Остаточные напряжения
..pdf3) осевые остаточные напряжения отсутствуют.
В действительности напряжения по толщине диска могут рас пределяться неравномерно (фиг. 123), и тогда оти tfe представляют собой средние значения соответствующих напряжений.
При неравномерном распределении напряжений по толщине при цилиндрических срезах возникают радиальная и изгибная деформации.
В большинстве практических задач1 эти деформации являются независимыми.
Ниже рассматривается определение средних по толщине остаточ ных напряжений с помощью измерения деформаций в плоскости диска. Сначала дается изложение основных методов применительно к дискам постоянной толщины, а затем указываются дополнения, позволяющие учесть переменную толщину диска.
Б. Напомним основные уравнения теории дисков постоянной толщины.
Фиг. 122. Напряжения в диске. |
Фиг. 123. Среднее (радиальное) |
|
напряжение. |
Если и (г) — радиальное перемещение на радиусе г, то радиаль ная и окружная деформации равны
|
du |
(1) |
|
&T~~dF'’ |
|
|
и |
(2 ) |
|
ев = — . |
|
На основании закона упругости |
|
|
£r = |
-g- (Or — ЦСТ«); |
(3) |
е» = |
-£г (сгв — цаг)4 |
(4) |
1 Исключения могут составить очень тонкие диски.
133
Из этих равенств вытекает
(5)
(6)
Уравнение равновесия элемента диска (фиг. 122) при отсутствии массовых сил имеет вид
(7)
или в другой форме
(8)
Если внести значения сгг и (Те из соотношений (5) и (6) в уравнение равновесия, то получится дифференциальное уравнение относительно
функции и (г), решение |
которого |
позволяет найти напряжения и |
|||
деформации в диске. |
|
|
|
|
|
Краевые условия для диска при отсутствии контурной нагрузки: |
|||||
на внешнем радиусе |
г = |
R2 |
|
|
|
|
|
оГ(Я2) = 0; |
|
(9) |
|
на внутреннем радиусе |
г = |
(диск |
с отверстием) |
|
|
|
|
От(Ri) = 0. |
|
( Ю ) |
|
Для диска без отверстия в центре диска (г = 0) из условия сим |
|||||
метрии |
Ой(0) = |
ог (0). |
|
(И ) |
|
|
|
||||
Если на контурах диска приложена радиальная нагрузка, то |
|||||
краевые условия будут такими: |
|
|
|
||
|
or(R2) = |
ог2; \ |
(12) |
||
|
Or (Ri) = |
<тг1) |
I |
||
|
|
||||
где величины огг1 и аг2 являются заданными. Условие (11) остается без изменений.
Вдальнейшем окажутся необходимыми формулы для напряжений
вдиске постоянной толщины при действии контурных нагрузок
(14)
Для диска без центрального отверстия
От(г) = се (г) = от2.
Перемещения в диске определяются следующим соотношением, вытекающим из равенств (4) и (2):
|
|
„2 |
Г |
|
г»2 |
(1 + (А) |
|
|
“ w = Н |
Г |
|
- |
Р |
+ ^ |
|
||
|
2 |
1 |
L |
|
|
|
|
(16) |
|
|
|
|
|
|
|||
На внешнем радиусе диска перемещение |
|
|
(17) |
|||||
и2=и(Д2) =°г 2^2Е |
К |
+ * |
\ |
I* - |
Е |
|
||
|
|
|
|
|
|
°Г1^2 |
|
2R |
|
|
к - К |
|
|
к - К |
|||
Радиальное перемещение |
на |
внутреннем |
радиусе |
г — R± |
||||
«х=“(Дх) |
Е |
|
2Я! |
°п Лх / Я*+ Я* |
|
|||
|
ат2 «1 |
|
(18) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы для перемещений справедливы и для диска без централь ного отверстия, если положить в них Rx = 0. 'Рассмотрим основные методы определения остаточных напряжении в дисках.
1& МЕТОД РАСТАЧИВАНИЯ
А. Метод состоит в том, что на некотором фиксированном радиусе измеряется радиальное перемещение (или окружная деформация) в про цессе обтачивания или растачивания диска. Рассмотрим сначала случай, когда проводится растачивание диска и измерение перемещения (или деформации) на внешнем радиусе (фиг. 124).
Пусть проведена расточка до радиуса г. Освобождение цилиндрической поверхности ра диуса г эквивалентно приложению к этой по верхности обратных остаточных напряжений. Сохраняя обычное правило знаков для оста точных напряжений (растягивающие напряже ния — положительные), будем считать, что на внутреннем контуре диска приложено напря жение
(Тг 1 = — о, (г). |
(19) |
Фиг. 124. Определе ние остаточных на пряжений по переме щениям на внешнем радиусе (метод раста-
чпвапяя).
