INVESTIGATION OF THE THREE-DIMENSIONAL MICROMECHANICAL
BEHAVIOR OF WOVEN-FABRIC COMPOSITES
Keywords: representative volume element, woven-fabric compos ites, micromechanics
A three-dimensional representative volume-element model is pre sented to study the micromechanical behavior of woven-fabric com posites. The effects of fiber undulation zone and fiber braid angle on the elastic modulus of the composites are taken into account in the unit cell. Based on isostrain and isostress assumptions, a standard homogenization procedure is used to calculate the effective elastic properties of woven-fabric composites, and all the final stiffness components are expressed in an explicit form. The results obtained by the model considered agree with published experimental results very well. The relationship between the geometric parameters, such as fiber width, thickness, volume fraction, etc., and the macro mechanical behavior of the composites can be obtained by this model.
Ключевые слова: элемент объемный характерный, композиты тканые, микромеханика
Представлена модель трехмерного характерного объемного эле мента для исследования микромеханического поведения тканых композитов. Эффекты влияния зоны шероховатости и угла пле тения волокон на модуль упругости композита учитываются в единичной ячейке. Основываясь на допущениях постоянных де формации и напряжения, использовали стандартную процедуру усреднения для расчета эффективных упругих свойств тканых композитов. Все конечные компоненты жесткости выражены в явном виде. Результаты, полученные с помощью модели, очень
I
Перевод с англ.
хорошо согласуются с опубликованными экспериментальными данными. Соотношение между геометрическими параметрами, такими, как ширина, толщина, объемное содержание волокон и т. д., и макромеханическим поведением композитов может быть получено с помощью данной модели.
1.Введение
Впоследние годы все больший интерес вызывают тканые композитные материалы. В добавление к общим преимуществам над другими композита ми, такими, как слоистые материалы, намоточные композитные материалы
ит. д., тканые композиты дают возможность увеличить прочность в попе речном направлении. Однако одним из недостатков этих материалов явля ется трудность прогнозирования их упругих свойств. Во многих работах по моделированию поведения тканых композитных материалов было исполь зовано приближение характерного объемного элемента. В [1] изложены упрощенные двухмерные модели микро- и мезомеханики для прогнозиро вания упругого поведения атласного тканого композита. В [2] рассмотрены геометрические характеристики и константы упругости плоскотканого ком позита и выполнен параметрический анализ влияния различных геометри ческих параметров на его упругие свойства. В [3] создана единичная ячейка с рядом подъячеек, учитывающая геометрическую конфигурацию шерохо ватости нити и влияние области чистого связующего на модуль упругости. Сопоставлено несколько моделей прогнозирования упругих свойств тканых композитных материалов. Упрощенный метод с нелинейным соотношени ем между напряжением и деформацией создан и реализован с помощью программы ABAQUS в качестве подпрограммы пользователя в [4—7]. На основе теории тонких слоистых материалов в [8] предложена аналитическая модель MESOTEX для прогнозирования трехмерных упругих свойств и раз рушения тканых волокнистых композитных материалов. В [9] представлена математическая модель, учитывающая внеплоскостные искривления воло кон, основанная на теории балок Тимошенко. В [10] изучено влияние типа сетки на материальные свойства тканого композита и создана новая анали тическая (численная) модель для получения точных результатов с мини мальными усилиями моделирования и вычисления.
Практически все упомянутые исследования предусмотрены для одного случая, в котором жгуты ортогональны друг другу. Цель данной работы — разработать эффективную по вычислениям трехмерную модель микромеха ники для тканых композитных материалов с произвольным угловым чередованием жгутов.2
2.Микромеханическая модель единичной ячейки
Схема общей трехмерной модели единичной ячейки показана на рис. 1. Центральная зона представляет собой жгут, окруженный связующим. Под робная упрощенная модель изображена на рис. 2. Единичную ячейку харак-
Рис. 3. Зависимости объемной доли волокон Vj- от величин 0 (а) и w/d (б).
функцией 0. Объемная доля волокон Vу как функция от w/d показана на рис. 3—б.
