Остаточные напряжения
..pdfФиг. 58. Эпюры нормальных и касательных на пряжений.
Фиг. 59. Сечение для выявления остаточных напряжений.
Фиг. 60. Практически применяемая форма среза.
гружена обратными остаточными напряжениями. Отметим, что на практике чаще применяется удаление всего слоя (фиг. 60), и тогда силовые факторы действуют в концевых областях. Из условия рав новесия элемента А1В1 ВА вытекает, что два указанных сечения (фиг. 59 и фиг. 60) приводят к одним и тем же значениям силовых факторов для основной зоны стержня. Более простая расчетная
Фиг. 61. Изменение остаточных напряжений в про цессе снятия слоя.
схема свойственна сечению, показанному на фиг. 59. Эта схема уда ления слоев будет применяться в дальнейшем для расчета остаточ ных напряжений.
Определим остаточные напряжения а (а), действующие в стержне
на расстоянии а от верхней |
грани стержня (фиг. 61). В результате |
||||
: б (а)'. |
* |
i |
'5 |
la)'. |
|
|
У ^ / |
c |
|||
|
|
|
s |
/ |
|
|
|
|
|
/ |
1 |
|
■**' |
•< |
|
J |
|
|
|
/ |
|
||
|
, / s S / ' * S S S / S s S / / s S S S S / S S s , r/ . ' S S S S S / ' s s , s S / S / S / S / S / |
|
|
||
|
- -------------------------- |
l---------------------- |
- |
|
|
Фиг. 62. Остаточные |
напряжения в слое |
после |
снятия |
||
|
|
материала. |
|
|
|
удаления полосы толщиной а в рассматриваемой площадке возник нут дополнительные напряжения <7а (а) (при выводе эти напряжения предполагаются положительными), и напряжение в слое, отстоящем на расстоянии а, окажется равным
а* (а) = а (а) + Стэ (а). |
(1) |
Напряжение а* (а), существующее в слое а после удаления всех предыдущих слоев, может быть найдено из следующих соображений. Проведем дополнительный срез бесконечно тонкого слоя толщиной da (фиг. 62). Это эквивалентно приложению к стержню длиной I изгибающего момента
Ш = ± -o*(a )b (h — a)da, |
(2) |
где Ъ— ширина стержня (см. фиг. 57).
Если к стержню приложен изгибающий момент М (фиг. 63), то прогиб в середине длины стержня 1
, |
Ml2 |
О) |
7 |
8EJ ’ |
|
где J — момент инерции поперечного |
сечения. |
|
Фиг. 63. Прогиб стержня под действием изгибающих моментов.
В рассматриваемом случае
т__Ь (h — а)3
|
J |
~ |
12 |
|
(4) |
|
|
|
|||
При действии изгибающего |
момента |
dM приращение |
прогиба |
||
|
|
|
|
|
<5 > |
Учитывая равенства (2) и (5), найдем |
|
||||
df== lE (h -a)*- a* {a)d<l |
|
||||
или |
= |
|
4E(h — aY |
|
|
а* (а) |
|
df |
(6) |
||
|
|
312 |
da |
||
Полученная формула показывает, что напряжение, действующее в слое перед его удалением, пропорционально отношению прираще ния прогиба df к толщине снятого слоя da.