Воспользовавшись равенством (17) (агг2 = 0), находим радиальное перемещение на внешнем радиусе, вызванное этой нагрузкой:
,;2(г) =Ог (Г) |
R -г * |
|
2г2 |
2
откуда
|
|
Е |
R‘ - |
г* |
|
|
|
|
К ~ г' |
|
|
|
|
|||
|
Or (г) = |
|
2____ |
м2(г) |
|
Я |
е»2 (Г)> |
|
(20) |
|||||||
|
|
|
2га |
|
|
2г* |
|
|||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
(Г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ео2 (г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ла |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
окружная деформация на внешнем радиусе |
при |
расточке диска |
||||||||||||||
до радиуса; она измеряется проволочными тензометрами. |
|
|
||||||||||||||
Таким |
образом, |
зная |
перемещение |
или окружную деформацию |
||||||||||||
на внешнем радиусе в результате |
расточки |
отверстия до радиуса г, |
||||||||||||||
можно определить радиальное остаточное напряжение |
на |
радиусе г |
||||||||||||||
в исходном состоянии диска. Окружное остаточное |
напряжение на |
|||||||||||||||
радиусе г легко найти из уравнения равновесия (8) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
во- |
dor |
|
Or- |
|
|
|
|
|
|
(2 1 ) |
||
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внося значения аг (г) из равенства |
(20), |
находим |
|
|
|
|||||||||||
|
, ч |
Е |
|
- |
г2 |
du2(г) |
Е |
|
П2 + г> |
|
|
(22) |
||||
|
а*м = |
лг |
|
—2г |
|
|
dr |
|
|
|
|
2г2 |
и2 (г). |
|
||
Б. Полученные |
формулы для |
о г {г) |
и во (г) |
являются |
частным |
|||||||||||
случаем формул Закса [158], установленных другим путем |
для |
|||||||||||||||
толстостенных цилиндров (см. главу 8). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Для дисков формулы Закса при растачивании изнутри имеют |
||||||||||||||||
следующий вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вг ж Е |
Н — |
80 2i |
|
|
|
|
|
|
(23) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
где FH= я R\ — площадь |
сечения, |
соответствующая |
наружному |
|||||||||||||
F = |
радиусу цилиндра; |
|
|
соответствующая радиусу |
г; |
|||||||||||
л г2 — площадь сечения, |
||||||||||||||||
ее 2 = |
■“ 2 — относительное |
изменение наружного |
радиуса |
(ок- |
||||||||||||
|
ружная деформация) при расточке до радиуса г. |
|
||||||||||||||
Если |
учесть, %что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ее 2 |
|
1 |
e ^eQ2 |
|
1 |
1 |
t |
du2 |
|
|
|
|
|||
|
dF ~~ |
|
2я г |
' |
dr |
|
R2 * 2 л г |
* |
dr |
’ |
|
|
|
|||
то формулы (20) и (22) совпадают с равенствами (22) и (23) соответ ственно.
Условное введение площади в качестве основной переменной не дает каких-либо преимуществ, и в дальнейшем оно не исполь зуется.
В. Укажем расчетные формулы для случая, когда проводится обтачивание наружных слоев (фиг. 125). Замер перемещений осу ществляется на радиусе Rx (радиусе центрального отверстия).
На внешнем радиусе г приложено обратное остаточное напря жение
ог2 = — ог(г).
Из равенства (18) (аг А= 0) находим увеличение радиуса окруж ности с первоначальным радиусом Rx:
|
|
«1 (г) = |
— Or (г) |
Е |
|
|
||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
°г(г) = — |
Е |
т*-В\ |
Mi (г) = — Е |
e8l (г). |
(25) |
|||
Я, |
* |
2г» |
||||||
В соответствии |
с |
уравнением |
(21) |
|
|
|||
<Т»(г) = - |
Е |
r * - R \ |
dUi{r) |
|
|
|
||
R± |
|
2г |
* |
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Я*+г* |
|
|
(26) |
|
|
||
|
X |
2r> |
|
(r)- |
|
|
|
|
Величина -^7- (r) представляет собой произ-
водную величину их (г) по радиусу. Для ее определения необходимо знать значение их (г). при различных значениях радиуса обточки
Если, например, при наружном стачивании слоя толщиной \dr\ (d r < 0) произошло умень шение радиального перемещения на радиусе Rv
(idux<^ 0), то производная |
> 0. |
Для сплошного диска при измерении дефор мации проволочным тензометром, наклеенным
в центре, будем иметь следующие зависимости:
Or(г) =— Е е0 (г)(1—ц);
оь{г)*= — Е ■***}$■ (1— ц)г — ^ е0(г)(1— |х),
где е0(г) — деформация в центре при обточке до радиуса г.
V.
С*
Фиг. 125. Определе ние остаточных на пряжений по переме щениям на внутрен нем радиусе (метод
обтачивания).
