Аэродинамические источники шума

яниях.г^Х, чтобы оно удовлетворяло волновому уравнению

Излучение, соответствующее первому члену в (1.186), называется

монопольным, второму члену — дипольным излучением, третьему члену — квадрупольным. Таким образом, если в турбулентном по­ токе отсутствуют твердые или податливые тела, или они находят­ ся вне области, где имеется завихренность, тогда в соответствии с

где квадратные скобки означают, что величина, Заключенная в них, берется в момент времени т =4—г/с0. Второй интеграл в (1.187) тождественно равен нулю. Действительно, вспоминая, что интегри­ рование в (1.187) сводится к области |y|^L<cA,, где движение можно рассматривать в приближении несжимаемости, оценим вто­ рой интеграл. Запишем уравнение движения (1.42), пренебрегая сжимаемостью и неоднородностями энтропии,

Последний интеграл преобразуется в интеграл по бесконечно удаленной поверхности, где выражение в скобках стремится к ну­ лю. Если сходится интеграл

торможения В'(х, t) на расстояниях г^>Х нужно пользоваться сле­ дующим выражением для тензора Pij\

(1. 191)

Для определения звукового давления р' воспользуемся форму­ лой (1.64), которую на расстояниях г^>Х, где отсутствует средний поток, можно записать в виде

Сопоставляя уравнения (1.174), (1.176), (1.191) и (1.193), при­ ходим к следующему результату: с точки зрения определения зву­ кового давления на расстояниях г^$>Х задачи, связанные с решени­ ем неоднородного волнового уравнения:

(1. 194)

являются эквивалентными, при условии, что источник может быть записан в двух альтернативных формах

(1.196) — в теории Пауэлла [9Ц. Тем самым доказано, что в волно­ вой зоне эти теории являются эквивалентными в смысле определе­ ния звукового поля, порождаемого завихренностью при малых чис­ лах М турбулентного потока. Обе эти теории связывают характе­ ристики звукового поля с аэродинамическими параметрами неста­ ционарного завихренного потока. Например, зная основные пара­ метры турбулентности изотермической затопленной струи, можнополностью определить создаваемое ей звуковое поле, решая клас­ сическое волновое уравнение Даламбера с правой частью, опреде­ ляемой по Лайтхиллу, либо Пауэллу. Необходимо отметить, что в соответствии с формулой (1.197) источник звукового поля выража­ ется через тензор турбулентных напряжений Рейнольдса. Сущест­ венно, что сам источник определяется уравнениями движения не­ сжимаемой жидкости, его принципиально можно определить неза­ висимо от порождаемого им звука.

Следует также подчеркнуть, что уравнения (1.194) —(1.197) позволяют определить только главный член разложения по числу-

М для звукового поля, когда М2 <с1. В принципе могут быть най^ дены и высшие члены такого разложения с помощью метода сра­ щиваемых асимптотических разложений [49]. Рассмотрение излуче­ ния звука турбулентным потоком при малых числах М, проведен­ ное здесь, представляет собой один из примеров рассуждений, про­ водимых более формально в методе сращиваемых асимптотичео ких разложений.

В случае генерации звука завихренным потоком при малых числах М мы убедились, что источник может быть представлен в-, двух различных формах согласно Лайтхиллу и Пауэллу, причем, было показано, что в области генерации, где отлична от нуля за­ вихренность, эти источники существенно различны. Однако созда­ ваемые ими звуковые поля в волновой зоне совпадают в главных, членах разложения по числу М. Различие источников в области ге­ нерации определяется величиной QQAU2/2, где под V понимается, соленоидальная составляющая скорости. Эта неоднозначность ис­ точника наводит на мысль, что не все в источнике существенно с точки зрения генерации звука. Источник однозначно определяет звуковое поле в волновой зоне, в то же время обратное утвержде­ ние — не верно. В этой же связи можно поставить вопрос, каков, должен быть источник, чтобы он вообще не излучал звук. Ответ на этот вопрос позволяет сформулировать понятие эквивалентных по звуковому полю источников. Очевидно, что эквивалентные источни­ ки различаются на источник, не излучающий звук.

Перейдем теперь к более точному рассмотрению этих вопросов. Для простоты рассмотрим случай, когда справедливо классическое волновое уравнение (1.194). Пусть источник q сосредоточен в трех­ мерной области Д характерный линейный размер которой равен L. Представим функцию q(x, t) в правой части волнового уравнения (1.194), а также возмущение давления р'(х, t) в виде спектрально­ го разложения Фурье

и используем это представление в формуле (1.177), дающей реше­ ние волнового уравнения, тогда будем иметь

тде tti = —----единичный вектор в направлении излучения. Таким

образом, на расстояниях r ^ L звуковое поле определяется только теми спектральными компонентами источника, для которых волно­

