Аэродинамические источники шума
..pdfРис. 4.16. Звукопоглощающие конструкции
перфорации F (выражающий отношение площади, занимаемой от верстиями, ко всей площади панели), толщиной перфорированной панели t, глубиной воздушной полости h и характерным поцеречньш размером сотовой ячейки а. Предполагается, что все перечис ленные параметры, кроме глубины полости, малы по сравнению с длиной звуковой волны.
Основные особенности поведения импеданса звукопоглощающих конструкций при низких уровнях звука (линейный режим) доста точно подробно изучены и изложены в ряде работ [40, 54]. Учиты вая потребности аэроакустики, уделим основное внимание иссле дованию нелинейных свойств резонансных ЗПК, обусловленных высокими уровнями звука и наличием стационарного потока около поверхности облицовки. При низких уровнях (менее ПО дБ) импе данс линеен, т. е. не зависит от амплитуды звукового поля. Он оп ределяется только геометрическими характеристиками ЗПК и име
ет частотную и, возможно, пространственную |
дисперсию, т. ё. за |
висит от угла падения. При уровнях звука ПО |
160 дБ импеданс |
становится зависящим от уровня звукового давления, хотя процесс распространения волн можно с достаточной точностью описывать с помощью линейного волнового уравнения. Следует отметить, что результаты, описывающие как линейную, так и нелинейную части импеданса, по причинам трудности решения соответствующих мо дельных задач носят полуэмпирический характер и нуждаются как в более детальном исследовании, так и в экспериментальной про верке.
Импеданс связывает между собой давление и нормальную ско рость на границе, акустические свойства которой он характеризу ет. В большинстве работ эту зависимость оценивают как функцию уровня звукового давления в падающей волне. В каналах, где об разуется самосогласованное модовое поле, понятие падающей на стенку волны весьма условно. Поэтому наиболее разумным спосо бом описания нелинейной зависимости импеданса является зада ние его в виде функции уровня звукового давления на стенке. При таком определении в граничные условия входят только давление и скорость на границе.
Согласно определению, безразмерный удельный акустический импеданс выражается в виде соотношения
Z = X + iY=p/Qcun, |
(4.131) |
где Q — плотность воздуха; с — скорость звука; р — акустическое давление; ип — акустическая скорость.
В это определение не включены эффекты, связанные с кинематиче ским изменением импеданса при наличии скользящего потока, по скольку эти эффекты автоматически учитываются при выводе ха рактеристического уравнения. Например, в модели с однородным потоком эффективный импеданс Z3фф получается умножением Z на множитель (1—Msin 0)-2, где М — число Маха потока; 0 — угол падения звуковой волны. При этом сама величина Z также изме няется под влиянием скользящего потока и здесь принимаются во внимание только эти изменения.
Акустическая скорость, нормальная к поверхности облицовки, связана с усредненной скоростью и0 газа в отверстии соотношением
un = Fu0. |
(4. 132) |
Оно выражает условие неразрывности, а также несжимаемости, поскольку характерные размеры облицовки малы по сравнению с длиной звуковой волны. Из уравнений (4.131) и (4.132) получаем связь между амплитудами скорости в отверстии и звукового давле ния на поверхности
\Р\ |
(4. 133) |
\и о\ |
|
QCF угX 2 + |
Y 2 |
Определим теперь вклад в импеданс, связанный с учетом раз личных физических факторов. Вначале рассмотрим при малых уровнях звука влияние вязкости жидкости, которое существенно при протекании жидкости через узкие отверстия перфорированной панели [62]. Если не учитывать концевых эффектов, то каждое отверстие в панели можно рассматривать как трубку бесконечной длины, в которой скорость направлена вдоль оси и зависит только от расстояния г от оси трубки. Для низких уровней звука и при меняемых толщин панелей, которые .много меньше длины волны, жидкость в трубке можно считать несжимаемой. В этом случае уравнение движения имеет следующий вид:
|
o t |
”b(?tv )в==— - |
grad/7 + vAa, |
(4.134) |
||||||||
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
где v — кинематическая вязкость. |
|
|
|
|
|
времени |
||||||
Примем, что скорость является гармонической функцией |
||||||||||||
|
тогда уравнение движения для |
|
малых амплитуд будет |
|||||||||
|
1Ш |
, |
1 |
д ( |
|
да |
\ |
= |
др_ |
|
||
|
+ v |
------- г ------ |
|
Q д х |
|
|||||||
|
д*и |
I |
1 |
г |
д г \ |
|
д г ) |
|
|
|
||
или |
1 |
да |
I |
п |
|
1 |
|
|
др_ |
(4. 135) |
||
дг% |
Н------------ Ь |
*2и = — |
|
д х |
||||||||
|
|
г |
д г |
|
|
|
Qv |
|
|
|||
Г д е |
х2 — /u)/v. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение уравнения (4.135) ищем в виде |
|
|
|
|
||||||||
|
|
и |
( г ) = |
А У 0 (х г ) |
+ --------- |
д х |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
J(«iQ |
|
|
|||
где Jo — функция Бесселя.
