Аэродинамические источники шума

правую часть в уравнении (1.2) можно рассматривать как эквива­ лентное нестационарному потоку распределение акустических ис­ точников, которые излучают звуковыеволны в идеальную среду, находящуюся в покое. Так, действительно, можно рассуждать в случаях, когда тензор 7\j, соответствующий интересующему нас нестационарному потоку, мал всюду, исключая акустически ком­ пактную область, т. е. область, размеры которой много меньше ха­ рактерной длины волны излучения, что имеет место при достаточ­ но малых числах М потока, как, например, в задаче о шуме дозву­ ковой струи. В таких случаях для изотермических потоков тензор Tij определяет действительные источники звука и имеет вид

тензор эффективно сводится к напряжениям Рейнольдса.

Отметим, что между концепциями Гутина и Лайтхилла просле­ живается поразительное подобие. Теория Гутина для генерации шума винтом исходит из модели движущихся распределенных ис­ точников в виде элементарных сил, представляющих действитель­ ную реакцию движущихся лопастей на окружающую среду, нахо­ дящуюся в состоянии покоя. Аналогия Лайтхилла представляет поток в виде действующих распределенных источников плотности потока импульса, определяющих действительное флуктуирующее напряжение Рейнольдса в турбулентной жидкости. Как и в моде­ ли Гутина, эквивалентное распределение источников рассматрива­ ется погруженным в идеальную акустическую среду, находящуюся в состоянии покоя. Таким образом, аналогия Лайтхилла для гене­ рации шума турбулентным потоком является в сущности обобще­ нием концепции Гутина.

Теория Лайтхилла получила в дальнейшем математическое обоснование в работах [64, 78Ц, которые, используя метод сращи­ ваемых асимптотических разложений, показали, что уравнение (1.2) с тензором 7\;-, определяемым (1.5), позволяет правильно вы­ числить главные члены асимптотического разложения по числу М для звукового поля от нестационарного потока. Существенным мо­ ментом для применимости теории Лайтхилла является, таким об­ разом, малость характерного числа М потока. Характерную часто­ ту звука, излучаемого потоком, можно оценить согласно формуле

т.е. при малых числах М имеем акустически компактный источник.

Вболее сложных ситуациях таких, как, например, течение в неоднородном канале, а также потоков при больших числах М,

когда характерные масштабы неоднородности могут быть соизме­ римы или много больше длины волны, становятся существенными эффекты рефракции и рассеяния звука, а также конвекция звука в неоднородном потоке. Теория Лайтхилла испытывает трудности при описании такого рода ситуаций, поскольку она явно не учиты­ вает взаимодействие звука с порождающим его потоком. При ма­ лых же числах М эти эффекты несущественны, так как звук излу­ чается компактным источником в покоящуюся среду. Волновой оператор в левой части уравнения (1.2) не учитывает движения среды, в то время как в случае движения он должен быть конвек­ тивным.

Для преодоления этих трудностей Филлипс [93Q предложил кон­ вективное волновое уравнение для логарифма давления р, которое имеет вид

точники звука. Такая интерпретация основана на предположении,, что левая часть (1.6) является правильным конвективным волно­ вым оператором, описывающим распространение малых возмуще­ ний давления в произвольно движущейся неоднородной среде.. Однако исследования линеаризованных уравнений газовой динами­ ки в случае произвольного основного движения среды с малыми возмущениями, проведенные Блохинцевым в упомянутой ранее ра­ боте [5], показали, что это предположение является правильным; только для достаточно больших частот в пределах применимости геометрической акустики, когда среду можно считать квазиоднородной. В общем же случае оно неверно. Можно указать конкрет­ ные ситуации, когда левую часть уравнения (1.6) нельзя считать правильным конвективным волновым оператором. К ним относят­ ся случай, когда основное течение является завихренным, как это* реально имеет место в свободных и пристеночных пограничных слоях, а также случай потенциального основного течения с гради­ ентами давления. В первом случае в правой части уравнения (1.6) имеются члены, которые Филлипс ошибочно отождествил с источ­ никами, но которые было бы более последовательным отнести к оператору распространения, поскольку при наличии завихренности: основного потока они линейны по малым возмущениям. Это так называемые члены сдвиговой рефракции, роль которых значитель­ на при малых частотах. Таким образом, уравнение (1.6), а точнее отождествление отдельных его членов с волновым оператором и источниками звука, является правильным лишь в случае квазиоднородной (в масштабе длины звуковой волны) движущейся среды.

