Аэродинамические источники шума

В результате уравнение (1.39) примет форму Крокко

Вычислим теперь разность двух последних членов в правой части уравнения (1.46) с учетом соотношения QC2=yp и уравнений (1.39) и (1.42):

Уравнение (1.48) является точным следствием законов сохра­ нения массы и импульса (1.38) и (1.39), а также уравнения состо­ яния идеального газа и представляет собой обобщение уравнения (1.24) на случай потока с завихренностью и неоднородностями энтропии. Как и следовало ожидать, в левой части уравнения (1.48) стоит по форме тот же самый волновой оператор, что и в уравнении (1.24), однако теперь он действует на энтальпию тормо­ жения В, и материальная производная D/Dt включает в себя так­ же и вихревую компоненту скорости V. Завихренность и возмуще­

ния энтропии проявляются в уравнении (1.48) также в виде не рав­ ной нулю правой части. В области, где отсутствуют завихренность й и возмущения энтропии 5, правая часть уравнения (1.48) обра­ щается в нуль, и в силу (1.9) оно переходит в уравнение Блохинцева (1.24) для потенциала скорости. Поскольку уравнение (1.24) или его линеаризованная версия (1.25) описывают распростране­ ние звука в безвихревом потоке с постоянной энтропией, правую часть неоднородного уравнения (1.48) естественно интерпретиро­ вать как источники звука, эквивалентные нестационарному потоку с завихренностью и возмущениями энтропии.

На этом основании можно утверждать, что генератором звука в нестационарном потоке является завихренность и возмущения энтропии. Источники звука локализуются в тех областях потока, где эти величины отличны от нуля. О них можно говорить как об областях генерации звука, вне этих областей звук только распрост­ раняется, взаимодействуя с безвихревым изэнтропийным основным потоком. Отсутствию звука соответствует постоянство В, что имеет место в стационарном безвихревом потоке с постоянной энтропией, где выполняется уравнение Бернулли.

Отдавая должное Блохинцеву, который впервые получил одно­ родное конвективное волновое уравнение, описывающее распрост­ ранение звука, и Хоу [74(1, который первым записал уравнение Блохинцева с правой частью в виде (1.48), в дальнейшем будем назы­ вать (1.48) уравнением Блохинцева — Хоу.-Уравнение (1.48) явля­ ется нелинейным дифференциальным уравнением, принципиальное определение из которого энтальпии В возможно только с привле­ чением других уравнений, определяющих завихренность Й и возму­

Это уравнение связывает изменение завихренности жидкой части­ цы (член DSl/Dt) с порождением завихренности вследствие изменег ния объема жидкой частицы и растяжения вихревых трубок (вто­

й является соленоидальным, т. е. div й = 0. Между тем поле за­ вихренности й, удовлетворяющее уравнению (1.50), автоматически

условию соленоидальности не удовлетворяет. Действительно, вы­ числяя дивергенцию от обеих частей уравнения (1.49), получим

dt

Иными словами, наряду с уравнением (1.50) для поля завихренно­ сти необходимо требовать во всем потоке также выполнения усло­ вия соленоидальности

Видно, что если в некоторый момент времени это условие выполня­ ется во всем потоке, то оно будет выполнено в любой другой мо­ мент времени.

С учетом уравнения непрерывности (1.38) уравнение (1.50) для -завихренности можно записать также несколько иначе

В пренебрежении диссипацией энергии, т. е. вязкостью и тепло­ проводностью, движение газа происходит адиабатически—..без теплообмена между отдельными жидкими частицами. В этом слу­ чае энтропия жидкой частицы остается постоянной при ее переме­ щении. Математическим выражением этого факта является уравне­ ние

Dt

Это означает, что в большинстве случаев последний член в правой части уравнения (1.48) не существен с точки зрения генерации звука, а с учетом уравнения (1.54) его нужно опустить. В некото­ рых случаях теплопроводность может оказаться существенной, как скажем в случае, когда температура поверхности тела, находяще­ гося в потоке, изменяется со временем и интерес представляет свя­ занное с этим излучение звука, тогда вместо уравнения (1.54) сле­ дует взять уравнение баланса энтропии в следующей форме [21]:

где х — коэффициент теплопроводности, и при этом предполагает­ ся, что эффектами вязкости можно все еще пренебречь. В этом слу­ чае последний член в правой части уравнения (1.48) необходимо учитывать.