232
Из условий на границе (r = d/2) |
имеем |
|
|
imQ |
дх |
/ 0(%^/2) |
|
Следовательно, |
|
|
|
u(r) = - L * £ - [\ ---- 'л £ ± \ |
(4. 136) |
||
/сор |
дх \ |
J0(xd/2) ) |
|
Для определения среднемассовой скорости в отверстии проин тегрируем выражение (4.136) по площади сечения трубки
d/2
и0 = — |
\ |
u(r)2ardr = d- P |
^ \ l - ± |
(4.137) |
|||
° |
Jld2 |
) |
V' |
/сор |
|_ |
xd |
J0(xd/2) J |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
С другой стороны, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
j |
J £ . rfjc= _.0£_ t, |
|
||
|
|
|
дх |
|
dx |
|
|
где t — толщина панели.
Таким образом, выражение для импеданса будет
(4. 138)
При условии
функции Бесселя можно заменить соответствующими асимптотиче скими разложениями, при этом получим
) z |
_ J _ |
Г |
/ 8 усо/ |
/8vco t |
)] |
(4. |
139) |
|
1 |
F |
[ |
cd |
cd |
||||
|
|
Условие применимости формулы (4.139) соответствует достаточ но большим частотам, наиболее характерным для каналов силовых установок самолетов, поэтому далее более общая формула (4.138) не используется. При выводе формул (4.138) и (4.139) не учитыва лись концевые эффекты, т. е. конечная длина отверстия. С учетом концевых эффектов, сделанным на основании работы [75], формула (4.139) запишется в следующем виде:
_1_ |
|
|
|
TSvo) |
,Л] |
(4. 140) |
Zi = F |
cd |
\ |
с |
cd |
J. |
|
где t' = t + d , т. е. толщина |
панели t |
как бы увеличивается |
на диа |
|||
метр отверстия в тех членах, которые содержат вязкость. Необхо димо отметить, что формула (4.140) описывает также инерцион ный эффект, поскольку второй член в ней пропорционален массе
газа, содержащегося в отверстии. Наличие вязкости влияет на движение газа вблизи отверстия, что приводит к увеличению как действительной, так и мнимой части импеданса.
