Аэродинамические источники шума
..pdfгде функция / зависит от геометрии канала; £ — характеристиче ский корень; акустический адмитанс р в (4.115) является парамет ром. Пусть адмитансу р0 соответствует -корень £0, т. е. /(£о, Ро)=0-
Легко видеть, |
что если производные /с(Со»Ро) и /р(Со>Ро) отличны |
||||
от нуля, то |
t0 — простой |
корень уравнения |
(4.115). |
Если |
|
/ р ( С о , Р о а |
|
/ '( t 0>Po)=°> |
то £о будет двойным |
корнем |
(4.115). |
В этом случае при р-*р0 два простых корня сливаются, образуя двойной корень. Вообще говоря, может быть слияние большего числа простых корней и образование тройных и более высокого по
рядка корней, но для этого необходимо, чтобы в точке |
(£0, Ро) об |
ращались в нуль производные по f до некоторого /г-го порядка. |
|
£ как функция комплексного переменного р имеет |
особенности |
(точку ветвления) при p=ip0. Легко показать разложением в ряд Тейлора, что в случае двойного корня функция £ в окрестности р
имеет вид С— —Ур — Ро- При р~^р0 производная d£/dp |
обраща |
|||
ется в бесконечность |
|
|
|
|
tfC = |
d f _ |
/ |
d f |
|
d$ |
д? |
/ |
дС |
|
Система из двух уравнений |
(4.115) |
и |
|
|
Л Ы о ) = 0 |
(4.116) |
|||
позволяет найти все значения адмитанса р0 и соответствующие им двойные корни £0. Моды в этом случае называются двойными, а значения адмитанса р0 — оптимальными. Это название связано с затуханием, поскольку для затухания справедлив следующий ре зультат: затухание менее затухающей моды из двух, которые могут быть слиты, достигает максимума при оптимальном значении ад митанса Р = РоЭто и есть оптимизация затухания отдельных мод.
4.4.2. Оптимальный импеданс
Для плоского, цилиндрического и кольцевого каналов функция /(£, Р) имеет вид
|
/™i=Ctg£ + pO(0 ; |
(4. 117) |
||
|
/ u = Um(C) + PG(C)ym(C); |
(4. 118) |
||
|
V m(О + № Jm(о |
u m(Q u - ?G Jm(0 0 |
e |
119) |
|
СГ'т(С) + №Ущ(0 |
CYm( 0 0 - №Ym(00 |
(4. |
|
|
’ |
|
||
где |
G(C)= —ika ( 1 “ |
M T ' ) 2 |
(4. 1 2 0 ) |
|
|
—Ш + / & — С2 (I — М2)/д2 |
(4. |
121) |
|
|
|
|
||
где a — внешний радуис канала; Q — отношение внутреннего ра диуса к внешнему.
Рассмотрим случай кольцевого канала, длякоторого уравнение (4.116) имеет вид
<* |
яс l[(m + ? G ) y m( 0 ~ Y m+1(0P |
+ |
|
, |
HQWG/dti + (QQ2— m2 +(PQG)2 1 |
Q |
(4.122), |
~Г 0 2[(/"/Q -pG )K m(Q O -C K m+1(QO]2 } |
|
||
|
|
||
где в соответствии с (4 .1 2 0 )’
3 G —2ш с (I — Мkz / k )
<?£ — К(Ла)2 — С2(1 — М?)
(4. 123).
Система уравнений (4.115), (4.119) и (4.122) позволяет определить, оптимальные адмитансы Ро и соответствующие им характеристиче ские корни £0 для двойных мод кольцевого канала.
