Механика композитных материалов N2 2006
..pdfт а xq = с0,
где q = #({;,а ) — некоторое эквивалентное безразмерное напряжение, зна чения которого в произвольной точке материала зависят как от тензора на пряжения а, так и направления, задаваемого единичным вектором £,| £| = 1. На практике эквивалентное напряжение строится как скалярная функция так называемых сферических инвариантов %/ =%/(Tj г, а) тензора а, гдеТ] ,..,ТЛ— параметрические тензоры, характеризующие группу симмет рии материала [6]. В случае изотропии единственным параметрическим тензором является метрический (единичный) тензор 8.
Как только напряжение выходит за пределы области Q 0, т*е- rnaxg> cQ,
в материале возникают и накапливаются микроповреждения. Когда значе ние q в каком-то направлении £ достигает своего критического значения с*, материал в рассматриваемой точке считается разрушенным, а поверхность К*, определяемую уравнением
max q = с*, |
(2) |
будем называть поверхностью окончательного разрушения или прочности. Не ограничивая общность, принимаем, что с* - с0 = 1.
В процессе накопления повреждений тензор С изменяется, отражая де градацию линейно-упругих свойств материала. Для аналитического описа ния этой деградации необходимо достаточно полно характеризовать со стояние поврежденное™. С этой целью вводим центрально-симметричную скалярную функцию П(^) = П(-^), 0 < П < 1, на единичной сфере S, называ емую функцией поврежденности, которая показывает степень повреждения материала по всем направлениям ^ в рассматриваемой точке. Значение
тахП = 0соответствует неповрежденному материалу, когда max q < с0, где
$
/ — время. Если max q = с*, то max П = 1.
Учитывая сказанное, определим зависимость между q и П в виде
rz (x ), если 0 < х < 1, |
х =max(q - с 0), |
П = |
|
О, если JC< 1, |
t |
где z(x) — некоторая возрастающая неотрицательная функция, такая, что z(0) = 0 и z(l) = 1, например
tg и хv |
_ |
я |
z(x) = —------, |
0< w < —, v > 0. |
|
tg и |
|
2 |
Для построения определяющего соотношения между тензорами напря жений и упругих деформаций в условиях деградации упругих свойств мате риала представим информацию о его поврежденности, содержащуюся в функции П, в тензорной форме. Для этого используем тот факт, что цен трально-симметричные скалярные функции на единичной сфере можно ап-
проксимировать компонентами одного абсолютно симметричного тензора четного ранга 2г, выбирая этот ранг достаточно большим [6, 7].
Тензор А/2^ находим, применяя операцию усреднения по единичной сфере S :
|
4л’ |
где |
.. % — 2г-кратное тензорное произведение вектора 4 • Так как тен- |
|
2г |
зор А/2'^ абсолютно симметричен, его компоненты удобно записать в виде так называемых чисел заполнения тензора:
hmj,*) = Ь уг .2 Ъ ? =} ds&)> т + п +к=2г, (з)
где £ ,• — проекции вектора Е,на оси х ,• некоторой ортонормированной коор динатной системы {JCz-}, i = 1, 2, 3; в сферических координатах О<0 <я, О< ср < 2я имеем: =coscp sin0, = sincp sin0, = cos0, ds(Q =sin0^0^cp.
Предположим, что упругое поведение материала линейно вплоть до его окончательного разрушения. Тогда в дальнейшем нам потребуется лишь тензор четвертого ранга А/4^ Используя А/4^ и метрический тензор 5, кон струируем максимально общий тензор четвертого ранга А с индексной симметрией Aijkl = A jW = A ijlk = A klij:
Л-ijkl = [^1by-S/ci + ^ 2(8д-5 ji +5,/5 д )]A-+-A3(6 ;yA.w + 8wA.,y) +
+~ k 4(8ikXj, + 8/VA,jk +6 j/X ik +8 jkXjl)+9ksXijXki +
(4)
где Xjj = Xjjkk, X =A,,7 =Хцд, 8jj — символ Кронекера (компоненты тензора 8), а £(- — произвольные скаляры. Здесь и далее дважды повторяющиеся нижние латинские буквенные индексы означают суммирование по ним от 1 до 3.