Существенным является также вклад в импеданс перфорированной панели, связанный с учетом так называемой присоединенной массы, и излучения энергии из отверстия. Первый эффект дает вклад в мнимую часть, второй, поскольку он приводит к дополни тельным потерям, — в действительную часть импеданса. Для рас смотрения этих эффектов учтем, что безразмерный удельный акус тический импеданс полубесконечной трубки диаметра d, заканчи вающейся фланцем, равен [90]
(4.141)
где $ = -^ - = Ы; J x(5) — функция |
Бесселя; |
|
С |
к/2 |
|
|
|
|
|
В(Ъ) = — \ ski |
cos a) sin2arfa. |
|
Л J |
|
|
о |
|
В интересующем случае диаметры и частота таковы, что пара |
||
метр £ мал |
(kd<^ 1) и формулу (4.141) можно упростить |
|
|
|
(4. 142) |
где А, — длина звуковой волны. |
~ |
|
Чтобы перейти от формулы (4.142) к соответствующему вкладу |
||
в импеданс |
панели, необходимо |
удвоить мнимую часть (с учетом |
двух концов отверстия), а также поделить все на коэффициент пер форации F. Полученная таким образом формула, однако, не учи тывает влияния одного отверстия на другое. Если расстояние меж ду отверстиями становится достаточно малым, то этим эффектом пренебрегать нельзя. Взаимодействие между отверстиями учитыва ется с помощью функции Фока [50]. Для этого необходимо во вто ром члене формулы (4.142) произвести замену
rf — rf® ^ ), |
|
где функция Фока имеет вид |
|
Ф (/?)= 1 _ 1,41Л/2 + о,34/73/2 + 0,07/75/2. |
(4. 143) |
С учетом сказанного соответствующий вклад в импеданс перфори рованной панели можно записать следующим образом:
z 2= - 1 |
г |
( d У |
• |
(4. 144> |
||
~ |
F |
[ Т |
\ |
Т ) ~ |
1 ~ |
|
где |
5= |
^ |
ф(л . |
|
(4.145) |
|
Если отверстия сближаются при неизменном диаметре, то, как следует из формул (4.143) и (4.145), величина б, пропорциональ-
лая присоединенной массе, уменьшается. Из формулы (4.144) так же следует, что присоединенная масса одного отверстия, равная Q 6 S , где S — площадь отверстия, добавляется к массе газа, содер жащейся в отверстии QtS, и наряду со вторым членом формулы (4.140) учитывает инерционные свойства количества газа, эффек тивно принимавшего участие в движении. В этой полуэмпирической теории вклады (4.140) и (4.144) составляют линейную часть
.импеданса перфорированной панели при низких уровнях звукового давления в отсутствии среднего потока
Z ^ Z j + Z*
При высоких уровнях звукового давления и в присутствии тан генциального потока становятся существенными нелинейные вкла ды в импеданс. Физически они связаны с вихревыми и струйными образованиями в отверстиях, наблюдаемыми в эксперименте при визуализации потока. Эти образования приводят к дополнительным потерям акустической энергии вследствие превращения ее в энер гию турбулентного движения, которая затем диссипируется. Этим обуславливается увеличение действительной части импеданса с ростом уровня звукового давления. Помимо этого эксперименталь ные результаты показывают, что с ростом уровня звукового дав ления величина 6 в формуле (4.144), связанная с присоединенной массой, уменьшается и достигает половины от значения, определяе мого формулой (4.145). Это также объясняется изменением харак тера течения, так как при осцилляторном течении турбулентное струйное образование разрушает присоединенную массу с той сто роны отверстия, где оно возникло.
В присутствии потока на поверхности панели образуется турбу лентный пограничный слой, который при высоких уровнях звука разрушает присоединенную массу со стороны пограничного слоя. Кроме того, возможно образование вихрей и на противоположной стороне перфорированной панели. Все это, по-видимому, объясняет полное исчезновение присоединенной массы с ростом скорости по тока. Результаты эксперимента [73] показывают, что б в формулах {4.144) и (4.145) имеет вид
1 + GCM Q |
1 |
146) |
1 + 2aMg |
(4. |
|
1 + 305МЗ ’ |
|
где а — численный коэффициент; М — число Маха тангенциаль ного потока; М0 — число Маха по акустической скорости в отвер стии.
Множитель, содержащий М0, описывает эффекты, связанные с высоким уровнем звукового давления, а множитель, содержащий М,— влияние среднего потока. Таким образом, формула (4.144) с заменой (4.146) есть та полуэмпирическая зависимость, которая описывает эффект изменения присоединенной массы при высоких уровнях звукового давления и в присутствии потока.