Если перейти к пределу Q->0 , то будем иметь случай, цилиндри ческого канала. При этом в уравнении (4.115) функция (4.119) пе реходит в (4.118), а уравнение (4.122) эквивалентно обращению в, нуль числителя первого члена в фигурной скобке, т. е.
|
Cp<?O/<?t-t2 |
+ m2 -(PG)2 = 0 .. |
(4.. 124) |
Решая уравнение |
(4.124) относительно р с учетом (4.120), |
(4 .1 2 1 ), |
|
и (4.123), будем иметь |
|
|
|
|
|
х |
|
X j / d - w 2 - ( i - M ^ - ) |
М2d |
|
|
(Аа)2[(Аа)2-ф1-М2)] |
|
||
|
|
|
|
+ ф |
- м - ^ - ) ~ 3- |
m l |
(4Л 25) |
________________ |
|||
\* / k a V ( k a ) 2 — С§(1 — М2)
Подставляя это выражение в (4.115) и (4.118), получим
• т+\ (Со)
^т (Со) Со \ k } ka Y ( ka)4 — tl(X — ту
M2d
(ka)2 [(*a p _ C2 ( i _ M2)] |
(4.126) |
|
Уравнение (4.126) определяет двойные моды цилиндрического канала, а (4.125) — соответствующий им оптимальный адмитанс.
Система уравнений (4.115), (4.119) и (4 .1 2 2 ) для двойных мод кольцевого канала, а также уравнение (4.126) для цилиндрическо го канала при произвольных значениях параметров ka, М, Q могут быть решены только с использованием численных методов.
Можно, однако, указать такую область частот, для которой ана литически получаются приближенные формулы, позволяющие вы разить оптимальный импеданс при отличном от нуля потоке через
оптимальный импеданс при М=0. Эта область частот может быть физически интересна, поскольку для высоких частот, на которые настраиваются звукопоглощающие облицовки каналов авиацион ных двигателей, выполняется условие
* * Ъ и У Т = Ш . |
(4.127) |
Тогда из формулы (4.121) получается приближенное соотношение
и величина G принимает вид
Q |
i ko> |
~ ~ ( 1 |
+ М )2 |
при этом производную dG/d£ можно просто положить равной нулю.
Учитывая эти условия, уравнения (4.115), (4.119) и (4.122) |
|
для |
||||
кольцевого канала можно переписать в виде |
|
|
|
|||
(т - |
ika}) / m(С)— СJm+i (С) |
(m/Q + lka$) Jm(QQ - |
C/w+i (QQ_ Q. |
|
|
|
(m - |
Ik a ft Y m (t) - С У т +1 Ю |
On/Q + i k a f t Y m (QC) - |
C^m+i(QC) |
|
|
|
|
|
|
|
(4. |
128) |
|
_______m2 —С2 + (^Э)2_______ I |
(QC)2— m2 + (fozp~Q)2_______ = |
|||||
<m - |
]ka$) Ym(C) - CKm+1) (C)]2 |
^ |
Q2 [(m/Q + / to?) Ym(QO~ цУт+1 (QC)]2 ~~ |
|||
|
|
|
= 0. |
(4. 129) |
||
где введено обозначение |
|
|
|
|
|
|
|
P = P/(1+M)2. |
|
|
|
||
С другой стороны, если |
в |
уравнениях (4.115) и (4.122) |
поло |
|||
жить М = 0 , то легко видеть, что получаются те же самые уравне
ния (4.128) |
и (4.129) с той лишь разницей, что в них войдет адми |
|
ттанс р при М = 0. Отсюда следует, что при выполнении |
условия |
|
(4.127) должно быть справделиво уравнение |
|
|
|
Р = Р/(1+М)2 ^р(М = 0), |
|
т. е. |
Z opt(M) = Zopt(M = 0)/(l-t-M)2. |
(4. 130) |
Это соотношение справедливо при любом Q, следовательно, оно справедливо и для цилиндрического канала при Q= 0 , что незави симо может быть получено из уравнений (4.125) и (4.127).
Приведем некоторые результаты численного расчета по опреде лению оптимального импеданса и соответствующего ему затухания на основании полученных ранее формул. На рис. 4.4 для безраз
мерной частоты / = — = — = 7(d = 2a— диаметр канала), азиму-
яс
тального числа т= 1, М = —0,3 показан оптимум в цилиндрическом канале для низшей пары радиальных мод (я=1, 2). На рис. 4.5 показано затухание для первых шести радиальных мод при т= 1 и М = —0,3. Менее затухающая мода (п= 2) на частоте /= 7
.М-,дБ/ка/1иор |
Рис. 4.8. Зависимость |
затухания в |
|
кольцевом канале от отношения диа |
|||
|
|||
|
метров Q (М =—0,3; т = 0, п=1,2) |
||
|
Рис. 4.9. Зависимость |
оптимального |
|
|
затухания в цилиндрическом канале |
||
|
от безразмерной |
частоты |
|
достигает максимального затухания. Мода, соответствующая /2=1, при этом имеет минимум затухания, и затухания обеих мод близки' друг к другу. Моды более высокого порядка, однако, имеют отри / = 7 несколько меньшее затухание.