3. Усреднение одной четвертой единичной ячейки
Предполагая, что связующее изотропно и существует идеальный гра ничный контакт, усредняем величину С ^ 111111се11 в локальной системе ко ординат 123 (см. рис. 2—б). Затем преобразуем ее к глобальной системе ко ординат xyz. Смешанные граничные условия — допущения постоянной деформации и напряжения — принимаются на каждом этапе усреднения ха рактерного объемного элемента.
Средние по объему напряжения и деформации определены как
[а] = ^ |
|||[а]б/у, [г] =у |
JJJ[e]d/v. В результате |
имеем для деформаций |
|||||||||||
|
_ „ / |
_ т |
|
— |
„ / |
„ т |
— |
|
„ f |
|
т |
|
|
|
|
X ~ ^ х |
|
|
^ xy |
ху ~ ^ ху> |
e zx “ e zx “ £ ZX> |
|
|
||||||
Е у - VJ-E'y 4-Vm8Ш |
8 |
= F /e z |
+ V 8 m |
> |
• yz |
—Vr E f |
+T Vm £b m . |
|||||||
|
|
у > |
°z |
|
|
m^z |
|
|
j |
У2 |
|
|
||
для напряжений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a y = a y =c>y |
|
Gn z |
—~ (Уn zf |
-~ ^ z ’ |
__ |
|
f |
|
YYl |
|
|||
|
|
® yz ~ ® yz |
~ ® yz"> |
|
||||||||||
a x |
|
|
|
|
. / |
|
|
|
a zx |
/ |
/ |
|
zx • |
|
^ f ^ x + ^m a x > G xy ~ V f G xy ~*~VmG xy> |
a zx + |
|||||||||||||
Используя компоненты тензора усредненной по объему деформации, неизвестные компоненты тензора деформации в волокнах и связующем запишем как
с т _ 1 . |
С™ |
у |
\ |
’/ |
- С т )8 |
|
|
с f |
|
|
с / |
|
у _ |
33 |
|
+ 12L- е „ + —— е . |
|||||||||
\ |
33 |
21 |
|
2 Г Ь* + р |
“ У ' тг “ г |
|||||||
|
/ |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с " +— с £ |
|
|
|
С / |
|
|
■/ |
|
||||
( с Д с * ) ё х + - ^ е , , + |
v f |
"z |
||||||||||
23 |
у |
23 |
31 |
|
ъх |
х |
Vf |
у |
' |
|||
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С £ |
+12LC-/. |
( С |
^ |
- С |
^ + |
С / |
ё |
. + |
С / |
||
* ? = : |
^ |
^ ё , |
||||||||||
32 |
у . |
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с™ +-Щ-С |
|
|
|
|
|
^/ |
|
|
п f |
|
||
<С 7 |
С 3> " * + - |
^ ^ + - ^ 2 . 8 , |
||||||||||
'22 |
7 |
|
/ |
|
|
F/ |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c*^
8 W = 55 ' yz’
yz
VsCm +v c ?
K/ U 55 + K ,« c 55
где А,] = ...Д 2 =... (см. приложение). Для напряжений подъячейки имеем
a , =Vf { c (xzx +Cf2z fy +С 1/Зе / ) +Vm( C ”ex + С ^ е ” +С” О
= С",** +C 2w2s^ + С 2еГ , а г =С ”г х +С” е^ +С^е™,
t v ^ r / C ' + V ' . C Z ^ оу?= С ^ е ^ , а 2Х=(К/ С^/6 + К;иС;")ё2Х.