сферой. Другие волновые числа никакого вклада в излучение не дают, хотя они определяют пространственное распределение источ­ ника q. Отсюда, в частности, следует, что из измерений звукового поля на расстояниях r^>L нельзя сделать практически никаких суждений о пространственном распределении источника. Только

двухмерное многообразие |Л| = — в трехмерном пространстве водно­ го

вых чисел существенно с точки зрения излучения звука. Два источ­ ника, совпадающих на излучаюшей сфере, но совершенно различ­ ных при других волновых .числах, будут давать одинаковое звуко­ вое поле при r^>L. Излучения вообще не будет, если спектральная

где все функции qm(х, t) быстро стремятся к нулю вне области D

m=*l ^

•а соответствующее ему решение волнового уравнения (1.194) мож­ но записать

оо

(1.204)

т. е. оно весьма быстро стремится к нулю, не давая никакого вкла­ да в поток звуковой энергии через сферу достаточно большого ра­ диуса.

Предположим теперь, что размеры источника, т. е. области D, в которой отлична от нуля функция q, много меньше характерной длины волны X. Производной по времени в формуле (1.202) тогда можно пренебречь по сравнению с оператором Лапласа, так как <c0ldJdt=O(X- 1), a V = 0 (L _1) и формула (1.202) приобретает вид

Легко видеть, что источники в теориях Лайтхилла и Пауэлла различаются как раз на величину, подобную (1.205), т. е. на неиз­

лучающий источник. В этом случае ^ = —- - у - < 7т = 0 (т > \).

Функция q выражается через гидродинамические поля, связанные с несжимаемой жидкостью, и потому быстро убывает при rS>L.

Сказанное ранее отнюдь не означает, что источник вообще нельзя однозначно определить. Создавать звук есть только одно из свойств потоков жидкости или газа. На самом деле источник можно наблюдать независимо от создаваемого им звука, регистри­ руя такие параметры турбулентности, как завихренность, неодно­ родности энтропии, температура и прочие, входящие в правую частьуравнения (1.48), другое дело, что вся эта полная информация мо­ жет быть избыточной при определении звукового поля на расстоя­ ниях В этом смысле измерение спектральных характеристик: истчоника представляется более экономным.

Формула (1.201) позволяет также сделать некоторые суждения об интенсивности аэродинамических источников звука таких, как турбулентность при малых числах М. Действительно, если ограни­ читься линейным приближением для источника подобно тому, как: это делалось в разд. 1.4, то спектр волновых чисел источника, бу­ дет весьма похожим на спектр турбулентности. Максимум спектра’ турбулентности, очевидно, относится к волновым числам порядка k = (i)/Vc, где Vc = 0(V) — скорость конвекций вихрей и энтропийных неоднородностей; V — характерная скорость потока. Другими сло­ вами, при малых числах М излучающая сфера k=<d/c0 лежит да­

леко от максимума функции q(k , со), т. е. только малая часть энер­ гии турбулентного потока может превращаться в звук.

1.7. ИСТОЧНИКИ ЗВУКА В УРАВНЕНИИ БЛОХИНЦЕВА — ХОУ

Вернемся к рассмотрению линейных уравнений для вихревых,, энтропийных и акустических возмущений, распространяющихся в: безвихревом основном потоке с постоянной энтропией. Эти уравне­ ния были получены в разд. 1 .4 , а в разд. 1.5 найдены сами возму­ щения, относящиеся к вихревой и энтропийной компонентам дви­ жения, и исследовано их распространение в плоском двухмерном’ основном потоке. Общее решение, приведенное в разд. 1.5, позволя­ ет рассмотреть акустическую часть общей задачи о малых трех­ мерных возмущениях. В отличие от вихревых и энтропийных воз­ мущений, где решение удается получить без дальнейшей конкре­ тизации основного потока и вида самих возмущений, в случае акус­ тических Возмущений в общем виде можно только математически сформулировать задачу, т. е. определить все величины, входящие в уравнение Блохинцева — Хоу (1.63). Левая часть этого уравне­ ния, т. е. Волновой оператор, полностью определена, поскольку ос­ новной поток Но предположению известен. Остается определить правую часть, т. е. источник звука, связанный с вихревыми и энтро­ пийными возмущениями, чему посвящен данный раздел.

Правую часть уравнения (1.63) можно представить в виде

Следует заметить, что отсутствие начальных возмущений за­ вихренности и энтропии ft(°)= 0 и а<0) = 0 приводит вообще к отсут­ ствию этих возмущений во всем потоке, т. е. общее движение с уче­ том возмущений будет безвихревым и изэнтропийным й = 0 и а = 0 . Источник акустического излучения q в этом случае тождественно равен нулю, а уравнение (1.63) переходит в однородное уравнение Блохинцева. Этот случай нетривиален только с точки зрения рас­ пространения звука в основном потоке, возникновение которого не связано с самим потоком. Эта задача имеет самостоятельный ин­ терес.