Рассмотрим результаты расчета для оптимального импеданса в кольцевом канале при слиянии пары низших радиальных мод /г= 1 и 2 при т = 0.
На рис. 4.6 и 4.7 представлены два семейства кривых, отобра жающих поведение реальной и мнимой части оптимального импе данса в зависимости от числа М и отношения диаметров Q при значениях безразмерной частоты f =ка/п= \ и 5. С ростом отноше ния Q от нуля до 0,5 при любом фиксированном числе М наблю дается монотонное убывание реальной части оптимального импе данса. При этом мнимая часть сначала убывает, а затем, достиг нув минимума, начинает возрастать.
Из приближенной^формулы (4.130) следует, что модуль ZoptnpH фиксированных Q и f монотонно убывает с-ростом числа М от от рицательных значений к положительным. Главное отличие рис. 4.6 и 4.7 состоит в зависимости от числа М три фиксированном Q. На рис. 4.7 эта зависимость при / =5 выражается в виде прямых, как и должно быть в соответствии с формулой (4.130) при достаточно больших Q. При значении / = 1 условие (4.127) не выполняется и соответствующее семейство на рис. 4.6 отличается от прямых. При отличном от нуля Q поведение оптимального импеданса кольцево го канала качественно подобно поведению в случае цилиндрическо го канала, различие — численное.
На рис. 4.8 показана зависимость оптимального затухания от числа Q при М = —0,3 и различных значениях безразмерной часто ты. Видно, что затухание очень быстро растет с ростом отноше-
Рис. 4.10. Оптимальные импедансы для различных мод (т , п ) р цилиндрическом канале (М = —0,36; /= 9,5)
ния диаметров Q. На рис. 4.9 представлена зависимость оптималь ного затухания низшей моды (0,1) от безразмерной частоты f для Q= 0, т. е. для цилиндрического канала. С ростом / оптимальное затухание падает обратно пропорционально безразмерной частоте. При достаточно больших f эта зависимость для моды (0,1) выра жается формулой
Д /,=21,1//.
Заметим, что оптимальное затухание не зависит от числа М, а определяется отношением D/К и Q.
Приведем также численное значение оптимального импеданса для М = 0 и моды (0,1) в цилиндрическом канале
Zopt (т=0, п = 1,2)=(0,89+ /0,38) |
. |
v |
Л |
Отметим общее правило: для всех распространяющихся мод мнимая часть оптимального импеданса положительна, что при вы бранной зависимости от времени ехр (—/со/) соответствует импе дансу, носящему характер упругости.
На рис. 4.10 приведены значения оптимального импеданса, со ответствующие различным азимутальным и радиальным модам Для цилиндрического канала при М = —0,36, f=D/'K = 9,5. Можно' видеть, что все точки лежат около одной общей кривой. Положе ние точек на кривой определяется не совокупностью чисел (т, п)> азимутальных и радиальных мод, а критическим параметром
ц = А«/ICJ
где £mn — двойной корень характеристического уравнения для мо ды (т, п). Оптимальные импедансы для различных т, п могут сов падать, и если это происходит, то для них также совпадают значе ния параметра р. Однако различным значениям р всегда соответ-
;ствуют различные импедансы и возрастанию соответствует дви жение вдоль общей кривой слева направо. По мере уменьшения критического параметра ц и при ближения его к единице, что со ответствует критическим часто там для избранных мод (левая 'часть кривой), точки на кривой начинают сгущаться. Наличие общей кривой, а также сгущение точек служат указанием в выбо ре импеданса.