В случае завихренного основного течения, а именно, в частном случае сдвигового потока, конвективное волновое уравнение былополучено Лилли [79], который затем применил его к задаче о шуме сверхзвуковой струи. Он последовательно отличал члены, описыва­

ющие распространение звука, от его источников, что оправдано физически, ввиду различной природы этих членов. На этом пути для логарифма давления получается дифференциальное уравнение третьего порядка по времени, в котором источники отождествля­ ются с нелинейными по возмущениям членами. К сожалению, в от­ сутствие источников это уравнение имеет собственные решения, являющиеся неустойчивыми в самом обычном смысле, который придается этому понятию в линейной теории устойчивости сдвиго­ вого слоя. Это ведет к трудностям в непосредственном применении уравнения Лилли к задачам акустики в пограничных слоях, так как при наличии неустойчивости не справедлива линеаризованная теория, а также разложения по возмущениям, в то же время по обычным представлениям неустойчивость непосредственно связана с вихрями, ответственными за генерацию звука. Необходимо также отметить, что уравнение (1.6) при всех его недостатках, о которых упоминалось ранее, Свободно от этих трудностей.

Дальнейшее развитие подхода, преследующего цель преодолеть трудности теории Лайтхилла в описании взаимодействия звука с порождающим его потоком, которое проявляется в эффектах реф­ ракции, рассеяния и конвекции, содержится в работе Хоу [74Q. На основе точных уравнений непрерывности и сохранения импульса идеальной жидкости им получено конвективное волновое уравне­ ние для энтальпии торможения В :

=div{[ft х ----- (1.7)L/t

ратура; v — полная скорость.

Энтальпия торможения В это термодинамическая величина, ко­ торая естественным образом возникает в ходе проведения преобра­ зований исходных уравнений и играет роль основной акустической переменной. Через нее затем можно выразить обычно употребляе­ мые акустические давление и скорость. Необходимость введения энтальпии торможения связана с наличием в потоке возмущений завихренности и энтропии. В отсутствие этих возмущений волновое уравнение переходит в известное уравнение (1.1) для потенциала скорости акустических возмущений, полученное Блохинцевым [5], которое исчерпывающим образом описывает распространение зву­ ка в случае, когда основной поток не завихрен и энтропия среды постоянна. Отсюда можно сделать вывод, что члены в уравнении Хоу, зависящие от завихренности и градиентов энтропии, могут быть отождествлены с источниками звука, который, будучи порож­ денным ими, распространяется в неоднородной движущейся сре­ де. В отсутствие завихренности и градиентов энтропии сам поток, каков бы он ни был, не будет генерировать звук. Источники звука локализуются в тех областях потока, где завихренность и градиен­

способом созданы звуковые возмущения, и определим эволюцию этих возмущений и их распространение в движущейся среде. По сравнению с распространением звука в покоящейся среде, кото­ рое описывается классическим уравнением Даламбера, задача зна­ чительно усложняется, и это связано, главным образом, с неодно­ родностью потока. Волновое уравнение в однородном потоке легко получить преобразованием Галилея, относительно которого урав­ нения механики сплошной среды, как известно, инвариантны. Если скорость V однородного потока направлена вдоль оси х, то для того чтобы получить волновое уравнение для распространения ма­ лых акустических возмущений в однородном потоке, частную производную по времени в обычном уравнении Даламбера необхо­ димо заменить оператором d/dt+VidfdXi. В результате получим

давлением или плотностью — для однородной среды это не имеет значения.

Существенно сложнее обстоит дело в случае произвольного ста­ ционарного потока. Поэтому для получения решения рассмотрим более простое движение: в потоке отсутствуют завихренность и градиенты энтропии, а эффектами вязкости и теплопроводности можно пренебречь. Такой поток может соответствовать безвихре­ вому обтеканию произвольного твердого тела или течению газа в

которого из уравнений непрерывности и сохранения импульса мож­ но получить нелинейное волновое уравнение.