Обобщим теперь закон Гука на случай линейной упругости материалов с деградирующей жесткостью, принимая определяющее соотношение между напряжениями и упругими деформациями в следующей дифференциальной форме:
dee = Q - d a + d Q - a , если |
ш ахП <1, |
|
$ |
8е = 0, если t=0, |
(5) |
где t - 0 соответствует началу нагружения и |
|
196 |
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ,— 2006,— T. 42, № 2. |
Q = C + I ( A - C + C - A ) . |
(6) |
В области Q 0, где П = 0 и Л = О, уравнение (5) совпадает с законом Гука
(1). При активном нагружении вне этой области зависимость между напря жениями согласно (5), (6) становится нелинейной с тензором касательной податливости
d s e _ |
dQ |
a. |
|
da |
da |
||
|
При пропорциональной разгрузке, когда dQ = 0, деформирование проис ходит линейно в соответствии с достигнутым при нагружении тензором се кущей податливости Q. Тогда получим, что е е(0) = 0.
Для практического применения данной расчетной модели дисперсно раз рушающихся материалов необходимо конкретизировать выражение для эк вивалентного напряжения q и определить все неизвестные константы моде ли. Более подробно этот вопрос рассмотрим для начально-изотропного материала.
2. Начально-изотропный материал
Начнем с конструирования функции эквивалентного напряжения q, ис пользуя соответствующие сферические инварианты тензора напряжений ст. Как известно, в случае изотропии существует пять независимых (базисных) сферических инвариантов [6], в качестве которых можно взять, например,
/ 1 =/](ст) = 8 7y5z = a /7— первый инвариант тензора a,
/ 2D = ^ 2D(a ) =sijsij — второй девиаторный инвариант тензора а,
/ 3D =/зо(ст) = sijs jkski — третий девиаторный инвариант тензора а, а зз =£, ДуСГу — нормальное напряжение на площадке с нормалью ^ ,
Тз2 = ^т^ по micy ni - с '3^ — квадрат модуля касательного напряжения на площадке с нормалью ^ Здесь яу — девиаторные компоненты тензора а:
Sjj =Dev а у =а у - - /jS <y
Инвариант / 3D обычно используется для учета влияния вида напряжен
ного состояния, но эту функцию в значительной мере способны выполнять
'У
также напряжения а 33 и т '3 , поэтому его опустим и примем величину q в
форме
q = a \ K a ( I \ ) \ I il + tf2^2D + а Зкр(а ЗЗ )la 331+ а 44Т 3» a i - ^ |
(7) |
где коэффициенты а, имеют размерность, обратную размерности напряже ний, [я/] = [а у Г 1, и
+ 1, |
если |
х > 0, |
к2(х) = - О, |
если |
х =О, |
-z, |
если |
л:< О. |
Параметр к2 здесь введен для учета того факта, что сжимающие напряже ния препятствуют возникновению и развитию повреждений, уменьшая зна чение q в соответствующих направлениях в материале.