Рассмотрим теперь влияние высоких уровней звука на импе данс. Примем, как и ранее, что скорость является гармонической
функцией. В этом случае уравнение движения |
(4.134) |
может быть |
|||||
представлено в следующем виде: |
|
|
|||||
д?и |
__ |
да |
Х2й = |
J - |
|
|
|
дг* |
‘ г |
~дг |
х ) |
<4 - 147> |
|||
|
ev |
||||||
Сравним уравнения (4.147) и (4.135), Отметин при этом, что последний член в правой части уравнения (4.147) мал по сравне нию с первым. Сравниваемые уравнения -одинаковы, за исключени ем дополнительного члена у давления, вызванного необходимостью учета кинетической энергии акустического Потока при больших уровнях звука. Вследствие этого действительная часть импеданса, характеризующая акустическое сопротивление, возрастает при вы соких уровнях звука вследствие дополнительного сопротивления, обусловленного потерей кинетической энергии. Как известно иэ гидродинамики, эти потери давления при протекании жидкости че рез перфорированную панель можно представить в виде
b P = ~ { \ - F 2) ~ - - |
(4.148) |
где «о — как и ранее, скорость газа в отверстии.
Таким образом, учет высоких уровней звукового давления в дей ствительной части импеданса приводит к выражению следующего
вида [87]: |
|
|
|
|
у |
— ь |
l ~ F2 |
М |
(4.149) |
нл |
0 |
F & |
с |
|
где cD — так называемый, коэффициент расхода, который, вообще говоря, зависит от числа Рейнольдса по диаметру отверстия, or коэффициента перфорации и отношения tjd\ /г0 = 4/3д.
Учет среднего потока с числом М = V0/c Для реальной Части им педанса Х1Шможет быть сделан путем введения добавки ^ скоро сти uQ. В результате будем иметь
х - = ~ к 1^ (И° + Л ) = ^ !к г ( т 1 + 1,М) ’ <4Л50>
где \i — численный коэффициент, зависящий от параметров погра ничного слоя.
Согласно формуле (4.150) влияние среднего потока аналогично высоким уровням звука.
Учитывая формулы (4.140), (4.144), (4.145), (4.146) и (4.150)
для действительной части безразмерного импеданса пеРф°Рированной ЗПК, будем иметь
yr )/8vu> Л , t \ , л2 / d \2 . 4 1— Г \и0\ | АД1
-v—тН 1+т )+-Ит ;+-й -7 5 ~ г г +и (4-151>
Из этих же формул с учетом импеданса воздушной поло^ти глу. биной h для мнимой части получаем
где для б в соответствии с (4.145) и (4.146) имеем выражение
1 + <*М(; |
1 |
(4.153) |
i = J L M ( F ) |
1 + 305МЗ |
|
I + 2а MQ |
|
Формулы (4.143), (4.151) ... (4.153) определяют поведение импе данса ЗПК с учетом нелинейных факторов и являются уравнения ми, на которых основывается вычислительная процедура.
4.5.2.Вывод расчетных формул
Вуравнениях (4.151) — (4.153) зависимость импеданса от воз буждающего звукового поля выражается наличием в них акустиче ского числа Маха М0. В эксперименте, однако, контролируется не акустическая скорость, а уровень звукового давления обычно на поверхности образца ЗПК, в связи с чем найдем выражение для
импеданса через звуковое давление. Подставляя |
формулу (4.133). |
||||||
в уравнение |
(4.151), получим |
|
1 |
|
|
||
|
|
|
QC2 У Х 2 |
|
(4. 154). |
||
|
|
|
+ |
Y 2 |
|||
|
|
|
|
||||
где |
X |
+ |
-L) + J* |
(' |
+ |
Зл r |
(4. 155). |
|
|
F c \ ^ |
d j 1 2F |
V X ) |
п |
Fc% |
|
|
|
|
4 |
1— |
|
|
(4. 156). |
|
|
|
Зл |
F2c% ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A'o — действительная часть импеданса при низких уровнях звуко вого давления с учетом среднего потока. Если звуковое давление выразить в децибелах, то величину |p |/g c 2 в СИ можно записать в виде
П = М = 1,987- Ю<£- 200>/20, |
(4. 157), |
QC'2 |
|
где L — уровень звукового давления в дБ.