Для определения истинного остаточного напряжения в слое а (существовавшего в этом слое в исходном состоянии образца до среза
предыдущих слоев) |
надо вычислить дополнительное напряжение |
Од (а), возникшее в |
результате удаления слоев. |
Пусть в данный момент удаляется слой d £ на расстоянии £ от верхней грани стержня (фиг. 64). В результате на стержень с высо
той сечения (h — £) начинают действовать |
растягивающее |
усилие |
||||
dN = о* (1) bd % и момент |
dM = |
о* (£) b (h—Q d £. В |
слое а, |
|||
отстоящем от нейтральной |
плоскости |
изгиба |
на |
расстоянии |
|
|
( f t - а) - ± |
( f t - t) = |
± |
(А + |
l - |
2а), |
|
1 Влиянием осевых сил на изгиб стержня |
пренебрегаем, что не вносит су |
|||||
щественной погрешности. |
|
|
|
|
|
|
возникнут напряжения
d o 0 ( a ) = ^ f_ 4 y 3 •-J- (Л + Л ~ 2а) + ъ £ - Ъ )
= 3 Ц ^ ~ о* (0 «*.I + - з г г ц - °* (0 d 6-
Напряжение a* (£) в слое £ при снятии всех предыдущих слоев ткожно определить точно таким же образом, как и в слое а. Заменяя в равенстве (6) величину а на £, можно записать
|
О* (0 1 * |
4E (h -l)t |
<*/ |
(8) |
|
|
3i2 |
d\ • |
|||
■ч^ |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
7 7 7 7 7 } |
|
|
1 |
|
|
1 |
'' |
|
<5* |
|
|
'' |
|
|
С |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
------ / |
1 |
|
|
|
|
/ |
|
''////У. |
|
7 S , S S S S 7 / s / , ' / S 7 S / / / / / / / > ' / / у / / |
|||
{(hH-Za) |
|
|
|
|
|
|
------------------------------------------------------ |
|
/ --------------------------------------------------- |
► |
|
Фиг. 64. |
Определение |
дополнительных |
напряжений в слое |
а, |
|
|
возникающих при |
постепенном |
снятии слоев. |
|
|
Теперь из |
/ |
|
|
|
|
соотношения (7) вытекает |
|
|
|||
|
d во (а) = |
-Щ - (4h — 6я -тЬ 2£) |
(9) |
||
Суммируя приращения напряжений от снятия всех предыдущих слоев, получим дополнительное напряжение в слое а
а
ад (а) = J d o 0= -| £[(4Л -6а)/(а) + |
2 ) |
|
(10) |
о |
b |
s |
J |
/
В этом равенстве учтено, что в начальный момент прогиб стержня отсутствует: / (0) = 0.
Учитывая тождество
а а
J l * d l = a f ( a ) - f f ( l ) d t ,
о о
запишем зависимость (10) в следующем виде:
00 (а) = IS - И * - а) 1 (а) - 2 / / (|) d б] |
(11) |
Зная величины а* (а) и ад (а), получим из равенства (1) основную расчетную формулу
а (а) = Ъ1г |
A L ( a ) - 4 (h- a)f(a) + 2 //(£)d£ (12) |
4Е |
|
|
О |
Напомним правило знаков при вычислениях по этой формуле. Если величина а (а), полученная в расчете, является положительной, то остаточные напряжения в слое глубиной а — растягивающие. Прогиб / считается положительным, если он направлен в сторону снятого слоя. На фиг. 65 дана иллюстрация к этому правилу.
Фиг. 65. Прогибы стержня при снятии^верхнего слоя:
а — растягивающие напряжения в слое; б — сжимающие напряженн в слое.
Для определения остаточных напряжений надо знать не только величину прогиба в данный момент, но и проследить за измене нием прогиба при увеличении толщины снятого слоя.
Можно показать непосредственным интегрированием, что оста точные напряжения, вычисленные по формуле (12), всегда удовле творяют общим условиям равновесия
h |
a (a) da = |
0; |
/ |
||
О |
|
(13) |
h |
|
|
/ |
а (а) ( i r |
~ а) da 0. |
0 |
|
|
Выполнение этих условий контролирует в данном случае только правильность произведенных вычислений.
Б. Использованная схема вывода (рассмотрения напряжений при снятии самого, слоя и при снятии предыдущих слоев) приме няется во всех работах по определению остаточных напряжений, начиная с работ Г. Закса [157] и Н. Н. Давиденкова [32].
Приведем теперь принципиально другой вывод формулы для остаточных напряжений в стержне. Пусть в стержне^ удалена по лоса материала толщиной а (фиг. 66). Деформация оставшейся части возникает от приложения обратных остаточных напряжении по пло скостям АВ и DC.
5 Заказ 288.
На расстоянии £ от верхней грани действуют напряжения о (£), направление которых соответствует предположению, что неизвест ные остаточные напряжения являются положительными (растяги
вающими).
Изгибающий момент, создаваемый приложенными на поверх ности АВ силами, относительно середины высоты стержня (точки 0) будет равен
а |
|
M = f |
[ r ^ + a) - i ] bdi- |
о |
|
А № |
Л |
Фиг. 66. Другой вывод формулы для остаточных напря жений в стержне.