Вследствие осевой симметрии ориентировка тензометра может быть произвольной.
Г. Особенность формул для остаточных напряжений в диске при растачивании или обтачивании состоит в том, что они дают значения напряжений только в снятых слоях (радиус г представляет собой текущий радиус обточки или расточки).
Измерения перемещений или деформаций проводятся на внеш нем ра/.иусе (при расточке) или на внутреннем радиусе (при обточке).
Часто оказывается необходимым определить остаточные напряже ния возле внешнего и внутреннего контуров диска.
Вэтом случае на одном и том же диске проводится обтачивание
ирастачивание.
Измерение радиальных перемещений или окружных деформаций осуществляется на некотором радиусе Из (фиг. 126),
Рассмотрим первый этап — обточку диска, имеющего центральное отверстие радиуса R1 (фиг. 126, а).
Фиг. 126. Определение остаточных напряжений при обточке на первом этапе и расточке па втором.
Перемещение а.3на радиусе i?3 находим из формулы (16). Полагая ог2 = — ог (г), or i = 0, заменяя R2 на г и г на 7?3, находим
«3 (г) |
Рг(г) |
г2Д, |
1 |
|
|
(27) |
и |
* г2— Л21 |
|
|
|||
Отсюда |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
М г ) = |
Е |
1 |
|
Г* — R2 |
•«3 (г). |
(28) |
Дз ' |
Д* |
|
1 |
|||
|
|
Гг |
|
|
1 -и + -глг (1 + и )
|
ае(г) = - |
Е |
|
г * - Л * |
|
«з |
К |
■ ^ ( г ) + |
|
|
|
I |
||
|
|
1- М - — |
|
|
|
|
|
-t- — л - 1- |
«3 (г) |
Если осуществляются |
измерения |
на внутреннем радиусе (i?3 = |
||
= |
то формулы (28) и (29) соответственно совпадают с равенствами |
|||
(25) и |
(26). |
|
|
|
Обточка проводится до некоторого радиуса г = Д4, и зависимости (28) и (29) позволяют вычислить напряжения в снятых слоях Д4
<С г R&
На втором этапе диск растачивается изнутри. Следует учесть, что остаточные напряжения, существующие в диске после обточки до радиуса # 4,
аг = |
Оу + |
отд\ |
(30) |
(Те = |
сге + |
ere а» |
(31) |
где аг и ае — истинные остаточные напряжения (в первоначальном диске);
оГд и оо а — дополнительные напряжения, вызванные обточкой. Эти дополнительные напряжения могут быть вычислены как напряжения в диске при действии на радиусе i?4 обратных (радиаль
ных) остаточных напряжений.
Из уравнений (13) и (14) находим |
|
|
|
|
||
|
R2 |
|
( |
К |
(32) |
|
<тгэ ( г ) = |
Ori |
|
||||
|
1 |
. |
||||
|
л8 |
|
м |
|
||
Овд(г)= |
. |
( |
к |
(33) |
||
ог( |
||||||
|
R - R , |
|
11 + ^ |
|
||
Величина сгг4 вычисляется по формуле (28) при г = i?4. Расточка до радиуса г (фиг. 126, б) эквивалентна приложению на этом радиусе
обратных остаточных напряжений — о* (г). Если на радиусе измерения R3 в результате расточки до радиуса г возникло дополни
тельное перемещение и* (г), то по формуле (16) находим
|
|
4 |
L |
3 |
J |
|
Из этого равенства вытекает |
|
iT |
|
|
||
• / \ |
Е |
1 |
|
и» W- |
(34) |
|
|
|
R* |
(1+ Ю |
|
||
|
1 - р - |
___ 4 |
|
|
|
|
ао (г)
'1=
Е
и <4
|
1 |
Л — га |
|
R 2 |
|
1 |
1 -3= |
|
|
3 |
|
dK |
, V |
ra |
(r) |
(35) |
|
X dr |
W |
||||
|
Теперь, в силу равенств (30) и (31), будем иметь
Е |
|
Л. |
|
Л |
“ з.(0 + |
1 - р - |
Л (1 + Р) |
|
|
|
|
4 -а |
fl |
(36) |
+ <Гг4 |
л ^ -л М 1 |
г2 / ’ |
|
|
Г Л2 - г 8 dtt* |
= лГ |
|
l - V — 2TW - |
|
|
L |
1 — H + |
- |
|
|
л |
|
|
|
« 3 (r)Jl + |
f f r l |
К |
(37) |
|
|
4 |
|
эти формулы дают значения напряжений в снятых слоях при расточке.
