Аэродинамические источники шума

равное r = ai£ + (*2*2 + азЯз; он — направляющие косинуса нормали к поверхности волны (ai2 ~ba22 + a32= 1). Подставив выражение 1 = = Х\—U& получим

р = р0

где г0 = а 1*1 + а 2*2 + а3.*з;

(4. 20)

Таким образом, частота звука в неподвижной системе коорди­ нат будет о/, которая отличается от со, характерной для распрост­ ранения звука в движущейся системе координат. Это изменение частоты звука — эффект Доплера — вызвано движением среды, и оно определяет отличие в распространении звука в движущейся среде по сравнению с неподвижной.

Воспользовавшись уравнением, описывающим распространение звука в движущейся среде, перейдем к решению задач о распро­ странении звуковых волн в канале при наличии газового потока. Для определения параметров распространения звука нам необхо­ димо знание акустического импеданса стенок канала, который определяет взаимодействие звуковых волн со стенками. Таким об­ разом, требуется математическая формулировка граничных усло­ вий на стенках канала в соответствующей задаче для волнового уравнения. В связи с этим возникает задачаоптимизации затуха­ ния звука в канале, т. е. выбор такого импеданса стенок, при ко­ тором наблюдается максимальное снижение шума. Практическое решение задачи о распространении звука в каналах направлено прежде всего на выбор звукопоглощающей облицовки стенок и тем самым на определение геометрических характеристик облицо­ вок по заданному импедансу. Важным также является обратная задача, т. е. определение импеданса стенок канала по заданным геометрическим характеристикам облицовки, параметрам воздуш­ ного и звукового потоков.

Вопросы распространения звука в акустически облицованных каналах как с потоком, так и без него достаточно широко рассмот­ рены в литературе; подробный перечень ссылок можно найти, на­ пример, в обзорах [22, 102]. Впервые аналитическое решение зада­ чи о распространении звука в каналах с поглощающими стенками было дано Г Д. Малюжинцем в работе [28]. Однако им был рас­ смотрен случай распространения звука без воздушного потока. Критерии выбора импеданса стенок при решении задачи о затуха­ нии звука в канале, но также без потока были сформулированы Кремером [63], а затем детально изучены Тестером [100]. Влияние воздушного потока на затухание звука в каналах рассмотрено в работах [23—26, 36, 41, 91, 95]. Далее изложены вопросы распро­ странения звука и оптимизации затухания звука в каналах при наличии однородного воздушного потока и потока с пограничным слоем на стенке канала. При этом задача решается для волнового

ответствующее волнам, распространяющимся вдоль оси г, запишем в виде

где kz — постоянная распространения вдоль оси канала; р — амп­ литуда.

После подстановки выражения (4.22) в уравнение (4.21), получим

где / т(%) и Ут(к) — соответственно функции Бесселя и Неймана целого порядка т, который определяет число осцилляции звуково­ го поля по азимуту, искомая постоянная xmn, вычисленная из вы­ ражения (4.24), определяет число осцилляций по радиусу; Атп — произвольная постоянная, характеризующая звуковое поле в на­ чальном сечении канала, а постоянная Втп определяется из гра­ ничных условий и равна нулю в случае цилиндрического канала.

Решение (4.25) с фиксированным числом т называется азиму­ тальной модой m-го порядка. Различным значениям п будут соот­ ветствовать различные радиальные моды.

Из уравнения (4.24) запишем выражение для постоянной рас­ пространения

Знак действительной части корня в этой формуле определяет направление распространения волны (потока энергии), а через мнимую часть выражается затухание

Знак корня в формуле (4.26) можно выбрать так, чтобы зату­ хание всегда было положительным, т. е. волна затухала в направ­ лении положительной оси z. Одинаковые знаки числа М и действи­ тельной части корня соответствуют распространению волны по по­ току, противоположные — против потока.

Решение (4.25) описывает как стоячие, так и бегущие волны. В каждой конкретной ситуации вид волны определяется условия­ ми возбуждения, т. е. источником звука. В общем случае, если источник вращается с некоторой угловой скоростью, то в цилинд­ рическом канале существует вращающаяся мода, которая бежит по спирали

каждой конкретной частоте существует определенное ограниченное число распространяющихся мод.

Для решения уравнения (4.21) воспользуемся граничными ус­ ловиями. Их можно задавать в виде линейной связи между давле­ нием р и нормальным компонентом акустической скорости, как это обычно делается в классической акустике, путем задания импедан­

Часто пользуются величиной, обратной Z, называемой адмитансом или проводимостью, которая в безразмерном виде определяет­ ся следующим образом:

Будем предполагать, что физические свойства стенки таковы, что давление и нормальная скорость связаны локально. Усложне­ ние при формулировке граничных условий по сравнению с обыч­

ным случаем [14] связано с наличием потока около стенки. В этом случае необходимо использовать условие непрерывности давления и нормальной компоненты суммарной скорости среды на границе раздела (а не только одной акустической скорости).