Выясним, какую поверхность определяет уравнение
max q < с. |
(8) |
$ |
|
Нетрудно показать, что в осях главных напряжений а 1? а 2, су3 функция (7) может иметь максимумы в следующих направлениях:
•по осям главных напряжений —
|
t f = \ , ^ , = ^ 2 = 0 , /=1, 2, 3, |
|
|
|
(9) |
|||||
в плоскостях, перпендикулярных к главным напряжениям, — |
||||||||||
|
г |
а 3|кр(а'зз)| |
\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
I 2 |
|
= \ - Г 2 |
/ =1,2, 3, |
|||||
|
|
|
|
|||||||
|
J a2Kp(a 33 ) +а |
s /+2 |
|
/+Г |
||||||
|
|
4 J |
|
|
|
|
|
( 10) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в которых выражения для величины а 33 и т 3 имеют вид |
|
|
|
|||||||
|
|
а зз = а /’ т з |
|
|
|
|
|
(П) |
||
|
стм-1 + а ;+2 ± |
аз1кр(ст'зз)1 |
|
(СТ;+! |
<7 /+2) |
|
|
|||
|
|
|
^а^к^(а'33) + а |
|
|
|
|
|
( 12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т 3 |
|
а4 |
1/+ |
-<*/+21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2д/азкр(а'зз |
|
|
|
|
|
|
|
||
После |
подстановки |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
(ст2 |
2 |
/j =cr|ч-сг2+сгз ,^2D = ~[(^ 1—^ 2 |
+ |
— з ) + |
||||||||
+(ст з —сг ]) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
] и выражений (11), (12) в (7) получаем уравнения семейства по |
||||||||||
верхностей, взаимное пересечение которых образует искомую результиру ющую поверхность (8) в координатах главных напряжений а ,•:
° lKa ( / l)l/ ll + «2/ 2D + аЗкр(ст/)1ст/1 = с>
|
а\ка (1\)\1,\ + а21 ^ |
+ |
|
||
|
|
|
|
|
(13) |
+ - а 3кр(ст'з3) |
а,- +ст/+1 |
+ |
а4 I кр(ст33 )1 |
+ |
|
|
К +(J/+l) |
||||
д/«3кр(стзз) + а-
а
+ / , ------------ ;- |g f-g ,4 .il = g. *=1.2,3.
2^]а^к1(а'33) +а-
Эта поверхность незамкнута при I \ —>-оо, а ее вершина находится в точке
/. =- |
Зс |
/20 - 0 . |
3О] +а3
При с = с0 уравнения (13) определяют поверхность начального разрушения VQ, при с = с+ = с0 +1 — поверхность окончательного разрушения или про чности К , а при с0 < с< с* — поверхности частичного разрушения V
Путем замены переменных
a , = ^ ( - V 3 z , - z 2 +V2z3),
6
а2 = ^ -(V 3zj - z 2 +-\flz3),
6
а3 = ^ ( V 2 z 2 + Z 3 )
(14)
эти уравнения можно записать также в координатной системе {z, }
z \ =~ — ^ \ " ст2).
z 2 = - ^ [ ( с 2 - а 3)-(ст3 - a , ) ] = ^ D e v a 3,
6 |
2 |
л/З ,
z 3 --------^ 1
3
так называемого пространства Хэя—Вестергарда, где /] = V3z3, / 2D = zj^ H-z^.
Оси Z| и z2 новой координатной системы лежат в девиаторной плоскости / | = 0, aocbz3 направлена по гидростатической оси а ] = а 2 =сг3 пространства напря жений.
Соотношения (9)—(13) используются также для нахождения неиз вестных констант рассматриваемой модели материала. Покажем это на конкретном примере.
Пусть материал при одноосном растяжении разрушается по направлению приложенного напряжения, при одноосном сжатии — перпендикулярно к при ложенному напряжению, а при сдвиге — по направлению действия максималь ного растягивающего напряжения. Тогда из (13) получаем, что а4 = 0 и
а \ +л!^а2 +а3 O' —с*,
аа{ |
су =с* , |
(л/2а 2 + а 3)т + =с * ,
где ст +, ст- и т + — пределы прочности материала при одноосном растяже нии, сжатии и сдвиге соответственно. Решение этой системы уравнений имеет вид
а1 = 1 —(л/з —1)а |
1 У з - i |
1 |
|
|||
у + |
а - |
т + у |
|
|||
|
л/Зс* |
а |
|
_ 1 |
а |
|
а2 = л/2[1 -(л/з —1)а] VG+ |
СТ" |
Т+ ) |
|
|||
а3 = |
с* |
л/За |
| |
Уз |
| 1 + а л |
|
1- (л/з -1)а |
а + |
|
ст- |
т + j |
(15) |
|
|
|
|||||
где а * -(л /з +1)» 1,366.