Д.Остановимся на способах измерения радиального перемещения
к.Обычно проводятся измерения диаметра цилиндрической поверх ности или точной кольцевой риски с помощью различных измеритель ных устройств (оптических или механических). Погрешность измере ния диаметра AD может вызвать погрешность в измерении остаточ ных напряжений
|
Аа ^ Е |
A D |
|
|
|
D |
’ |
Так, например, при измеряемом диаметре D = 100 мм и погреш |
|||
ности измерения AD = |
0,01 мм |
для стального диска (Е = |
|
= 2 • 104 кГ/мм2) |
|
|
|
Да = |
2 •104-%2г |
= |
2 кГ/мжК |
|
100 |
|
|
В связи с большим влиянием погрешностей измерения должны проводиться весьма точно (в частности, при соблюдении постоянного температурного режима).
Более точные результаты получаются при измерении деформации проволочными тензометрами. Этот метод должен быть освоен во всех лабораториях, занимающихся остаточными напряжениями.
Наклеивая датчик в окружном направлении, получают значения
80 = |
и |
(38) |
1 Г |
Легко видеть, что в приведенные расчетные зависимости для определения остаточных напряжений входит величина деформации
в окружном направлении. |
|
|
|
|
|
Например, формулы-(20) и -{22) можно записать так: |
|||||
|
От(г) = Е Лг2г/ |
662 (г); |
|
||
<Хе (г) = |
Е |
de^ |
Е |
*\+ г% |
602 W, |
Чг~ (г) |
2га |
||||
где го2 (г) = — |
-----относительная |
деформация |
(в окружном |
||
направлении) на радиусе i?2. |
Подобным |
образом |
можно записать |
||
и все другие формулы.
Отметим, что проволочные тензометры наклеиваются в различ-» ных точках окружности, и результаты замеров осредняются.
Е. Вычисления остаточных напряжений в дисках без централь ного отверстия можно вести по ранее установленным формулам,
положив |
в |
них Rx = 0. |
Исключение составляет |
случай обточки |
|||
при замере |
перемещений на внутреннем контуре |
[формулы |
(25) |
и |
|||
(26)]. В |
этом |
случае следует воспользоваться равенствами |
(28) |
и |
|||
(29) при |
|
= |
0 и измерение проводить на выбранном радиусе i?3. |
||||
Ж. Как уже отмечалось, в рассматриваемом методе определяются остаточные напряжения в снятых слоях. Это не дает возможности построить полную эпюру напряжений, так как при расточке или обточке должен остаться некоторый участок (кольцо).
Обычно напряжения на таких участках находят с помощью экстраполяции. Для более точного построения полной эпюры следует заранее наметить кольцо, которое останется после расточки или обточки. По осевой линии кольца следует провести кольцевую риску и измерить измерение диаметра в результате расточки или обточки.
После определения окружного остаточного напряжения в кольце1 (которое можно рассматривать, как вырезанпое из диска) имеется возможность более точно построить полную эпюру напряжений.
20.МЕТОД КОЛЕЦ
А.Идея этого метода принадлежит Н. В. Калакуцкому ([51], [31]) — одному из первых исследователей проблемы остаточных
напряжений. Для определения остаточных напряжений из диска вырезаются кольца и измеряется изменение диаметра кольца в ре зультате вырезки (фиг. 127). Предварительно для удобства измерения торцы диска шлифуются, на середине толщины кольца наносится кольцевая риска. Далее по трем диаметрам, расположенным под углом 120° друг к другу, наносятся радиальные риски. Образовав шиеся перекрестия используются для измерений на оптических измерительных приборах. Более точные измерения могут быть
1 Определение остаточных напряжений в кольце излагается в следующем параграфе.
осуществлены с помощью проволочных тензометров, которые на дклеиваются до вырезки колец.
Пусть средний радиус кольца равен г и радиальная толщина h. Напряжения в диске на радиусе г равны аг (г) и ов (г). Вырезка кольца эквивалентна приложению обратных остаточных напряжений на радиусах и R2.
Если h мало (по сравнению с радиусом), то
Радиусы кольца
r, = r - \ h -
(40)
г2 = г+ -± -Н .
Внося равенства (39) и (40) в формулу (16) и пренебрегая членами,
содержащими |
h2 |
, получим, |
учитывая условие равновесия |
/ 0 / f v |
|
(21). |
|||
|
ео(г) = - ^ |
= — -^г- [ав (г) — М.аг(г)]4 |
(41) |
|
Это равенство вытекает также из следующих простых соображений. Остаточные напряжения в кольце после вырезки показаны на фиг. 128.
Равнодействующая окружных |
остаточных напряжений |
в кольце |
|
в силу условий симметрии равна нулю. |
радиусах |
||
Радиальные напряжения |
в кольце отсутствуют на |
||
Нг и |
и ими можно пренебречь на всех других радиусах. Таким |
||
образом, приближенно можно считать, что вырезка кольца соответ ствует полному освобождению элемента, расположенному на оси кольца. Условие (41) и выражает деформацию элемента (в окружном направлении) при полном его освобождении. Величина ее (г) может