Уравнение сохранения импульса

в безвихревом изэнтропийном потоке имеет первый интеграл, назы­ ваемый интегралом Коши— Лагранжа, который в отсутствие мас­ совых сил можно записать в виде [21(|

причем интегрирование в (1.10) производится при постоянной энт­ ропии. В этом случае для идеального газа с постоянной теплоем­ костью давление и плотность связаны соотношением Пуассона р = *= const QY, тогда

Вычислив теперь частную производную по времени от этого урав­ нения, получим

Если известно основное течение, т. е. потенциал фо, тогда урав­ нение (1.24) представляет собой точное нелинейное волновое урав­

нение для ф, описывающее распространение звуковых возмущений в произвольном безвихревом потоке с постоянной энтропией. Как это принято в акустике, уравнение (1.24) можно линеаризовать относительно потенциала возмущения ф! и полученная форма за­ писи уравнения очень удобна для этой цели. Чтобы получить лине­ аризованный аналог уравнения (1.24), нужно опустить члены, за­ висящие от потенциала возмущения фЬ которые встречаются в волновом операторе уравнения. Таким образом, в линейном при­ ближении будем иметь следующее уравнение:

Волновое уравнение (1.25) в линейном приближении позволяет полностью определить зависящую от времени часть потенциала,, т. е. <рь Действительно, уравнение (1.25) позволяет, если сформу­

лированы все необходимые условия, однозначно определить фЬ а

по ф! можно определить ф! с точностью до функции, зависящей только от координат, которую можно отнести к стационарной час­ ти потенциала фо. Уравнение (1.25) называется уравнением Блохинцева. В своей работе Д. И. Блохинцев получил его в следующей форме записи (см. уравнение (1.79) в [5]):

где выражение для так называемого потенциала давления По ос­ новного потока имеет следующий вид:

Легко показать, что выражения для волнового оператора в фигур­ ных скобках в уравнениях (1.25) и (1.28) связаны тождественным преобразованием. Различие, связанное с тем, что уравнение (1.25)

записывается для фЬ а уравнение (1.28) — для фЬ не является су­ щественным по высказанным только что соображениям об одно­ значности определения зависящей от времени части потенциала

возмущения ф! по фь Когда скорости основного потока невелики, т. е. выполняется

условие У2<Сс02, второй член в уравнении (1.25) может быть опу­ щен, а скорость с можно заменить постоянной величиной с0— ско­ ростью распространения малых акустических возмущений в покоя­ щейся среде. При этом поле скорости V основного потока можем: считать соленоидальным, т. е. div V =0 — условие несжимаемости основного потока. В результате получается волновое уравнение

подобное уравнению (1.8), именуемое иногда классическим конвек­ тивным волновым уравнением. В отличие от (1.8) уравнение (1.30) содержит оператор D0/Dty в котором поле скорости V основного течения неоднородно.

Отметим также следующее важное обстоятельство: естествен­ ной переменной, для которой удается получить волновое уравнение в неоднородном безвихревом изэнтропийном потоке, является по­ тенциал скорости акустических возмущений. Возмущения давления и плотности не удовлетворяют конвективному волновому уравне­ нию даже при малых числах М неоднородного потока.

Для полноты запишем также уравнения, определяющие основ­ ной поток. Потенциал <ро, очевидно, удовлетворяет стационарному уравнению (1.17), которое в этом случае записывается в виде

(1.31)

где с2 определяется уравнением (1.26).

В теории установившихся течений сжимаемой жидкости это уравнение хорошо известно и называется основным уравнением для потенциала. Методам решения этого уравнения посвящена обшир­ ная литература [29], в которой можно найти решения, соответству­ ющие различным частным случаям обтекания тел сжимаемым по­ током. При малых скоростях потока по сравнению со скоростью звука первым членом в уравнении (1.31) можно пренебречь и для потенциала <р0 получается классическое уравнение Лапласа, описы­ вающее безвихревое течение несжимаемой жидкости

(1.32)