На рис. 4.11 приведены кри вые равного затухания для наи менее затухающей моды. При по строении кривых равного затуха ния известной считается величи-
’[на ~kz, а для £ из уравнения (4.24), если его записать в без размерных переменных, имеем
j |
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 R e j £ |
Рис. 4.11. Кривые равного затухания в цилиндрическом канале для найменее затухающей радиальной моды с азимутальным числом т= 7 (М=
= —0,4; 7=Ю)
тде k = kci.
Неизвестной считаем величину (3, которую можно определить из уравнений (4.39) и (4.45),, поскольку все величины в них опреде лены. Фиксируя величину мнимой части Jcz в соответствии с инте ресующим нас значением затухания по формуле
М
\mkz
17,37
л изменяя Re kz в некотором диапазоне, можно получить соответст вующее этому изменению значение р и, следовательно, импеданса. Таким образом, на комплексной плоскости импеданса можно по строить кривые, соответствующие фиксированным значениям зату хания AL. В результате на имнедансной плоскости получаются ха рактерные петли, внутренняя часть которых соответствует значе ниям импеданса, при которых радиальная мода имеет затухание, большее заданного значения. Как видно из рис. 4.11, по мере уве личения затухания площадь, ограниченная кривой равного затуха ния, уменьшается и при значении затухания, равном оптимально му для данной моды, кривая стягивается в точку. Эта точка есть
.значение оптимального импеданса. Отметим довольно сильную за висимость затухания отдельных мод от величины импеданса.
Приведем результаты численного анализа затухания звукового поля точечного источника в цилиндрическом канале [24]. При вычислении потока энергии при импедансе, отличном от нуля, учи-
1
|
II I |
|
I I I v |
|
1 |
/ |
1 |
г |
|
/// |
/| |
/ У |
|
/ У |
|
|
1 |
/ |
—\ *____ |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
—ПГ\/ ^ |
7-— |
—— — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
л |
|
" Л |
|
|
|
|
|
\ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
-----\— |
|
|
|
|
|
|
|
\ |
Z |
J |
|
_ |
[ |
6 |
7 |
f |
|
4 |
J |
|||||
Рис. 4.12. Сравнение частотных зависимостей затухания при оптимизации на час тоте /= 3 по парам мод (1,2) и (3,4) при z /D = 6
тывалось конечное число мод, поскольку сильно затухающие моды с малым критическим параметром не дают вклада в поток. В это число входят все распространяющиеся моды плюс две затухающие. При вычислении потока энергии в нуле П (0) добавление мод про изводилось до тех пор, пока результат не стабилизировался.
На рис. 4.12 и 4.13 представлена частотная зависимость сум марного затухания при различных расстояниях до источника, при чем импеданс вьгбран так, что на частоте /= 3 достигается опти мум по наименее затухающей и по наиболее возбуждаемой модам. При большом расстоянии до источника (Z/D = 6) лучший результат дает оптимизация затухания наименее затухающей моды (слияниемод п= 1,2). При малом расстоянии до источника (Z/D = 0,5) срав нение идет в пользу оптимизации наиболее возбуждаемой моды
AL, дБ
I
I
1
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
/ 1 |
|
|
/ 4 ^ V J Ч/ Х > С \ |
|
||
|
________ и [ ] |
|
/\./ |
\ |
Г г |
\ \ |
/ / ч |
Г |
|
'— . т--------- ч^_ |
|||||
/4-4/--\sJj |
|
4 1 ,г) |
|
|
|
||
1----------- |
|
|
|
|
|
||
|
У / |
|
|
|
|
|
|
|
У У |
|
|
|
|
|
I |
|
1 |
|
J |
|
4 |
|
|
|
2 |
|
5 |
f |
|||
Рис. 4.13. Сравнение частотных зависимостей затухания при оптимизации на частоте /= 3 по парам мод (1*2) и (3,4) при z/D = 0,5
AL,d6
25 '
|
|
|
Рис. 4.15. Линии равного _зату.*ания звука |
|||
|
|
|
в канале (f=3, Z= 0,5) |
|||
|
|
|
(слияние |
мод п = 3,4). |
На |
рис. 4.14 |
Рис. 4.14. Зависимость |
затуха |
показана |
зависимость |
суммарного» |
||
ния от расстояния |
на |
частоте |
затухания от расстояния |
до источ |
||
/ = 6. Параметры |
импеданса |
ника при |
частоте / = 6 |
и |
импедан- |
|
соответствуют оптимумам |
сах, соответствующих оптимуму для |
|||||
|
|
|
различных пар мод. |
|
|
|
Общей особенностью, в отличие от затухания отдельных мод, яв ляется нелинейный характер зависимости суммарного затухания от расстояния до источника. Это, во-первых, связано с различием за тухания отдельных мод, во-вторых, с наличием интерференции мод. Суммарное затухание линеаризуется при больших расстояниях до* источника, где оно определяется затуханием наименее затухающей моды. Кривые суммарного затухания, соответствующие оптимуму по наиболее возбуждаемым модам, лежат выше других в области малых значений Z/D.