В связи с тем, что общее решение задачи о возмущениях завих­ ренности и энтропии может быть представлено в виде суммы ре­ шений, из которых одно соответствует нулевым начальным возму­ щениям энтропии, а другое — нулевым начальным возмущениям

.завихренности, источник q также можно представить в виде суммы

Источник q2 соответствует нулевым начальным возмущениям энтропии, a q<j — нулевым начальным возмущениям завихренности. Обратим внимание на одно формальное отличие источников q& и Источник q<z вообще не зависит от возмущений энтропии, по­ скольку сг=0 , если сг<0) = 0 . Однако источник q зависит от возму­ щений завихренности даже при Q(0) = 0 , поскольку начальные воз­ мущения энтропии порождают возмущения завихренности, что сле­

дует из решения в разд. 1.5.

В силу линейности уравнения (1.63), а также граничного усло­ вия (1.65) справедлив принцип суперпозиции звуковых полей, по­ рождаемых источниками q& и qaj а стало быть, можно рассматри­ вать уравнение (1.63) с источниками q$> и qa отдельно друг от дру­ га. В связи с тем, что различие между обоими случаями с точки зрения общей структуры теории не носит принципиального харак­ тера, в дальнейшем рассмотрим только источник 9 2 , соответствую­ щий излучению звука возмущениями завихренности при их взаимо­ действии с неоднородным основным потоком.

С учетом изложенного источник q2 определяется выражением

На основании приведенных в разд. 1.5 формул векторного анализа в естественных координатах источник q2 можно представить сле­ дующей формулой:

[dQ.' dQ' \ т/з ,

Обратим внимание на то обстоятельство, что источник q& вооб"- ще не зависит от возмущений £2/, что впрочем следует уже из фор­ мул (1.208) и (1.206). Это означает, что винтовые вихри, т. е. вих­ ри, у которых вектор завихренности £2' коллинеарен с вектором ско­ рости V основного потока, не дают никакого вклада в излучение звука и это тем более интересно, поскольку имеется тенденция к; образованию винтовых вихрей в неоднородном потоке. В соответст­ вии с формулой (1.209) возмущения £2/ отличны от нуля даже в> том случае, если начальные возмущения £2S<°) отсутствуют, посколь­ ку они порождаются в результате взаимодействия поперечной сос­ тавляющей £2Пс неоднородностями основного потока.

С учетом (1.209) — (1.2 1 2 ) источник q можно выразить непос­ редственно через начальные возмущения завихренности Я<°>. После­ довольно простых преобразований имеем

чальных возмущений энтропии.

Когда скорость V основного потока много меньше скорости зву­

~QOO= const. Источник в этом случае можно записать в виде

В однородном потоке (V=V0) источник q2 приобретает вид

Согласно результатам, приведенным в разд. 1.4, этот источник не приводит к излучению звука.

Наиболее сильное отличие источников уя и qQ наблюдается в области существенной неоднордности основного потока и оно сос тавляет ту эффективную часть источника q$f которая связана с из­ лучением звука. Отсюда следует, что источник звука эффективно локализован в области существенной неоднородности основного потока, т. е. вблизи обтекаемого тела на расстояниях порядка его характерного размера. В этой области радиус кривизны линии то­ ка достигает своих минимальных значений, а интегральный пара­ метр 0 достигает максимума.

Согласно физической постановке задачи начальные возмущения задаются выше по потоку от обтекаемого тела в области однород­ ности основного течения, где возмущения завихренности удовлет­

Начальные возмущения завихренности можно представить в ви­ де интеграла Фурье по пространственно-временным гармоникам вида ехр (—кot+ikx), т. е. в виде разложения по плоским вол­ нам. В связи с этим рассмотрим эволюцию возмущения заданного выше по потоку в виде отдельной гармоники и исследуем вклад, который вносит возмущение в источник звука q2 .

Пусть в набегающем на обтекаемое тело однородном потоке на­ чальные возмущения завихренности заданы в виде плоской гармо­ нической волны

ности потока совпадает с осью х. Условие соленоидальности возму­

(1.217) в области неоднородности основного потока. В рамках об­ щего решения, представленного формулами (1.209) — (1.211), не­ обходимо выбрать произвольную векторную функцию Я<°) так, что­ бы это решение в области однородности выше по потоку переходи­

чески важных случаев. Построение, функции Грина для уравнения Блохинцева—Хоу без каких-либо дополнительных предположений не представляется возможным, и только использование всякого ро­ да упрощающих обстоятельств может привести к успеху. Так, на­ пример, при использовании теоремы взаимности Хоу [74] построил низкочастотную асимптотику функции Грина для источника, нахо­ дящегося вблизи обтекаемого тела, когда точка наблюдения уда­ лена. В высокочастотном пределе использование метода геометри­ ческой акустики [5] и его различных модификаций также позволяет получить решение уравнения Блохинцева—Хоу. Таким образом, в отношении получения решений этого уравнения и извлечения фи­ зических следствий предстоит еще довольно значительная работа.