Аэродинамические источники шума

AX = AScos ft — An sin &;

(1.69)

Ay= As sin b-\-An cos&.

Составляющая Az этим преобразованием не затрагивается. Произ­ водные при 5 = 0 и п = 0 связаны таким же преобразованием

Здесь d/ds и д/дп имеют смысл производных вдоль линии тока и по нормали к ней. Подробное описание естественных координат, их связь с основным потоком и операции векторного анализа даны ниже.

условия равенства нулю нормальной компоненты скорости на обте­ каемой твердой поверхности

и условия на бесконечности. Скорость звука с в случае термодина­ мически идеального газа^выражается через скорость в потоке, т. е. через производные потенциала

Она также удовлетворяет уравнению (1.72), однако скорость звука при этом более сложным образом выражается через производные функции тока [29]. Функция тока постоянна на линиях тока, опре­ деляемых дифференциальным уравнением

Будем предполагать, что основной поток нам известен, т. е. извест­ ны потенциал сро и функция тока ф0-

Любая интересующая нас точка в потоке может быть задана как пересечение линии тока ф0(*, у ) = а и линии постоянного по-

тенциала ф0 (х, у) = р. Введем координаты |, т) в соответствии с уравнениями

& = ф 1 (%(•*. у));

(1.77)

■П= Ф2(Фо(^ У))

и потребуем, чтобы на линии тока ф0= а было выполнено условие

•К * . ( * . » » / ( $ f + ( ^ ) = i . О -Я )

а на линии постоянного потенциала ф0 (х, у) = р выполнено условие

где штрих означает производную функции Ф по ее аргументу. Ус­ ловия (1.78) и (1.79) определяют функции Ф1 и Ф2 с точностью до несущественной постоянной, при этом функции Ф! и Ф2 будут за­ висеть соответственно от постоянных а и р как от параметра. Учи­ тывая это обстоятельство, преобразование (1.77) можно записать в виде

1 = Ф11) (<*,(*, у));

(1.80)

п= ф^2) (М *. у))-

В дальнейшем верхние индексы у функции Ф будем опускать, на­ деясь, что это не вызовет недоразумений. Легко показать, что при таком выборе функций Ф координата | является длиной дуги ли­ нии тока фо(*, у ) — а, а ц есть длина дуги линии постоянного по­ тенциала 'фо(*, у ) —р. В самом деле, на кривой фо(*, у )= а с уче­ том Q.71), (1.76) и (1.78)

(сро(AT, y ) ) ( ^ - d x + ^ - dy) = -}-(V xdx-\-Vyd y ) = v £ = v £ '.

С другой стороны, с учетом (1.76) элемент длины dl линии тока можно записать в виде

откуда и следует, что | имеет смысл длины дуги линии тока фо(*, у) =а. Для любой другой линии тока ф0(*, у) Ф а это уже не спра­ ведливо, поскольку не выполняется условие (1.78). Аналогично до­ казывается утверждение о линии постоянного потенциала ф0(*

У) = Р-

В координатах g, ri элемент длины представляется следующим образом:

М(*о,Уп

где коэффициенты Ламэ /г£ и hn преобразования (1.80) определя­ ются согласно формулам

их пересечения элемент длины записывается так же, как и в декар­ товых координатах

делена как длина дуги линии тока фо= а между линиями по<*гоянного потенциала ф0 = Р и фо=фо(*о. Уо). Аналогично координата и есть длина дуги линии постоянного потенциала ф0= р между линия­ ми тока фо=фо(*о, Уо) и ф0 = а . При этом возрастанию | соответст­ вует возрастание потенциала, а возрастанию т)— возрастание функции тока (рис. 1 .2 ). При таком определении координат %и rj необходимо потребовать, чтобы функции Фа и Фр удовлетворяли условиям

которые могут быть выполнены, поскольку эти функции определя­

чает, что для каждой точки течения можно сопоставить свои коор­ динаты §, т). Таким образом, имеется двухпараметриче^кое ceMeg.

ветственно через 5 и п. Такие локальные координаты относительно произвольной точки лго, Уо будем называть естественными, посколь­ ку они связаны с естественными осями течения — касательными к линиям тока и нормалям к ним.

Естественные координаты наиболее просто вводятся следую­ щим образом. Выберем систему координат g, rj с фиксированными

В силу этого преобразования имеем следующие соотношения меж­ ду производными:

В дальнейшем эти соотношения будем кратко записывать в виде

_ д_ _ 1 д_

Найдем теперь явный вид коэффициентов Ламэ }ц и h v. Фор­ мулы (1.84) и (1.85) с учетом (1.71), (1.75) и (1,80) можно пере­ писать следующим образом:

h= ________1________.

ефЛ® г1 (е))?(е. ч) ’

где V и Qo — соответственно модуль скорости основного течения и

Получим теперь выражения для основных операций векторного анализа во введенных ранее естественных координатах. В каждой точке основного течения введем локальный базис из единичных векторов касательного к линии тока es и в направлении к ее глав­ ной нормали еп. Поскольку будем рассматривать трехмерные воз­ мущения относительно двухмерного плоского основного течения, третьим базисным вектором выберем вектор ег вдоль оси г так, чтобы тройка векторов eSy еп, ех была правой. Если ввести угол ft

системы координат/, J, k и локальным базисом eSl еп, ez устанав­

Произвольный вектор А может быть разложен по базисным век­ торам

А = А х i -j- Ayj-\-Az k ~ A s Ап еп -\-Az вг. (1.9 9 )

произвольной. В частности, они не годятся для вычисления опера­ ций второго порядка типа div (grad Ф), rot (grad Ф) и т. п.

Для потенциала скорости и функции тока основного течения в-

Поскольку основное течение — потенциальное, ротор скорости тож­

где R — радиус кривизны линии тока. Второй знак равенства в- (1.113) соответствует известному соотношению дифференциальной геометрии.

В стационарном изэнтропийном потоке плотность Q0 есть функция модуля скорости V, определяемая соотношением (1.57).

Таким образом, производные dft/ds и дЪ/дп выражаются через-, скорость V основного течения и ее производные.

Используя полученные ранее формулы векторного анализа, пе­ репишем уравнения (1.60) — (1.62) в естественных координатах s, п. Учитывая формулы (1.106) и (1 .1 1 1 ), оператор D0/Dt можно за­ писать в виде

вихренности можно записать в виде проекции на соответствующие орты