Учитывая равенства (3) и (4), найдем
/ о ® |
[ 4 - <*+«)—б]ле |
|
зI2 |
|
(14) |
ж = 2 Е |
(Л — а)3 |
В этом уравнении неизвестная функция а (£) входит под знак интеграла, и с математической точки зрения соотношение (14) пред ставляет собой интегральное уравнение Вольтерра первого рода. Уравнение (14) имеет, однако, вполне элементарное решение. Пере нося величину (h — а)8 в левую часть равенства и продифференци ровав по а, получим *
( h - a y ^ L ( a ) - 3 ( h - a ) 4 ( a ) =
= |
/^ (6 )^ 6 + -| -а (а )(Л — «)] - |
' (15) |
|
о |
|
Отметим важное следствие равенства (15) при а = 0. Из урав нения (15) вытекает формула для остаточного напряжения в наруж ном слое (а = 0)
а (0) |
3 l 2 |
(16) |
|
d a V * * ' |
*Напомним правило дифференцирования интеграла но верхнему пределу:
оа
[ ' ( * , & * * - [ ~6^ d l + F(a, а).
0 о
/ (0) = 0. (17)
Если снова продифференцировать равенство (15), то будем иметь
(* - a? -g - (а) - 6 (Л - |
а) |
(а) + |
^ <а) = |
- ■&• - £ <*>• |
|
(18> |
|
Левую часть равенства можно представить так: |
|||
da [ ( f t - a ) ’ - ^ - ( a ) - 4 ( f c - a ) / ( a ) + |
|
||
3l2 |
do |
|
|
4Е |
da |
|
|
откуда * |
|
|
|
a)f{a) + |
о |
¥ ^ - ( 0 ) = |
|
|
|
|
|
= - g - (а (а )-< т (0)).
Учитывая соотношение (16), приходим к уже известной формуле (12) для остаточного напряжения на расстоянии а от верхней грани
а (а) = -Ц - [(Л - a)» - g (а) - 4 (Л - а) / (а) + 2 / / (|) d |] .
В. При выводе основной расчетной формулы (12) предполага лось, что длина деформирующегося участка стержня равна I и про гиб / измеряется относительно концевых сечений этого участка. Участок длиной I соответствует зоне постоянных (по длине) остаточ ных напряжений. Концевые участки, соответствующие «зоне вклю чения» (см. фиг. 58), деформируются неполностью.
Если принять, что участки длиной 1г (фиг. 67) остаются прямо линейными, то зависимость между прогибом и изгибающим момен том имеет следующий вид:
эту формулу можно применять и в том случае, если на участках длиной 1Х снятия слоев не происходит.
Более точная зависимость получается, если предположить линей
ное изменение изгибающего момента от 0'до М в пределах концевого участка.
* Этот же результат получается после интегрирования обеих частей равен ства (18) с помощью Интегрирования по частям.
Тогда
Если происходит, как обычно, снятие слоя на всей длине стержня L и прогиб замеряется относительно торцов стержня, то в точных расчетах должна быть учтена «длина включения» /х. Принимая
получим
(21)
|
Ь---------------- |
I ---------- |
Ч |
-------------------------- |
L ----------------------------------- |
|
- |
Фиг. |
67. Определение прогиба при наличии |
||
неизгибающихся концевых участков. |
|||
Если величина |
h < 0,1 L, то |
поправкой на зоны включения |
|
можно пренебречь |
и считать |
|
|
1&L.
Г. Во многих практических задачах (например, при исследова нии остаточных напряжений после механической обработки) оста точные напряжения резко изменяются в пределах поверхностных слоев (при толщине порядка 0,1 мм). В этом случае для получения надлежащей точности требуется последовательное удаление очень тонких слоев. Весьма важным является также точное вычисление величии, входящих в формулу (12). Непосредственно из эксперимента
получается |
ряд значений прогибов |
fv |
/ 2, |
/з-**. соответствующих |
|||
различным |
толщинам |
снимаемого слоя |
av |
Оы |
и |
требуется |
|
определить |
значения |
функции / (а), |
ее |
производной |
и |
интеграла |
|
в расчетных сечениях. С математической точки зрения это предста вляет собой известную задачу теории приближенных вычислений. Один из простых приемов состоит в применении параболической аппроксимации — на рассматриваемом участке неизвестная функ ция заменяется параболой, проходящей через три заданные точки.
Остановимся |
сначала |
на |
вычислении остаточных напряжении |
|
в поверхностном |
слое. |
а = |
0 или по равенству (16) |
|
По формуле (12) при |
||||
|
" ( О ) - '™ |
~ |
||
Для расчета необходимо определить значение производной про гиба по глубине снимаемого слоя в начальный момент. Простая приближенная формула
(23)
не всегда обеспечивает необходимую точность, в особенности если в пределах первого снятого слоя происходит существенное изменение остаточного напряжения.