Уравнение (4.154) удобно представить следующим образом:
(X — X Q) 2 ( X2-|- У2) — у2П2 = 0; |
(4. 158). |
Из уравнений (4.152) и (4.153) для мнимой части импеданса лег ко получить еще одно уравнение для определения действительной и мнимой части импеданса. Эти уравнения можно переписать не сколько иначе
|
У ^ У о - У г |
|
«МI |
(4. |
159) |
|
|
|
I + 2аМд |
||||
|
|
У 8vo) |
|
|
||
где |
»( t -}- /) |
|
(4. |
160) |
||
У0= |
Fc O + H + ' S T |
|||||
|
F c |
- ) ’ |
|
|||
|
l=: — |
dO(F) |
|
1 +305M3 ’ |
(4. |
161) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Yi = |
|
U>1 |
(4. |
162) |
|
|
Tc |
||||
|
|
|
|
|
||
Аналогично предыдущему Y0 есть величина мнимой части импе данса при низких уровнях звука с учетом среднего потока. Обе ве личины Х0 и У0 непосредственно вычисляются подстановкой задан ных параметров. Если выразить М0 в соответствии с уравнением (4.133)
М0 = II |
1 |
(4. 163) |
F |
/ + Г2 ’ |
|
•то уравнение (4.159) легко преобразовать к следующей форме: |
||
<у ~ Уо) (Л'2 + К2) ~|- а -51 [2 (У — К0) + К,] = 0. |
(4. 164) |
|
|
Г * |
|
Уравнения (4.158) и (4.164) образуют систему, решая которую относительно X и Y можно определить импеданс ЗПК с учетом не линейных эффектов. Так формулируется прямая задача определе ния импеданса.
Обратимся теперь к формулировке аналогичных уравнений в обратной задаче. Исходными также остаются уравнения (4.151) и (4.153), но теперь считаем известными импеданс и требуется опре делить геометрические параметры ЗПК, а именно t, d, F и h. Одна ко мы имеем всего два уравнения. Вследствие этого какие-то два из перечисленных параметров необходимо задать, чтобы однознач но определить остальные два. Такими известными параметрами 'будем считать диаметр отверстий и толщину панели, а искомыми считаем коэффициент перфорации и глубину полости.
При известных X и Y уравнение (4.151) совместно с уравне
нием (4.133) |
позволяет определить |
коэффициент |
перфорации |
F. |
|||||
Это уравнение можно записать как кубичное уравнение |
|
|
|||||||
|
сгР3+ C2F2 — c3F — с0 = 0, |
(4.165) |
|||||||
где коэффициенты ск определяются из следующей |
системы |
|
ра- |
||||||
венств: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сп = |
4 |
тт |
|
|
1 |
(4. 166) |
||
|
---- П ------------- |
||||||||
|
|
Зл |
у X2 + Y2 |
|
|
|
|||
|
|
|
4 |
|
хд |
1 |
(4. |
167) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
С2 — х -f- с0; |
(4. 168) |
||||||
|
С = |
0 |
+ 1 ) + |
2 ( п +*■• |
(4. 169) |
||||
|
- |
|
|
|
|||||
Величина П, как и ранее, определяется формулой |
(4.157). Находя |
||||||||
из уравнения |
(4.165) коэффицент перфорации F и подставляя |
|
его |
||||||
в уравнение (4.152), можно найти глубину полости |
|
|
|
||||||
|
A = |
i [ |
f |
~ |
arCtg^ ] ’ |
(4.170) |
|||
где |
Л / = ^ ± Н |
+ - |
^ |
( |
1 + -£-) + к |
(4. 171) |
|||
Таким образом, уравнения (4.165) ... (4.171) решают обратную задачу определения коэффициента перфорации F и глубины полости h по известному импедансу на заданной частоте, а также при известных геометрических параметрах t и d, уровне звукового дав ления на поверхности ЗПК и известном среднем потоке.
Когда |
поток отсутствует (М = 0), |
уравнение (4.165) упрощает |
ся (Ci = 0) |
и становится квадратным, |
его решение имеет вид |
|
сг + V с\ + |
4с0с2 |
|
2^ |
(4. 172> |
|
|
Из (4.172), в частности, следует, что с увеличением уровня зву кового давления при прочих фиксированных параметрах растет ко эффициент перфорации. Кроме того, с ростом действительной час ти импеданса при фиксированных остальных параметрах F убы вает.