С точки зрения определения уровня звука и нестационарных нагрузок на поверхности тел, помещенных в поток, непосредствен­

Таким образом, нестационарные пульсации давления связаны не просто с временными изменениями энтальпии торможения, а с ее изменениями, относящимися к жидким частицам. Звук будет отсут­ ствовать, если энтальпия торможения жидких частиц не меняется.

К уравнениям (1.48), (1.50) и (1.54) необходимо добавить гра­ ничные условия. На твердой поверхности, находящейся в нестацио­ нарном потоке идеального газа, должна обращаться в нуль нор­ мальная к поверхности компонента полной скорости. Взяв проект цию векторного уравнения (1.42) на нормаль, получим следующее граничное условие на поверхности тела:

ведение векторов. Если вблизи поверхности отсутствуют завихрен­ ность и энтропийные неоднородности, то граничное условие перехо­ дит в условие классической акустики дВ/дп = 0 с той лишь разни­ цей, что оно наложено на энтальпию торможения. Граничное усло­ вие (1.56) совместимо с представлением об идеальной жидкости, однако реально оно является сильной идеализацией, поскольку вблизи поверхности имеется пограничный слой, в котором сущест­ венны эффекты вязкости и теплопроводности. Вероятно физически последовательное описание должно учитывать эти эффекты в духе теории пограничного слоя, а излагаемая здесь теория может рас­ сматриваться как главный член внешнего асимптотического разло­ жения для больших чисел Рейнольдса.

Обобщенное акустическое волновое уравнение (1.48), уравнение Гельмгольца для завихренности (1.50) и уравнение баланса энтро­ пии (1.54) , (1.54') являются основными в аэроакустике. Но на них можно посмотреть и с более общих позиций механики жидкости и газа. Будучи следствием основных законов сохранения, эти урав­ нения позволяют сформулировать очень общее и физически фунда­ ментальное представление о дом, что всякое нестационарное дви­ жение газа есть суперпозиция трех особых видов движения: акус­ тического волнового, вихревого и теплового движений. Их будем называть акустической, вихревой и энтропийной компонентами движения. В силу нелинейности названных ранее уравнений ком­ поненты движения взаимодействуют между собой, приводя к вза­ имопревращению движений; при этом нелинейные члены уравне­ ний описывают их взаимодействия.

Довольно большое количество наблюдаемых нелинейных эф­ фектов объясняется этими взаимодействиями, которые сами по се­ бе составляют предмет исследования в различных областях меха­ ники жидкости и газа, где эти эффекты имеют свои названия: на­ пример, непрерывная генерация вихрей, называемая турбулентно­ стью, аэродинамическая генерация звука, акустические течения, нелинейные волны, рассеяние звука турбулентностью и т. д. Этот

список можно продолжить. Другими словами, сущность этого об­ щего физического представления в том, что все разнообразие на­ блюдаемых при движении газа явлений можно представить себе как результат взаимодействия акустической, вихревой и энтропий­ ной компонент движения.

При определенных условиях компоненты расцепляются и стано­ вятся независимыми друг от друга. Это происходит в случае, когда нестационарное движение газа можно рассматривать как малое возмущение относительно однородного и стационарного основного состояния среды. Малость возмущений позволяет произвести лине­ аризацию уравнений, и если при этом основной поток однороден, то линеаризованные уравнения для давления, завихренности и энтропии становятся независимыми. Это означает, что акустичес­ кая, вихревая и энтропийная компоненты не взаимодействуют друг с другом. Существенным моментом для независимости компонент является однородность и стационарность основного состояния сре­ ды, в противном случае компоненты взаимодействуют уже в линей­ ном приближении.