Как и в случае затухания отдельных мод, полезным является построение кривых равного затухания на комплексной плоскости импеданса. Анализируя эти кривые, можно найти импеданс, соот ветствующий максимуму суммарного затухания. На рис. 4.15 по казаны кривые равного затухания для расстояния от источника Z/D = 0,5 при частоте /= 3 . Видно, что точки оптимального импе данса для мод, у которых критический параметр [x = kaf|£| близок к единице, лежат в области близких к максимуму значений сум марного затухания. Положение максимума затухания .на импедансной плоскости зависит от частоты и расстояния до источника. Не обходимо отметить, что сама величина максимума затухания при частотах / > 1 очень слабо зависит от частоты в противополож ность максимальному затуханию отдельной моды, которое убывает
оОратно пропорционально частоте. Для расстояния Z/D = 0,5 макси мум суммарного затухания при / = 1 составляет около 6 дБ, при Z/D= 1 — около 10 дБ. Отметим также более слабую зависимость суммарного затухания от импеданса по сравнению с затуханием от дельных мод.
4.5. ИМПЕДАНС ЗВУКОПОГЛОЩАЮЩИХ СТЕНОК КАНАЛА ПРИ НАЛИЧИИ ВОЗДУШНОГО ПОТОКА
ИВЫСОКИХ УРОВНЕЙ ЗВУКА
4.5.1.Основные представления -об импедансе
Звукопоглощающие конструкции, применяемые для облицовки стенок каналов с газовым потоком, находятся в тяжелых условиях, особенно стенки каналов силовых установок самолетов. Они долж ны иметь минимальную толщину и массу, выдерживать большие давления и температурные колебания, противостоять выдуванию при высоких скоростях газового потока и, конечно, обладать высо кой звукопоглощающей способностью. Обычно облицовки состоят из перфорированных листов, полостей и слоев пористых материа лов. В общем случае облицовки можно разделить на две большие группы: локально-реагирующие и объемно-реагирующие. Первые допускают распространение звука только по направлению, нор мальному к стенкам канала, вторые допускают распространение звука более, чем в одном направлении.
В практике снижения шума силовых установок самолетов ло кально-реагирующие облицовки используются чаще других, по скольку их легко изготовить и они обладают требуемыми механи ческими свойствами. Обычно они состоят из перфорированного лис та или тонкого слоя пористого материала с сотовой подложкой и прилегают к твердой стенке канала (рис. 4.16). Сотовая подлож ка состоит из узких ячеек, нормальных стенке канала и лицевому перфорированному листу. Такая конструкция является настроен ным резонатором, весьма эффективным в узкой полосе частот. Объ емно-реагирующие облицовки состоят из изотропных волокнистых или пористых материалов и они уступают резонансным по эффек тивности поглощения звука в узкой полосе частот, но более эф фективны при поглощении широкополосного шума. Однако из-за своих низких механических свойств и способности впитывать жид кости, волокнистые звукопоглощающие материалы не пригодны для использования в авиационных глушителях шума, и поэтому в них объемно-реагирующие облицовки пока не получили широкого распространения. Вследствие этого ниже рассматриваются только локально-реагирующие конструкции, состоящие из перфорирован ной панели с сотами.
В рамках простейшей модели однослойную звукопоглощающую конструкцию (ЗГ1К) следует представлять себе как набор резона торов Гельмгольца [39]. ЗПК характеризуется следующими геомет рическими параметрами: диаметром отверстий d, коэффициентом