2
Из физических соображений ясно, что af > 0, поэтому должны выпол няться следующие неравенства:
■л' а |
1 } |
1 ^ 1 |
Уз - 1 |
(16) |
|||
1 + а а ' |
ст- / т + |
ст + |
ст- |
||||
|
|||||||
если 0 < а < - ( л / з + 1 ) и |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
л/3-1 |
1 |
V3 |
а |
|
|
|
|
|
< —I- |
< |
\ а |
а У |
(17) |
|
|
|
т |
|
|
|||
если а > -(л/з +1).
2
Для определения константы а необходимо еще одно уравнение, напри мер, для трехосного сжатия
СТ| j = ст 22 = ^СУзз, 0<*<1, ст33<0. |
(18) |
В таком режиме во всех направлениях ст 33 < 0, /] =(1 +2к)а 33 < 0, к а ( / ] ) - - а , ар(ст33) = -Р и иэ (13) получаем, что в момент окончательного разрушения, когда ст33 =о 33,к = к ~
Приняв для простоты, что р = а, и подставив выражения (15) для кон стант ctj в (19), приходим к следующему квадратному уравнению для а:
(20)
Из двух корней этого уравнения подходящим будет тот, который удовлет ворит неравенствам (16) и (17).
Константы с» (или с0), кп и и v находим путем аппроксимации подходя щих экспериментальных кривых деформирования е е(а) соотношениями (5). Используем для этой цели кривые е®3(ст33Д ) и е^,(ст33,к) =е®2( а 33,к),
полученные в экспериментах на трехосное сжатие (18). В этом случае функ ция поврежденности не зависит от сферической координаты ср (т. е. от Е,, и ^2) и соотношение (3) упрощается:
если т, п и к —
четные натуральные числа илиО;
(21)
Из (21) имеем
Отсюда видно, что в результате такого нагружения начально-изотропный материал вообще становится трансверсально-изотропным с осью симмет рии х3.
Выражения (4) для компонент тензора Л теперь приобретают вид
2 15 ^1111 -^2222 = (^1 +к2)Х +3(^3 +^4 Я п +%к5 Ч-^бЯц + у ^ ] ] ц ,
^3333 =(к\ +к2 )Х+3(к3 |
+ к4 )Х3 3 +9(к5 |
2 |
15 |
|
|
+к 6 )Х3 3 |
+— к7 Х3333, |
||||
|
|
2 |
15 |
|
|
Л| 122 =^jA.+ЗЛ3А.ц +9Аг5Л.! ] +— к7 Х и22, |
|
||||
|
3 |
|
|
15 |
Хз з и , ^ |
Л2233 = Л3311 =к ] Х+ - к |
3 (Х3 3 +Х11)+ % 5А.33А,11+— к 7 |
||||
1 |
3 |
|
15 |
|
|
л 1212 =^ к 2 Х + 7^ к 4 Х и +9к5)?п +— к 7Х и22’ |
|
||||
1 |
3 |
9 |
|
15 |
|
Л2323 = Л3131 = - ^ 2 ^ + ~(^33 + ^ ц ) + -^6^33^11 + у^7^3311’
Л Ш1 _ Л 1122 = 2 Л 1212>
а для компонент тензора Q (6) имеем
Si 111 = 02222 = С,цп(1 + Л1111) + С 1122(Л1]22 + ЛЗ З л )= Т Г = ~ >
Е \ Е 2
03333 - С 11П(1+Л3333)+2С'1122Л3311
|
|
|
Е Ъ |
|
|
011 22 = C’111]A|,22 +С] 122(1 + Лт | + Л3311) = ~~ТГ~-> |
v12 = v21> |
||||
|
|
|
Е \ |
|
|
62233 “ 03311 - ^ПП^ЗЗП + |
|
|
|
||
+С1122 1+“ (Л3333 +Л 1111 + Л1122 + Л33п) |
V31 |
_ _ v13 |
|||
Е х |
|
Ei |
|||
|
|
|
|
|
'3 ’ (23) |
Q\2\2 =С\2\2(У+2Е\2\г) -- 7^ —’ |
|
|
|||
|
|
4 0 12 |
|
|
|
02323 =03131 = C1212(I+2A313l) = - ^ |
= ~7^, |
|
’ |
||
|
|
4G31 |
40 |
23 |
|
01111 ” 01122 ~ ( C ] 111 ~ C \ |
122 )(1 +J^1111 “ Al 122) = 2(21212(1 + 2A|212) = 201212> |
||||
где C llu = —, C II22 = |
, C ,212 = — ; E, G и v — модуль Юнга, модуль |
||||
E |
E |
AG |
|
|
|
сдвига и коэффициент Пуассона начально-изотропного неповрежденного материала; E h Gy и Vy — модули упругости и сдвига и коэффициенты Пу ассона поврежденного материала.