С этих позиций взаимодействия акустической, вихревой и энт­ ропийной компонент проявляются в высших порядках по возмуще­ ниям. Все эффекты взаимодействия второго порядка по возмуще­ ниям с учетом вязкости и теплопроводности перечисляются в рабо­ те Коважного и Чжу [60]. Нас в первую очередь интересуют те вза­ имодействия, которые остаются в пренебрежении вязкостью и теп­ лопроводностью и являются, очевидно, главными.

В классической линейной акустике звук со звуком не взаимо­ действует, что формулируется в виде принципа линейной суперпо­ зиции звуковых полей. Уравнение (1.24), описывающее распрост­ ранение звука в отсутствие завихренности и неоднородностей эн­ тропии, является нелинейным волновым уравнением, в котором не­ линейные члены описывают эффекты самодействия или взаимодей­ ствия акустической компоненты с акустической. Эти же члены, естественно, имеются и в более общем уравнении (1.48). Они при­ водят к эффектам рассеяния звука на звуке, нелинейному искаже­ нию акустических волн, акустическим течениям. Исследование этих эффектов является предметом нелинейной акустики. Подроб­ ное их рассмотрение можно найти в работе [43[]. Важное с точки зрения борьбы с шумом исследование нелинейного распростране­ ния звуковых волн в каналах проведено в работе [92]. В пренебре­ жении вязкостью и теплопроводностью этими эффектами исчерпы­

сеяния звука турбулентностью), к переносу вихрей акустическими

волнами и к генерации завихренности вследствие изменения объ­ ема жидких частиц.

Энтропийная компонента с энтропийной в пренебрежении вяз­ костью и теплопроводностью не взаимодействуют.

Взаимодействие вихревой и энтропийной компонент в пренеб­ режении диссипативными эффектами сводится к переносу тепла вихревым движением.

Наконец, взаимодействие вихревой компоненты с вихревой при­ водит к переносу вихрей вихревым полем скорости, к генерации завихренности вследствие растяжения вихревых трубок и к аэро­ динамической генерации звука — главному эффекту с точки зрения аэроакустики.

Этим исчерпывается список взаимодействий и связанных с ни­ ми эффектов, если рассматривать уравнения идеального газа. Чле­ ны взаимодействия в уравнениях (1.48), (1.50) и (1.54), приводя­ щие к порождению той или иной компоненты движения, легко мо­ гут быть найдены. Предметом нашего рассмотрения является эф­ фект аэродинамической генерации звука (т. е. взаимодействие вихревых компонент), источники которого содержатся в членах. div(QXtf] и Dv/Di{QXv] правой части уравнения (1.48).

1.4. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АКУСТИЧЕСКОЙ, ВИХРЕВОЙ И ЭНТРОПИЙНОЙ КОМПОНЕНТ ДВИЖЕНИЯ

В общем случае систему уравнений, определяющую движение идеальной жидкости, не говоря уже об уравнениях Навье — Сток­ са, проинтегрировать не представляется возможным. Это относит­ ся и к уравнениям (1.48), (1.50) и (1.54). Только различные упро­ щающие предположения позволяют получить на основе этой сис­ темы уравнений достаточно глубокие и фундаментальные резуль­ таты. Одним из таких предположений, сохраняющих в то же время важные особенности исходных уравнений, является предположе­ ние, что нестационарное движение газа можно рассматривать как малое возмущение относительно стационарного основного состоя­ ния среды. Оно позволяет заменить исходную систему уравнений линеаризованной системой, исследование которой в значительной мере упрощается.

Пусть основное состояние среды есть стационарный поток, в ко­ тором отсутствуют завихренность и неоднородности энтропии, со­ ответствующие обтеканию твердого тела или течению газа в кана­ ле. Можно ввести потенциал скорости ф0 основного потока, кото­ рый, очевидно, совпадает с введенным в разд. 1.2 и удовлетворяет уравнению (1.31), а также условию равенства нулю нормальной составляющей скорости на обтекаемой твердой поверхности дц)0/дп = 0 и на бесконечности условию однородности набегающего потока. При рассмотрении линеаризованных уравнений все пара­ метры основного потока будем считать известными. Напомним,

■что плотность, температура и давление в изэнтропийном безвихре­ вом потоке являются функциями модуля скорости V [21Ц:

где go, То, ро, V — соответственно плотность, температура, давление и скорость основного потока; Q0O, Т00, рт— те же величины, но от­ носящиеся к точке торможения потока, = 2 с02/(у—1). Таким

образом, неоднородность поля скорости автоматически приводит к неоднородности всех параметров основного потока, исключая, ко­ нечно, случай скоростей, малых по сравнению со скоростью звука.

