Аэродинамические источники шума

Величину т в дальнейшем будем называть фазой. Последнее выра­ жение можно получить непосредственно из уравнения (1.62), за­ писанного в естественных координатах

где произвольная функция а(0) может быть определена, если возму­ щение энтропии задано как функция времени и координат на неко­ торой поверхности, пересекающей линии тока. Пусть это будет по­ верхность $= 5о(ф), тогда а(0)(т, ф, г) должна быть заданной функ­ цией.

Решение (1.136) имеет простой физический смысл: энтропийные возмущения переносятся вдоль линий тока с местной скоростью •основного течения без изменения величины. Другими словами, энтропия отдельных частиц жидкости в основном течении остается постоянной. В неоднородном течении скорость вдоль линии тока изменяется и, следовательно, изменяется расстояние между от­ дельными частицами жидкости, что приводит к изменению во вре­ мени пространственных производных энтропии в системе коорди­ нат, движущейся с местной скоростью отдельной частицы.

Первыми интегралами уравнений характеристик для системы (1.127) — (1.129) являются также T = const, *il) = const и z = const. В характеристических переменных система уравнений для возму­ щений завихренности (1.127) —(1.129) сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям, из которых возмущения определя­ ются интегрированием вдоль линии тока. Чтобы их проинтегриро­ вать, необходимо сначала вычислить производные о, входящие в правые части уравнений (1.127) —(1.129). Учитывая (1.136), а так­

Для вычисления дх/дп вместо (1.134) удобнее использовать выра­ жение (1.133), помня, что нижний предел интегрирования в обоих

интегралах, вообще говоря, имеет зависимость $о(Ф) и Ы л)- В°с‘ Пользуемся также формулами (1.94) и (1.96)

С учетом только что сказанного последние члены в уравнении (1.156) должны, очевидно, быть опущены. После этого оно приоб­ ретет вид

Кроме того, параметры, отмеченные индексом нуль, исключая р0* приобретают смысл параметров в набегающем потоке.

Так же как и возмущения энтропии, малые возмущения завих­ ренности Q переносятся вдоль линии тока с местной скоростью ос­ новного потока, однако в отличие от возмущений энтропии их вели­ чина не остается постоянной для отдельных частиц жидкости ос­ новного потока. Изменение вдоль линии тока компонент завихрен­ ности определяется изменением параметров основного потока: ло­ кальным параметром — скоростью и интегральным параметром 0 . Величина завихренности £2П в соответствии с уравнением (1.155) определяется только локальным параметром V, поэтому завихрен­ ность жидкой частицы будет иметь равные значения в точках линии тока с равными скоростями в моменты времени, соответству­ ющие прохождению жидкой частицы этих точек. Этого нельзя ска­ зать о компонентах Qs и S2Z, поскольку они определяются интеграль­ ным параметром 0 . Завихренность в направлении линии тока Qs линейно зависит от завихренности Qn с коэффициентом пропорцио­ нальности, равным интегральному параметру 0 .

Важной особенностью решения (1.154) — (1.156) является так­ же то, что в неоднородном потоке возмущения завихренности зави­ сят от возмущений энтропии. Если даже начальные возмущения за­ вихренности отсутствуют, т. е. й<°)=0 , то это не означает, что за­ вихренность будет отсутствовать во всем потоке, напротив, она будет индуцироваться начальными возмущениями энтропии. Все эти особенности решения для возмущений завихренности не проти­ воречат известной теореме Кельвина о сохранении циркуляции по замкнутому жидкому контуру.

Обратим внимание еще на одно обстоятельство, связанное с ли­ нейностью системы уравнений (1.60), (1.61), (1.62) для возму­ щений завихренности и энтропии. Произвольное решение этой сис­ темы уравнений может быть представлено в виде линейной супер­ позиции двух решений, одно из которых определяется начальными возмущениями завихренности Q<°> при s ^ = 0 , а другое — возмуще­ ниями энтропии при й<0)^=0 .

1.6. ГЕНЕРАЦИЯ ЗВУКА ТУРБУЛЕНТНЫМ ПОТОКОМ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ МАХА.

ТЕОРИЯ ЛАЙТХИЛЛА И ПАУЭЛЛА

Применим полученные в разд. 1.3 уравнения к случаю аэроди­ намической генерации звука турбулентным потоком при малых числах М2«с1. Поток предполагается неограниченным в том смыс­ ле, что в нем отсутствуют твердые или податливые границы, либо

с учетом сделанных ранее оценок, а также принимая во внимание, что P ~ QV2, легко получить следующую оценку vr 0 (V М2). Таким образом, если пренебречь всеми членами, пропорциональными М2 в обеих частях уравнения (1.48), то на расстояниях г<^Х для эн­ тальпии торможения получим уравнение Пуассона

при этом также предполагается справедливым уравнение адиабатичности DSJDt = 0.

Рассмотрим теперь область r^>Ly в которой по предположению

коится, как это имеет место в случае затопленной струи; 2 ) имеет­ ся внешний, вообще говоря, неоднородный потенциальный поток (струя в спутном потоке). Вторым членом в левой части уравнения (1.48) в большинстве случаев можно пренебречь. В первом случае от него остается только часть, пропорциональная пульсационной скорости, которая относится к членам, описывающим нелинейное распространение звука. Для потоков с малыми числами М нели­ нейные эффекты, связанные с распространением звука, который порождается самим потоком, пренебрежимо малы. Во втором слу­ чае, когда имеется внешний поток, этот член имеет порядок

где Л — масштаб неоднородности внешнего потока, поле скорости в котором будем обозначать через Vo; т — параметр, равный отно­ шению скорости внешнего потока V0 к характерной скорости тур­ булентного потока V. В случае струи в спутном потоке этот пара­ метр называют параметром спутности. В обоих случаях, о которых

сDt

Таким образом, в области r 3 >L с учетом сделанных оценок эн­ тальпия торможения В удовлетворяет в первом случае уравнению Даламбера

(iS^vJ)B=0' <1л«»

где с0 — скорость звука в покоящейся среде, а во втором случае — конвективному волновому уравнению

< 1 Л 6 9 )

Легко видеть, что уравнение для величины В, справедливое равно­ мерно во всем пространстве, можно записать в первом случае в виде

а во втором случае

В самом деле, в области r^>L правая часть обоих уравнений (1.170) и (1.171) обращается в нуль, т. е. справедливы уравнения (1.168) и (1.169), а в области гС ft, с уравнениями (1.170) и (1.171) можно повторить проведенные ранее рассуждения, с помощью ко­ торых можно убедиться в справедливости уравнения (1.165). Заме­

тим также, что в промежуточной области L<r<^K=— , энтальпия

М

торможения удовлетворяет уравнению Лапласа

Кстати, существование самой этой промежуточной области свя­ зано с малостью числа М. На расстояниях, больших по сравнению с L, но малых по сравнению с ft, (L<^r<^%) с учетом убывания В с расстоянием (точнее той ее части, которая зависит от времени), можно записать общий вид решения уравнения (1.172)

ное значение энтальпии торможения вне турбулентного потока. Ограничимся далее в этом разделе рассмотрением случая, ког­

да, в области r^$>L среду можно рассматривать как покоящуюся, которая, как показано ранее, описывается уравнением (1.170). Будем также для простоты предполагать, что неоднородностями энтропии можно пренебречь. В частности, это предположение явля­ ется вполне реальным в случае изотермической затопленной струи.