Зависимости (5) для аппроксимации экспериментальных кривых дефор мирования при трехосном сжатии (18) теперь приобретают вид
~ ^ 8 22 " ( б п п + S l l 2 2 ) ^ a ll + 0 3 3 1 1 ^ 3 3 + |
|
+(^бпп +dQ1122)С711 +^£?ззпа зз> |
(24) |
de33 “ 2бззп^а 11 +03333^33 +2^3311^11 +<^бзззза зз-
Наконец, подставив найденные значения а =(3 и с* в зависимости (15), вычисляем коэффициенты я|, я 2 н язТем самым все константы модели ма териала известны, и она в принципе позволяет прогнозировать деформиро вание и изменение линейно-упругих свойств рассмотренного начально-изо тропного материала при любом простом или сложном нагружении. Аналогичным образом неизвестные константы можно найти и для началь но-изотропных материалов, картина разрушения которых по направлениям отличается от рассмотренной здесь в качестве примера.
3. Описание упругого деформирования и дисперсного разрушения бетона
Предложенная модель материала была применена для обработки некото рых экспериментальных данных, приведенных в [8] для бетонов различных марок. Цилиндрические бетонные образцы были испытаны при одноосном сжатии и при трехосном сжатии с повторными полными разгрузками. Вто рой тип нагружения был реализован путем одноосного сжатия цилиндри ческих образцов, подкрепленных обмоткой ленты из углепластика или об моткой из натянутых углеродных прядей, которые в ходе деформирования образцов создали в них равномерное боковое давление переменной величи ны. Эти боковые сжимающие напряжения легко вычислить по известным радиальным деформациям обмотанных образцов, если известны общая толщина обмотки и ее модуль упругости.
Рис. 1. Диаграммы деформирования обмотанного натянутым углеродным жгутом бетонного образца 20РЗС при его сжатии по оси х3 с промежуточными разгруз ками: £33 (ст33 )(/) и е,,(ст33 ) = £22(а 33 )(2)-
СУ11, МПа
Рис. 2. Путь активного нагружения стц (стзз ) = су22(а 33 ) образца 20РЗС в про странстве напряжений.
Рассмотрим здесь только один из исследованных в [8] бетонов с модулем Юнга Е = 21 ГПа, коэффициентом Пуассона v= 0,16 и пределом прочности при сжатии су ~~ = -20,45 МПа. Прочности бетона при сжатии а + и сдвигет + не были экспериментально определены. Примем, что'т+ = а + =-0,1а = = 2,045 МПа. Образцы бетона при одноосном и трехосном нагружениях раз рушались в боковом направлении. Считая, что при сдвиге бетон разрушает ся в направлении действия максимального растягивающего напряжения, приходим к общей картине направленного разрушения при этих видах на гружения, уже рассмотренной в п. 2. Для определения неизвестных кон стант материала остается лишь применять приведенные там готовые соот ношения.
На рис. 1 показаны диаграммы деформирования £ 33( су 33) и е ] | (а 33) = = 822(сузз) образца 20РЗС, обмотанного углеродным жгутом под натяжением, силой, равной 80 кгс, при его сжатии по оси JC3 с промежуточными полными
Рис. 3. Диаграммы упругого деформирования 8з3(а 33 Д ) U) и |
(033 , к) = |
= б22 (сгзз Д )(2) образца 20РЗС: • — эксперимент; (— ) — аппроксимация.
204 |
МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ.— 2006.— T. 42, № 2. |