Для более точного вычисления производной заменим кривую / (а) параболой, проходящей через начало координат (фиг. 68) и
точки |
а1? |
/ х |
и |
а2, / 2 |
Уравнение |
этой параболы |
|||
будет |
таким: |
|
||
|
|
|
|
4 |
|
+ |
/2 |
|
а (а — аг) |
|
|
(24) |
||
|
|
12 |
а 2 (а 2 — a i) |
|
Легко видеть, |
что при а = а х |
и а = а2 кривая |
имеет в соот |
ветствующих точках ординаты /1 и /а.
Из уравнения (24)
Фиг. 68. Приближенное вычисление про изводной в начале координат.
- £-(*) = |
— |
^ (2а — а2) Н-------— г (2а — аЛ. |
17 |
|||
ах (а 1 — °г) |
V |
' |
а 2 (аг— ах) |
|||
При а = 0 будем иметь |
|
|
|
|
||
|
df |
/Q4 = |
|
/ifla__________ hai |
(25) |
|
|
d a ' > |
a i ( a 2 ~ * a i ) |
Н ( а 2 ~ й \) |
|||
|
|
|||||
В этом равенстве при определении производной используются результаты не только первого, но и второго измерения.
В соответствии |
с |
формулой |
(22) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
гг (п\ =r |
AEh2 |
( |
|
__________ /afli |
_ |
|
(26) |
|||||||
|
|
|
' |
3l2 |
l |
ai(fl2 — вд) |
a2 ^ 2 ~ |
ai) |
|
|
|
|||||
Рассмотрим иллюстративный пример. Пусть в стальном бруске (h = 10 лл, |
||||||||||||||||
/ = 110 мм) после снятия первого слоя толщиной |
Ai = 0 ,2 |
|
мм замерен прогиб |
|||||||||||||
h — 0,05 мм, |
после 'снятия |
второго |
слоя |
толпщной |
Д2 = |
0,28 мм величина |
||||||||||
прогиба |
/2 = |
0,08 мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поверхности. |
||||
Требуется определить остаточные напряжения у |
||||||||||||||||
В рассматриваемом |
примере |
а1 = |
Дх = |
0,2 мм\ |
а* = а\ 4 |
Дг = 0,48 леж. |
||||||||||
По формуле (26) находим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
о(0) |
4 - 2 - 104 |
( |
10 |
\2 / |
0,05-0,48 |
0,08 •0,2 |
= 68 |
кГ/мма. |
||||||||
3 |
[ |
110 |
) |
[ |
0,2-0,28 |
0,48 •0,28 |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Если |
использовать |
приближенное равенство |
(23), то |
|
получим |
|||||||||||
|
|
|
|
о |
(G) = 55 кГ/мм2- |
|
|
|
|
|
|
|||||
Перейдем |
к определению |
производных |
при |
других |
значе |
||||
ниях а. |
|
|
проходящей через 3 заданные точки |
||||||
Уравнение параболы, |
|||||||||
|
(я{—ь fi—i), (ai> h) |
и (аи-1> |
/i+i)» |
|
|
||||
будет таким |
(фиг. 69): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(« — «1 |
) (a — |
|
|
|
|
|
|
/(<*) = /*-1 |
|
ai) (ai _ j —ai+ 1) •+ |
|
|
||||
|
|
|
( а - а <_ 1) ( а - а { + 1) |
|
|
|
|||
|
|
7i (а, — ai _ 1)(a 1— ai+ 1 ) |
|
|
|
||||
|
, |
, |
( a - a i_ |
1) ( a - a t) |
|
|
/97* |
||
|
+ |
Л+ ‘ |
(«, + , - |
”!-,)(« .+ |
, - V |
" |
|
1 |
|
Если положить в этом равенстве |
i = |
1, о*—i = |
а0 = 0, |
/{—i = |
|||||
= /о = 0, то |
получим соотношение |
(24). |
|
|
|
|
|||
Фиг. 69. Приближенное вычисление производной.
Значение производной
—2a -ai - a i+i
da ' ' |
Jx~ i |
а*)(а4_ 1 —ei+t) |
,2fl—ai_ 1 —fli+1
~t~ /i |
(а4 — ai4-i) |
, , |
2a flj _ 1 g4 |
|
(28) |
|
(*i + t - * * _ ! ) ( « i + i - « * ) |
Эту формулу целесообразно применять для средних точек интервала ai-i < а < ai+i.
На практике производные часто определяют непосредственно по кривой / (а), как тангенс угла наклона касательной. Сама кривая строится от руки в виде плавной кривой, проходящей через задан ные точки. Для точек наружной поверхности, где встречаются зна чительные градиенты напряжений, такой способ может привести