4.5.3.Сравнение результатов расчета
иэксперимента
На основании численного решения уравнений (4.158) и (4.164} были получены частотные зависимости действительной и мнимой частей импеданса для различных уровней звукового давления на поверхности ЗПК. При расчетах коэффициенты a, \х брались равными а -3 -1 0 5, CD= 0,8, р = 0,31 [87]. Результаты расчета срав нивались с результатами измерений, представленными в следую щей форме:
Z =X — ikmt —f-i ctg kh, |
(4. 173) |
где mi — инерционный параметр.
Измерения импеданса резонансных ЗПК были выполнены с по мощью интерферометра высоких уровней [38] в диапазоне частот 1000 5000 Гц. Уровень звукового давления на поверхности иссле-^ дуемого образца при этом поддерживался постоянным, диапазон
изменения уровней составлял 110 |
145 дБ. |
Из сопоставления расчетных |
зависимостей X и mi и экспери |
ментально полученных точек (рис. 4.17, 4.18) следует, что в широ ком диапазоне изменения уровней звукового давления и геометри ческих параметров ЗПК наблюдается достаточно хорошее соответ^ ствие этих данных.
Полученные результаты подтверждают, что при низких уровнях звукового давления действительная часть импеданса увеличивает ся с ростом частоты. Рост уровня до 120 130 дБ вызывает допол нительное увеличение X вблизи резонанса ЗПК. При дальнейшем росте уровня частотная зависимость X приобретает характер ши рокой резонансной кривой, т. е. нелинейность в наибольшей степе ни проявляется в области резонанса, когда скорость газа в отвер стиях максимальна. Вдали от резонанса, особенно при умеренных
, ММ |
^ |
т - -■—1 |
Цйр 110 06 |
||
сг—---- г ■ - |
|
|
|
||
1------- |
|
|
—---- - |
||
• • |
4 |
Т |
|
||
|
|
|
|
• «I |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
.----- |
11506 |
||
|
|
: Z |
J |
||
|
|
|
|
||
П Г |
|
|
|
L _ !_ J |
|
|
135 дВ |
1 |
• ]>.# < 4 ___- |
1 i р |
|
г— f - |
* о • > |
|
|
|
Н5дВ |
|
|
|
|
;250 |
т о |
гооо |
zsoo |
л so |
f/ц |
||
Рис. 4.17. Действительная часть им |
Рис. |
4.18. Инерционный |
пара |
||||||||
педанса |
ЗПК, |
имеющей Z7= |
10%, |
метр |
перфорированной |
панели |
|||||
<d = 2 мм, |
/= 1,3 |
мм, fi= 25 мм, |
при |
ЗПК, |
имеющей |
F = 10%, |
d = |
||||
различных уровнях звукового давле |
= 2 |
мм, |
/= 1,3 |
мм, |
h —25 |
мм, |
|||||
ния на |
поверхности: |
|
при различных |
уровнях |
звуко |
||||||
---------- расчет; ф —эксперимент |
|
вого |
давления |
на поверхности: |
|||||||
|
-----------расчет; |
ф —эксперимент |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
уровнях звука, нелинейное поведение ЗПК выражено слабо. Инер^ ционный параметр перфорированной панели с ростом уровня уменьшается.
Некоторые расхождения расчетных и экспериментальных зна чений могут быть объяснены приближениями, которые были при няты в теории; кроме того, расхождение может быть вызвано ошибками измерений, отклонениями истинных геометрических па раметров панели от номинальных и формы отверстий от цилинд рической. Наличие воздушного потока в канале приводит к росту действительной части импеданса и уменьшению инерционного па раметра (рис. 4.19).
Интересно отметить, что изменение импеданса конструкции при изменении уровня падающего звука и скорости потока в кана ле натолкнуло исследователей на создание ЗПК с переменным импедансом. В качестве примера на рис. 4.20 приведена конструк ция, импеданс которой изменяется вследствие подачи воздуха. Ре гулируя скорость поступающего воздуха, можно изменить импе данс ЗПК, добиваясь таких значений X и У, которые обеспечива ют максимальное затухание при известных скоростях потока, уровнях и спектре шума.