На основе обобщенного закона Гука, заменяя компоненты средней де формации в упомянутых уравнениях, средние напряжения подъячеек мож но представить в явном виде. Величина [С]1//4 ^ се11 в системе координат Г2'3' будет равна
■C'u |
c \ 2 |
<M3 |
0 |
0 |
0 |
C n’ |
C'22 |
^ 2 3 |
0 |
0 |
0 |
[С] 1/4 unit cell _ С1з |
C '2 3 |
C 33 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|||
0 |
0 |
0 |
C 44 |
||
0 |
0 |
0 |
0 |
C 55 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
Сбб |
4. Усреднение целой единичной ячейки
Принято, что все жгуты подобны и формируют периодическую решет ку в связующем. Целая единичная ячейка (см. рис. 1) разделена на четыре подъячейки т\, m2, пВ и пА. Тогда в системе координат xyz
с 11 |
|
|
7771 |
|
7771 |
f * |
7771 |
р 777 1 |
^ |
7771 |
|
|||
|
С |
12 |
и 13 |
С 14 |
С 15 |
С 16 |
|
|||||||
|
|
|
^ |
77/1 |
|
777 1 |
^ |
7771 |
^ 7771 |
s i |
777 1 |
|
||
|
|
|
|
22 |
С23 |
С24 |
U25 |
|
26 |
|
||||
|
|
|
|
|
^ |
7771 |
^ ч 7771 |
ч» 77/1 |
|
7771 |
|
|||
[C]ml = |
|
|
|
|
с зз |
С34 |
35 |
и 36 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7771 |
р 777 1 |
|
7771 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
U44 |
U45 |
|
46 |
|
|||
|
|
|
s y m |
|
|
|
|
|
7771 |
|
777 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
С55 |
|
56 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
|
7771 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 _ |
||
с |
т \ |
|
777 1 |
|
777 1 |
^ |
7771 |
77/1 |
|
^ |
777 ] |
|||
|
U |
12 |
и 13 |
U |
14 |
|
U15 |
|
^16 |
|
||||
|
|
^ |
7771 |
^ |
777 1 |
^ |
7771 |
» 772 T |
|
-» 777 ] |
|
|||
|
|
|
22 |
U23 |
и 24 |
|
U25- |
|
С26 |
|
||||
|
|
|
|
|
^ |
7771 |
|
777 1 |
777 1 |
|
|
7771 |
|
|
[С]т2 = |
|
|
|
|
и зз |
U34 |
|
U35 |
|
с 36 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
^ |
7771 |
^ 7771 |
|
|
777 ] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
С45 |
|
|
46 |
|
|
|
|
s y m |
|
|
|
|
|
iOT 777 1 |
х- 777 1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
и 55 |
С56 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
т 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
р 7771 |
^ |
|
7771 |
^ |
7 7 7 1 |
^ |
7 7 7 |
1 |
Р ml |
|
^ |
7 7 7 |
1 |
|
С 11 U |
|
1 2 |
и 13 |
С |
1 4 |
|
с 15 |
“ Ч б |
|
|||||
|
|
|
|
777 1 |
^ |
7 7 7 1 |
р |
7 7 7 |
1 |
ml |
|
^ |
7 7 7 |
1 |
|
|
|
|
2 2 |
|
23 |
U 24 |
|
С 25 |
|
U 26 |
|
||
|
|
|
|
|
^ |
7 7 7 1 |
^ |
7 7 7 1 |
р ml |
|
s i 7 7 7 1 |
|||
[С Г 3 = |
|
|
|
|
и зз |
и 34 |
|
С 35 |
|
с 36 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
^ |
7 7 7 1 |
m1 |
|
^ |
7 7 7 1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
|
^ 4 5 |
|
|
46 |
|
|
|
s y m |
|
|
|
|
|
ml |
|
^ |
7 7 7 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
U 55 |
|
U 56 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С 7771 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
66 |
|
|
с: |
|
|
777 1 |
|
ml |
^ |
777 1 |
P ml |
f * |
|
777 1 |
|
|
|
|
С |
1 2 |
'-'13 |
U 14 |
C 15 |
C 16 |
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
777 1 |
р |
ml |
|
77! 1 |
P ml |
f * |
|
777 1 |
|
|
|
|
|
U |
2 2 |
U 23 |
U 24 |
U 25 |
U 26 |
|
|||||
|
|
|
|
|
/-■ ml |
^ |
|
7771 |
P ml |
S |
I |
777 1 |
|
|
[с Г 4 - |
|
|
|
|
C 33 |
U 34 |
C 35 |
c |
36 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
77! 1 |
P ml |
|
|
77! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
44 |
U 45 |
U 46 |
|
|||
|
|
|
s y m |
|
|
|
|
|
P ml |
|
|
777 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C 55 |
U 56 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
^ |
7771 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
6 6 |
|
214 |
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ,— 2006,— Т. 42, № 2. |