Рассмотрим основные уравнения (1.48), (1.50) и (1.54), прини­ мая во внимание только линейные по возмущениям члены. С уче­ том потенциальности и изэнтропийности основного потока линеа­ ризованный аналог уравнения (1.50) для возмущений завихренно­ сти £2' записывается следующим образом;

где а — возмущение энтропии. Оператор Do/Dt определяется выра­ жением (1.27). Уравнение (1.60) можно также представить в дру­ гой форме

которая получается путем линеаризации уравнения (1.53). К урав­ нениям (1.60) для возмущений завихренности необходимо доба­ вить условие соленоидальности поля

Это условие является существенным, так как возмущенная ско­ рость V не вошла в линеаризованные уравнения (1.60) и поэтому нет необходимости пользоваться определением Q' = rotv'. В то же время условие (1.61) следует из этого определения, но не вытекает автоматически из уравнений (1.60) и ввиду этого условие соленои­ дальности необходимо, чтобы система уравнений была полной.

Линеаризованное уравнение для энтропийных возмущений с учетом (1.54), очевидно, можно записать в следующем виде:

Линеаризуем теперь уравнение (1.48). Для энтальпии тормо­ жения основного потока В0 это уравнение выполняется тождествен­ но, так как в основном потоке выполняется уравнение Бернулли

дифференцирования по времени и координатам. Уравнение (1.63) в однородном потоке принимает вид

В', однако они таковы, что не дают вклада в нестационарные пуль­ сации давления. В самом деле, действуя на обе части уравнения (1.67) оператором D0/Dt и учитывая его коммутативность с опера­ циями дифференцирования, постоянство скоростей У и с и темпе­ ратуры Г0, а также принимая во внимание уравнения (1.62), (1.64) и (1.66), получим однородное волновое уравнение для производной по времени от давления

( 1. 68)

Из этого уравнения следует, что нестационарные пульсации дав­ ления в линейном приближении никак не связаны с возмущениями завихренности и энтропии. Иными словами, эти возмущения в од­ нородном потоке звука не порождают. Это, конечно, не означает, что в линейном приближении в однородном потоке нет звука вооб­ ще, он может быть создан другими источниками не аэродинами­ ческого происхождения, например, колокольчиком, но аэродинами­ ческая генерация звука есть эффект второго порядка по возмуще­ ниям завихренности.

Таким образом, согласно линеаризованному уравнению (1.63) эффект генерации звука вихревыми и энтропийными возмущения­ ми имеет место, когда эти возмущения движутся ускоренно в неод­ нородном основном потоке. По аналогии с классической электро­ динамикой такое излучение называют тормозным акустическим из­ лучением. Линеаризованные уравнения (1.62), (1.66) и (1.68) яв­ ляются также доказательством сделанного в разд. 1.3 утвержде­ ния, что три компоненты движения: акустическая, вихревая и энт­ ропийная в однородном потоке не взаимодействуют.

и энтропии можно проинтегрировать в общем виде. Решение этих уравнений в случае, когда основной поток — плоский двухмерный,, будет рассмотрено позже в предположении, что сами возмущения имеют общий вид, т. е. являются трехмерными. Имея решение уравнений для возмущений завихренности и энтропии, можно в яв­ ном виде определить источник в правой части линеаризованного' акустического уравнения (1.63). В соответствии с изложенным ра­ нее наибольший интерес представляет решение этого уравнения в общем случае, когда основной поток неоднороден, т. е. имеется аэродинамическое излучение звука. Но именно это ведет к основ­ ным трудностям при решении волнового уравнения (1.63). Полу-