На границах твердых тел, обтекаемых нестационарным потоком идеальной жидкости, должно быть выполнено граничное условие, состоящее в равенстве нулю нормальной компоненты скорости. Это «означает равенство нулю на границе тела нормальной производной как потенциала скорости <р0 основного потока, так и потенциала возмущения

1.3. ГЕНЕРАЦИЯ ЗВУКА ПОТОКОМ. УРАВНЕНИЕ БЛОХИНЦЕВА — ХОУ

При определенных условиях нестационарный поток жидкости или газа сам является источником звука и в этом случае будем го­ ворить об аэродинамической генерации звука. Образование вихрей и их ускоренное движение в неоднородном поле течения, которое происходит при обтекании тел, помещенных в поток, а также при истечении газа в покоящуюся или движущуюся среду, является основной причиной аэродинамической генерации звука. Сам про­ цесс образования вихрей непосредственно связан с вязкостью газа и отчасти с теплопроводностью. Сложные и далеко не понятые до сих пор явления, которые называют одним словом — турбулент­ ность, происходящие в пограничных слоях около обтекаемых тел или в свободных слоях таких, как зона смешения струи, приводят к непрерывной генерации вихрей и к турбулизации потока. Так или иначе, это ведет к установлению исходного состояния среды, при котором имеется нестационарный завихренный поток. Вследст­ вие сжимаемости среды "часть энергии потока уходит на бесконеч­ ность в виде акустического излучения. С точки зрения аэродинами­ ческой генерации звука важную роль также играют тепловые процессы, протекающие при горении, а ..также: в потоках нагретых газов, для которых, помимо завихренности потока, существенны энтропийные неоднородности, проявляющиеся в виде температур­

ных пятен. Энтропийные неоднородности, с одной стороны, инду­ цируют дополнительную завихренность и, с другой стороны, не­ посредственно ренерируют звук.

В классической акустике генерацию звука описывают с по­ мощью неоднородного волнового уравнения, правая часть которогоопределяет источники звука, их распределение в пространстве и структуру. Нашей целью является получение такого неоднородного уравнения на основе уравнений механики жидкости. Как было по­ казано ранее, распространение звука в неоднородном потенциаль­ ном изэнтропийном основном потоке описывается уравнением Бло* хинцева. В связи с этим непосредственно необходимо получить неоднородный аналог этого уравнения из общих уравнений меха­ ники, чтобы связать источники звука с основными параметрами, определяющими поток.

Как и ранее, будем игнорировать влияние вязкости и теплопро­ водности, помня, однако, что роль их может быть весьма сущест­ венной в образовании исходного состояния среды, в которой гене­ рируется и распространяется звук.

При получении волнового уравнения (1.24) предполагалось, что возмущенный поток является безвихревым и изэнтропийным, и это позволило использовать уравнение Коши — Лагранжа (1.9). В об­ щем же случае, по крайней мере в отдельных областях, поток за­ вихрен и в нем имеются возмущения энтропии. Вместе с тем нали­ чие завихренности и возмущений энтропии, как было сказано ранее,, представляет наибольший интерес с точки зрения аэродинамичес­ кой генерации звука. В связи с этим необходимо так обобщить волновое уравнение (1.24) и (1.25), чтобы оно было справедливо и в тех областях потока, где завихренность и возмущения энтропии отличны от нуля. В качестве зависимой переменной в волновом уравнении в этих областях уже нельзя использовать потенциал скорости потока, т. е. необходимо ввести другую подходящую пере­ менную.

Существование интеграла Коши — Лагранжа (1.9) при услови­ ях, сформулированных ранее, означает, что величина

также удовлетворяет уравнению (1.24), т. е. является такой же естественной акустической переменной в волновом уравнении, как

и ф. Форма записи В в явном виде учитывает потенциальность по­ тока и постоянство энтропии. Покажем, что эту величину путем подходящего обобщения можно использовать в качестве акусти­ ческой переменной при наличии в потоке завихренности и возму­ щений энтропии. Заметим также, что когда безвихревой изэнтропийный поток стационарен, то В = const. Иными словами, при усло­ виях, когда по определению звук отсутствует, выполняется уравне­ ние Бернулли. Величину В можно связать с термодинамическим потенциалом до, который называется тепловой функцией или эн­