Итак, под действием падающей волны граница стенки канала ис­ пытывает слабое возмущение, смещение границы может быть пред­ ставлено в виде

Призводная dr\/dt будет определять скорость изменения коор­ динаты т] при заданном г, т. е. местную скорость перемещения по­ верхности

drj

—ШГ[. (4.33)

dt

Это выражение будет также определять нормальную компоненту акустической скорости. Следовательно, выражение для импеданса будет иметь вид

Нормальная компонента суммарной скорости среды на границе раздела будет

Подставив это выражение в линеаризованное уравнение дви­ жения

Воспользовавшись выражением для т] из уравнения (4.34) и подставив его в уравнение (4.36), получим с учетом (4.31) гранич­ ное условие на внешней стенке канала (г=а)

(4.37)

В случае кольцевого канала добавляется граничное условие на внутренней стенке (г=Ь)

(4.38)

Подставив (4.22) и (4.25) в граничное условие (4.37) и исполь­ зуя для цилиндрического канала условие В тп = 0, получим харак­ теристическое уравнение для определения собственных значений

Хтп•

В общем случае для кольцевого канала необходимо подставить (4.22) и (4.25) в граничные условия (4.37) и (4.38) и из получен­ ных таким образом двух уравнений исключить постоянную Втп. В результате .получим характеристическое уравнение в виде

где Q= b/a — отношение внутреннего радиуса канала к внешнему, Q,< 1.

Используя формулы дифференцирования для цилиндрических функций, уравнение (4.42) для кольцевого канала можно перепи­ сать следующим образом:

Уравнения (4.39) и (4.42) совместно с (4.26) и (4.40) являются трансцендентными уравнениями, решения которых полностью опре­ деляют нормальные моды цилиндрического и кольцевого каналов. В общем случае аналитических решений указанных уравнений не имеется, решения могут быть получены только численным методом с помощью ЭВМ. Полученные выражения существенно упрощают­ ся для плоского канала. Для такого канала высотой а, у которого одна стенка жесткая, а другая имеет адмитанс р (рис. 4.2), полу­ чим волновое уравнение

Р=р{У) ехр {г (kz z — (о/)}.

Получим аналитические решения для распространения звука в ка­ налах для двух предельных случаев: когда величина, |pG| мала и когда |pG| велика.

Подставив (4.46) в выражение (4.26) для 'постоянной распрост­ ранения, которое в данном случае охватывает только моды по вы­ соте канала, будем иметь

Ограничившись тремя членами разложения, получим выражение для определения затухания звука в дБ на длине канала, рав­ ной 2 а:

(4.48)

В этом выражении верхний знак соответствует распространению звука по направлению /потока, нижний — против. В отсутствие по-

Рис. 4.3. Зависимость зату­ хания звука в канале от скорости воздушного пото­ ка (2а=240 мм; М = —0,5 означает распространение

звука против потока)

тока формула (4.48) переходит в выражение, полученное Малюжинцем для случая распространения волны низкой частоты [28]:

Из уравнения (4.48) видно, что для низких частот в случае рас­ пространения звука по потоку затухание уменьшается, а в случае распространения против потока увеличивается по сравнению с за­ туханием без потока (рис. 4.3). Условия применимости формулы (4.48) следуют из разложения tg ка в выражении (4.44), откуда имеем

|Jto P |< £ 3 |(l± М V 1+/Р/&г)21-

В случае |pG |^>l, что соответствует распространению звука в канале с мягкими стенками или с любыми стенками, но для до­ статочно больших частот распространяющегося звука имеем

М ^ 8 ,6 8 (2 п + 1)2 Re (1 ± М)*. (4. 50)

В отсутствие потока эта формула переходит в известное выра­ жение [45], полученное для случая высоких частот при условии, что рассматриваемая частота находится далеко от критической для данной моды, когда выполняется условие

£ а » - |- ( 2 /г + 1 ),

где /г = 0 , 1, 2 ,

Анализ формулы (4.50) показывает, что для высоких частот при распространении звуковой волны по потоку затухания больше, а при распространении против потока меньше, чем в отсутствие по­ тока (см. рис. 4.3).

Цилиндрический канал

IP о.1 « 1 .

Если р= 0, то корни X уравнения (4.39) совпадают с корнями производной функции Бесселя Jm'{Xo)— 0 . Если параметр pG мал, но конечен, то, очевидно, что корни уравнения нужно искать в виде

C=Co+POCi. (4.51)

В этом случае первый член в левой части уравнения (4.39) можно представить в виде

Из уравнений (4.45) и (4.54) получим квадратное уравнение от­ носительно £2 вида

Интересующее нас решение уравнения (4.55) имеет вид

<!=4-{в+4^“£М/ 1- ^ + 2iP l 5 r [ 1+ M!('^n!'

(4.61)

Легко показать, что формула (4.61), определяющая корни ха­ рактеристического уравнения для канала с однородным потоком, справедлива для кольцевого, а также для плоского каналов. В слу­ чае кольцевого канала корни характеристического уравнения (4.42) определяются формулами (4.57) и (4.61) с той лишь разни-